Δημοσιεύτηκε από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 11 Οκτώβριος 2012 και ώρα 10:00
Η εργασία αναφέρεται στη μορφή της γραφικής παράστασης Α –ω στην εξαναγκασμένη ταλάντωση στο όριο ω–>0 . Συγκεκριμένα, από τον τύπο:
πηγαίνοντας στο όριο ω–>0 προκύπτει :
που κάποιοι το μεταφράζουν ως «πλάτος ταλάντωσης» και κάποιοι άλλοι ως «νέα θέση».
Και οι δύο ερμηνείες είναι λανθασμένες αφού – όπως θα αποδειχθεί – η διαδικασία του ορίου είναι «παράνομη»!
Έτσι προκύπτει ότι η καμπύλη Α – ω δεν είναι (εν γένει) συνεχής στο ω = 0 , παρά μόνο αν η διεγείρουσα δύναμη είναι της μορφής: F=Fo συνωt.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 11 Οκτώβριος 2012 στις 13:25
Μπράβο Νίκο. Πολύ ωραία η παραπάνω μελέτη σου και καταπιάνεται με πράγματα, τα οποία χρόνια, μάλλον τα αντιμετωπίζαμε ελαφρά τη καρδία… Σε ευχαριστούμε.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 11 Οκτώβριος 2012 στις 15:45
Η επιστροφή.
Νομίζω ότι η προσομοίωση θίγει την περιοχή που σε ενδιαφέρει.
Ξεκινώντας με μηδενικό αρχικό πλάτος και συνημίτονο βάζεις και άλλες ρυθμίσεις κατόπιν.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 11 Οκτώβριος 2012 στις 18:30
Διονύση, εμείς πρέπει να σ’ ευχαριστούμε …
Πολύ ωραίο το IP Γιάννη ! Να ‘σαι καλά !
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 12 Οκτώβριος 2012 στις 23:43
Καλησπέρα Νίκο.
Με την πολύ καλή μελέτη σου θίγεις στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης το εξής γενικότερο πρόβλημα:
Έχουμε ένα πρόβλημα ( φυσικό ή όχι ) που περιγράφεται από μια διαφορική εξίσωση, στην οποία υπεισέρχεται μια παράμετρος λ.
Λύνουμε την ΔΕ και έχουμε την γενική της λύση.
Αν θεωρήσουμε την περίπτωση όπου λ→λ0 σε επίπεδο ΔΕ και σε επίπεδο λύσης τότε τα αποτελέσματα δεν είναι πάντα τα ίδια. Συχνά είναι πονοκέφαλος να αποφασίσει κανείς ποιο από τα δύο αποτελέσματα έχει ενδιαφέρον.
Παρόμοιο πρόβλημα έχουμε αν συνδέσουμε μια εναλλασσόμενη τάση σε ένα πηνίο αντίστασης R και ζητάμε την ένταση του ρεύματος που την διαρρέει. Στο όριο που R→0 η λύση δίνει το γνωστό αποτέλεσμα, ενώ η ΔΕ αφήνει μια απροσδιόριστη σταθερά.
Ως Φυσικοί θεωρούμε ότι το ιδανικό πηνίο είναι μια εξιδανίκευση ενός πηνίου μικρής αντίστασης. Για τον λόγο αυτό προτιμούμε να αντικαταστήσουμε R=0 στην λύση.
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης η περίπτωση ω=0, όπως σωστά αναλύσεις, σημαίνει ή ότι δεν υπάρχει καθόλου διεγέρτης ή ότι ο διεγέρτης ασκεί μια σταθερή δύναμη. Η δύναμη αυτή το μόνο που κάνει είναι να μετατοπίζει την θέση ισορροπίας.
Προσωπικά όταν σχεδιάζω την καμπύλη συντονισμού, στο σημείο που τέμνει τον άξονα των πλατών βάζω «κυκλάκι» δηλώνοντας ότι η περίπτωση ω=0 είναι εκτός πεδίου ορισμού στην μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης.
Η εξήγηση που δίνω για το σημείο αυτό είναι ουσιαστικά ποιοτική:
Όταν ο διεγέρτης ταλαντώνεται με σχεδόν μηδενική συχνότητα, τότε ( στην στάσιμη κατάσταση) το πλάτος της ταλάντωσης είναι σχεδόν ίσο με F0/D.
Στη διάταξη του σχολικού βιβλίου, αν ο τροχός περιστρέφεται πολύ αργά, τότε το πλάτος της ταλάντωσης είναι σχεδόν ίσο με R ( όπου R η απόσταση του σημείου πρόσδεσης από το κέντρο του τροχού).
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 13 Οκτώβριος 2012 στις 0:51
Νίκο μπράβο και από μένα.
Πριν διαβάσω την εργασία σου δεν είχα ποτέ αναρωτηθεί για το κατά πόσο νομιμοποιούμαστε να περάσουμε στο όριο ω->0, ανεξάρτητα από τη μορφή της δύναμης. Με την ανάρτησή σου βάζεις τα πράγματα στη θέση τους. Σε ευχαριστώ.
Σχόλιο από τον/την Σαράντος Οικονομίδης στις 13 Οκτώβριος 2012 στις 0:58
Έστω και καθυστερημένα συγχαρητήρια και από εμένα Νίκο και όχι μόνο για την ανάρτηση αυτή αλλά και πολλές από τις προηγούμενες τις οποίες έχω διαβάσει.
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 13 Οκτώβριος 2012 στις 14:42
Γεια σου φίλε Νίκο
Για άλλη μια φορά καλώς ξαναήλθες στο δίκτυο γιατί μας πλουτίζεις με την αξία σου.
Θα μου επιτρέψεις να κάνω μια παρέμβαση σε όσα αναφέρεις στην τελευταία σου ανάρτηση σχετικά με την εξαναγκασμένη.
Νομίζω ότι υπάρχει ένα πρόβλημα που βάζει σε αμφισβήτηση όλη τη δουλειά σου.
Γράφεις στο μέσον της πρώτης σελίδας σου ότι η δύναμη F=Foημωt για ω τείνει στο 0, μηδενίζεται.
Αν δεν κάνω λάθος αυτό δε συμβαίνει, γιατί το t τείνει στο άπειρο.
Έχω τις ενστάσεις μου και για το πλάτος που αναφέρεις..
Καταθέτω παρακάτω τις απόψεις με όλη την επιφύλαξη να κάνω λάθος..
Να είσαι καλά Νίκο
Εδώ
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 13 Οκτώβριος 2012 στις 15:58
Θρασύβουλε στο “Εδώ” δεν υπάρχει σύνδεσμος.
Κατάλαβα μάλλον την ένσταση αλλά στείλε κάπως το κείμενο.
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 13 Οκτώβριος 2012 στις 23:24
Γιάννη, ξαναδίνω το σύνδεσμο για το ω.
Ξαναυπήρξε πρόβλημα και άντε να βγάλω άκρη. Ελπίζω να ανοίγει τώρα…
Αν όχι πες μου πάλι…
Σχόλιο από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 14 Οκτώβριος 2012 στις 2:24
Αγαπητοί φίλοι : Βαγγέλη, Γιάννη, Σαράντο και Θρασύβουλε σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια.
Θρασύβουλε, το θέμα του χρόνου που έθιξες, δεν με βρίσκει σύμφωνο διότι κάθε παρατηρητής παρακολουθεί για μεγάλο ίσως, αλλά πεπερασμένο χρόνο ένα φαινόμενο για να βγάλει τα συμπεράσματά του.
Μα ακόμα και αν μιλάμε για χρόνο παρατήρησης διπλάσιο της ηλικίας του Σύμπαντος, υπάρχει πάντα “ένα τόσο μικρό ω”, ώστε το ωt να τείνει στο μηδέν.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 14 Οκτώβριος 2012 στις 13:54
Καλημέρα συνάδελφοι. Μια συμπληρωματική παρατήρηση.
Νομίζω ότι θα πρέπει να κάνουμε μια ουσιαστική διάκριση της κατάστασης ω=0 και ω→0.
Στην περίπτωση που ω=0 θα πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα από μηδενική βάση.
Αντικαθιστούμε δηλαδή στην σχέση (4) του Νίκου ω=0 και λύνουμε την διαφορική εξίωση.
Δεν έχουμε δικαίωμα να αντικαταστήσουμε ω=0 στην σχέση (5).
Στην περίπτωση που ω→0 η κατάσταση είναι ριζικά διαφορετική.
Χρειαζόμαστε μια νοητή ακολουθία από αντίγραφα του συστήματος με διεγέρτες οι οποίοι έχουν σταθερές συχνότητες ω1, ω2,…ωn ,… με ωn→0 και εξετάζουμε το όριο της ακολουθίας των πλατών. Στο σημείο αυτό με βρίσκει απόλυτα σύμφωνο η περιγραφή του Θρασύβουλου.
Για μεγάλες τιμές του n ο διεγέρτης ( και συνεπώς ο ταλαντωτής) ταλαντώνονται απελπιστικά αργά αλλά ταλαντώνονται. Η ακολουθία των πλατών → F0/D.
Θεωρώ ότι, κατά την διδασκαλία της καμπύλης συντονισμού, θα πρέπει να τονίζουμε στους μαθητές μας ότι δεν αναφερόμαστε σε ένα διεγέρτη του οποίου η συχνότητα αυξάνεταιι με τον χρόνο (δηλαδή σε μια ρόδα που κάνει επιταχυνόμενη κίνηση) και αλλά σε πολούς διεγέρτες διαφορετικών σταθερών συχνοτήτων.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 14 Οκτώβριος 2012 στις 21:43
Βαγγέλη καλησπέρα.
Όπως θα πρόσεξες η εξαγωγή του 1ου και 2ου συμπεράματος έγινε με βάση τις διαφορικές εξισώσεις (γι’ αυτό άλλωστε τόνισα “για να μη σας κουράσω με μαθηματικά”). Όμως προέκυπτε το εύλογο ερώτημα γιατί δεν έχουμε δικαίωμα να πάμε στο όριο ω–>0. Ξεκίνησα με ω μη μηδενικό ώστε να έχω δικαίωμα να θεωρήσω χ=Αημ(ωt+θ).Όπως έδειξα λοιπόν ο γνωστός τύπος Α(ω) προκύπτει από τη γραμμική ανεξαρτησία των συναρτήσεων ημωt και συνωt, οι οποίες είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητες αρκεί το ω να μην είναι μηδέν. Βάζοντας λοιπόν στην (5) ω=0, φαίνεται ότι καταρρέει αυτή η ανεξαρτησία και βγαίνουν “παράξενα” συμπεράσματα (που όπως έγραψα : “Με ποιο συμπέρασμα; Α=0 ή θ=0 ή θ=π, (όχι πάντως Α=Fo/D).Προφανώς και δεν είναι σωστό να βγούν από εκεί συμπεράσματα. (Αυτά είχαν βγει νωρίτερα από τις δ.ε.). Ακόμα και στην περίπτωση του συνωt δεν είναι τυχαίο που χρησιμοποίησα τον όρο “συμπτωματικά”.
Για μένα το θέμα είναι ότι το Α ως πλάτος ταλάντωσης εξακολουθεί να έχει νόημα και να παίρνει την τιμή Fo/D, όταν ο αρχικά ακίνητος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση δεχθεί σταθερή δύναμη F=Fo = Foσυν(0 t) και εκτελεί ταλάντωση με την ιδιοσυχνότητά του.
Παρεμπιπτόντως, όσο το ω τείνει στο μηδέν τόσο η F είναι σχεδόν σταθερή για μεγάλο χρονικό διάστημα. Όσο πιο απελπιστικά αργή είναι η μεταβολή της F τόσο πρακτικά θα την θεωρούμε σταθερή. Αν για παράδειγμα η παγκόσμια σταθερά G μεταβάλλεται αρμονικά και έχει περίοδο 10Τ , όπου Τ η ηλικία του σύμπαντος, εμείς που εκ των πραγμάτων δεν γνωρίζουμε τη μεταβολή αυτή, έχουμε άδικο που τη θεωρούμε σταθερά; Σε μια γραφική παράσταση της F με το χρόνο για ω εξαιρετικά μικρό θα έχουμε ένα ευθύγραμμο οριζόντιο τμήμα για χρονικό διάστημα εξαιρετικά μεγάλο !
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 14 Οκτώβριος 2012 στις 23:30
Καλησπέρα Νίκο.
Γράφεις ότι:
«Για μένα το θέμα είναι ότι το Α ως πλάτος ταλάντωσης εξακολουθεί να έχει νόημα και να παίρνει την τιμή Fo/D, όταν ο αρχικά ακίνητος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση δεχθεί σταθερή δύναμη F=Fo = Foσυν(0 t) και εκτελεί ταλάντωση με την ιδιοσυχνότητά του. Παρεμπιπτόντως, όσο το ω τείνει στο μηδέν τόσο η F είναι σχεδόν σταθερή για μεγάλο χρονικό διάστημα.»
Κάποιες σκέψεις επ’ αυτού.
Υποθέτουμε ότι b=0 και την στιγμή t=0 x=0 και υ=0.
Αν η δύναμη του διεγέρτη έχει την μορφή F=F0 τότε η λύση της ΔΕ είναι
Αν η δύναμη του διεγέρτη έχει την μορφή F=F0 cos(ωt) με ω≠ω0 τότε
Υποθέτουμε ότι ω=ω0/10
Η γραφική παράσταση της πρώτης συνάρτησης είναι η μπλε και η γραφική παράσταση της δεύτερης είναι η κόκκινη.
Παρατηρούμε ότι στην αρχή του φαινομένου ( t μικρό και ω μικρό) ο αρμονικός διεγέρτης συμπεριφέρεται σχεδόν σαν σταθερή δύναμη.
Καθώς εξελίσσεται το φαινόμενο, η αρμονικότητα του διεγέρτη διαφοροποιεί ριζικά τα δύο συστήματα
Σχόλιο από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 15 Οκτώβριος 2012 στις 2:11
Συμφωνώ Βαγγέλη. Στο όριο όμως ω–>0 (που η δεύτερη σχέση που έγραψες ανάγεται στην πρώτη) η κόκκινη γραμμή δεν “θα κατεβαίνει” (θα χρειαστεί τόσο πιο μεγάλο χρόνο για να “κατέβει”, όσο πιο μικρό ω διαλέξουμε).
συνωt-συνωοt = 2 ημ[(ωο+ω)t/2] * ημ[(ωο-ω)t/2]
Διάλεξες ω = 0,1 ωο αλλά δεν είναι κοντά στο όριο ω–>0.
Αν ω = 10^(-6) ωο , τότε πρακτικά η παραπάνω ποσότητα για ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα ταυτίζεται με το : 2 [ημωοt/2]^2 που είναι ίσο με 1-συνωοt
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 15 Οκτώβριος 2012 στις 13:46
Νίκο συμφωνώ με ενστάσεις.
Αν ω = 10^(-6) ωο τότε η παραπάνω εικόνα διατηρεί τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της.
Απλώς η περίοδος σύμπτωσης των δύο γραφικών παραστάσεων θα είναι 10^6 T0.
Όσον αφορά την φράση ότι η περίπτωση ω = 0,1 ωο δεν είναι κοντά στο όριο ω–>0:
Χωρίς να διαφωνήσω μεταφέρω μια προσωπική εμπειρία.
Διδάκσοντας πριν κάποια χρονιά σύγχρονη Φυσική σε μια φοιτήτρια, έπρεπε σε ένα πρόβλημα να υπολογιστεί η τιμή ενός μεγέθους ως ολοκλήρωμα από 0 έως άπειρο. Το ολοκλήρωμα αυτό ήταν στρφνό και όχι γνωστό. Διαπίστωσα ότι η καθηγητής που έκανε το μάθημα το υπολόγιζε ολοκληρώνοντας αριθμητικά από 0 έως 20. Επειδή το θεώρησα απαράδεκτο δικίμασα με αριθμητικές μεθόδους να βελτιώσω το αποτέλεσμα. Η διόρθωση ήταν στο 6ο δεκαδικό ψηφίο
Άρα 20 σχεδόν ίσο με άπειρο.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 15 Οκτώβριος 2012 στις 14:14
Βαγγέλη, το όριο ω–>0 είναι κατά κάποιο τρόπο ισοδύναμο με το: ” ω/ωο πολύ-πολύ μικρότερο της μονάδας” , λιγότερο από 1% και όχι 10% που αντιστοιχεί η ω=0,1ωο.
Για την σύμπτωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών των δύο γραφικών παραστάσεων έχω και εγώ τις ενστάσεις μου … Ο χρόνος εκτέλεσης ενός πειράματος ή παρατήρησης ενός φαινομένου από έναν παρατηρητή (αλλά και της υπομονής του 🙂 ) δεν είναι “άπειρος”.
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 15 Οκτώβριος 2012 στις 15:51
Νίκο, Βαγγέλη γεια σας
Να κάνω μια παρέμβαση και γω.
Νομίζω ότι το πρόβλημα ξεκινά από τον τρόπο με την οποίο το κείμενο του Νίκου χρησιμοποιεί τα Μαθηματικά. Είναι τρόπος που δημιουργεί προβλήματα.
Νίκο συμπάθα με και νοιώθω άβολα που στα λέω αυτά, γιατί ξέρω και την αξία σου και τη μαθηματική σου δύναμη και το τρομερό σου υπόβαθρο, αλλά το κείμενό σου δημιουργεί, στον εαυτό του πρώτα από όλα, αβάστακτα προβλήματα δομής. Τόσα που δε θα τα αντέξει.
Νίκο
1) Στο θεωρητικό πρόβλημα «Εξαναγκασμένη με απόσβεση» το να μη θες να πάρεις υπόψη σου ούτε τους περιορισμούς των παραμέτρων, ούτε το πεδίο ορισμού της μεταβλητής, ανοίγει ασκούς Αιόλου.
2) Θεωρείς ότι μια παράμετρος μπορεί να αλλοιώσει τις ιδιότητες με τις οποίες εφοδίασε η μαθηματική επεξεργασία μια συνάρτηση και μάλιστα ότι μπορεί να την αλλοιώσει σε τέτοιο βαθμό, ώστε από περιοδική να την κάνει μηδενική ή σταθερή συνάρτηση.
Αυτό μαθηματικά δε μπορεί να σταθεί. Τα Μαθηματικά σε αυτό που λες όχι απλώς κρατάνε άλλη στάση, αλλά έχουν τόσο δραματικά διαφορετική συμπεριφορά που βάζουν σε κρίση το κείμενό σου
3) Το ω=0 δεν μας ενδιαφέρει είτε ο διεγέρτης είναι συνημίτονο είτε ημίτονο.
Επομένως να ψάχνουμε για συνέχεια ή ασυνέχεια σε κάτι που δεν ανήκει στους περιορισμούς των παραμέτρων, όχι μόνο δεν έχει καμιά μα καμιά αξία αλλά είναι μαθηματικά μη αποδεκτό.
Ο περιορισμός του ω είτε ο διεγέρτης είναι ημίτονο είτε συνημίτονο είναι ω>0.
Επομένως τί μας νοιάζει για κάτι που δεν ανήκει στους περιορισμούς μας;
Τί μας νοιάζει για το ω=0; Ποτέ το ω=0 δεν ανήκε στην εξαναγκασμένη που εξετάζουμε
4) Εσύ Νίκο πιστεύεις ότι βάζοντας F0 συνωt μπορείς να γλιτώσεις τίποτε περισσότερο από όσα γλιτώνεις με το F0 ημωt το οποίο θεωρείς λανθασμένη επιλογή.
Και από εδώ ακόμη αρχίζουν καινούρια προβλήματα.
Δηλαδή βάζοντας F0 συνωt αντί για F0 ημωt παύει ο περιορισμός για το ω να είναι ω>0;
Ο περιορισμός του ω είναι απόλυτα ίδιος και για τις δύο συναρτήσεις, είναι ο ω>0
Ούτε το F0 συνωt ούτε το F0 ημωt ενδιαφέρονται για το ω=0, γιατί απλούστατα αν μπει αυτή η τιμή ω=0 μέσα στις σχέσεις τους ο ένας διεγέρτης θα γίνει μια σταθερή δύναμη και ο άλλος μηδέν.
Δηλαδή και οι δύο θα γίνουν κάτι που δε θα έχει καμιά μα καμιά σχέση με ότι συζητάμε γιατί δε θα μπορέσουν ποτέ πια να κάνουν αυτό για το οποίο τους προορίζαμε. Δε θα μπορέσουν ποτε να προκαλέσουν δηλαδή την εξαναγκασμένη που διδάσκουμε.
Επομένως γιατί λες ότι το συνωt θα αγγίξει την τιμή ω=0;
Απλά δεν την αγγίζει! Γιατί αν την αγγίξει κατέρρευσε και αυτό και όλη η θεωρία του εξαναγκασμένου.
Άρα τί μας νοιάζει η τιμή ω=0 και τί μας νοιάζει αν εκεί υπάρχει ή όχι ταλάντωση και γιατί να νοιαστούμε για συνέχεια ή ασυνέχεια εκεί όπου μας απαγορεύεται λόγω περιορισμών να πάμε;
Και δε μας νοιάζει γιατί μια τέτοια τιμή (ω=0) για διεγέρτη δεν προκαλεί ταλάντωση. Ούτε με πλάτος Fo/D ούτε με κανένα.
Και θα το ξαναπώ: Στο ω=0 δεν προκαλεί ταλάντωση ούτε το F0 συνωt ούτε το F0 ημωt γιατί απλούστατα καταρρέουν και τα δυο
5) Όταν κάποιος αγγίζει θεωρητικά κάποια προβλήματα όπως φθίνουσα, εξαναγκασμένη χωρίς απόσβεση, εξαναγκασμένη με απόσβεση κ.λ.π. πρώτα τα λύνει θεωρητικά με το χρόνο t≥0 ή πιο γενικά t≥α και μετά κάνει όποια προσέγγιση θέλει.
Δε μπορείς να περιορίζεις το χρόνο γιατί θα βαρεθεί ο παρατηρητής να κοιτά την ταλάντωση και να αφήνεις το ω να τείνει στο μηδέν…
Ποιο εργαστήριο ρε Νίκο, έχει ανυπόμονους πειραματιστές που δε θέλουν να ξεπερασουν τη μια δυο μέρες μέσα σε αυτό, αλλά τόσο ικανότατους ώστε να στήσουν πειράματα μηχανικής εξαναγκασμένης ταλάντωσης με ω=10^(-18) για παράδειγμα.
Δεν πάνε τα πράματα έτσι.
Γι΄ αυτά για τα οποία μιλάμε τώρα, πρώτα βλέπουμε τη θεωρία και μετά την ελέγχουμε ή την προσαρμόζουμε στην ακρίβεια των μετρήσεων που επιδιώκουμε.
Αλλά μη μου λες να κάνω θεωρία εξαναγκασμένης ταλάντωσης του t=2 ώρες το πολύ γιατί θα βαρεθεί ο πειραματιστής και του ω=10^(-127) ή και του ω=10^(-20000) μόνο και μόνο για να αχρηστέψω την παρουσία του t δίπλα στο ω, επειδή θες το ω να πλησιάζει στο μηδέν και τον χρόνο αδύναμο να το κοιτά μεχρι να καταστρέφει τα συμπεράσματά μας!
Μια τέτοια κατάσταση με αφοπλισμένο το χρόνο μόνο σε συλλογιστικά αδιέξοδα θα μας παρασύρει και θα μας γεμίσει με μαθηματικά ατοπήματα.
Δεν κάνουμε θεωρία τότε, γιατί με τέτοιες “συνθηκες” δε μπορεί να δουλέψει η θεωρητική μελέτη του εξαναγκασμένου.
Πιστεύω Νίκο και Βαγγέλη ότι ο βασικός λόγος που δημιουργήθηκε αυτή η κατάσταση είναι
ο παραπάνω λόγος (1)!!!
Ποτέ δεν κάνουμε θεωρητική μελέτη κάποιου φαινομένου (σίγουρα αυτό το ξέρετε καλύτερα από μένα, απλά εγώ μας το υπενθυμίζω) αν δεν ξέρουμε τους όρους του
παιχνιδιού:
Τους περιορισμούς δηλαδή των παραμέτρων και τα πεδία ορισμού των μεταβλητών…
Σχόλιο από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 15 Οκτώβριος 2012 στις 17:34
Αγαπητέ φίλε Θρασύβουλε,
όταν χαράζεις τη γραφική παράσταση Α(ω), ξεκινάς από το ω=0;
Λες το ω=0 δεν αποτελεί αντικείμενο εξαναγκασμένης ταλάντωσης.
Σεβαστή η άποψή σου, αλλά έχω το δικαίωμα να διαφωνώ για δύο λόγους:
α) υπό την επίδραση σταθερής δύναμης, ένας ταλαντωτής που δεν εμφανίζει αποσβέσεις και ο οποίος αρχικά ήταν ακίνητος, θα εκτελέσει ταλάντωση σταθερού πλάτους. (ενώ ω=0 έχουμε ταλάντωση !)
β) η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι γενικά η ταλάντωση που προκύπτει κάτω από την επίδραση εξωτερικής δύναμης F(t) (όπως π.χ. η δύναμη που ασκεί κάποιος σε μία κούνια).
i) αν είναι περιοδική με περίοδο Τ , αναλύεται σε σειρά Fourier στην οποία εμφανίζεται
και ο σταθερός όρος που αντιστοιχεί σε ω=0 και οι υπόλοιποι αρμονικοί με ω ακέραια
πολλαπλάσια του 2π/Τ.
ii) αν δεν είναι περιοδική, αναλύεται με το ολοκλήρωμα Fourier σε συνεχές φάσμα
συχνοτήτων στο οποίο φυσικά περιλαμβάνεται το ω=0.
Ο λόγος που μελετούμε στο σχολείο την απλή αρμονική διέγερση είναι διότι αυτή είναι στην
ουσία η “βασική συνιστώσα” για τα i) και ii) που ανέφερα προηγουμένως. Μάλιστα, η
συνιστώσα με το συνημίτονο έχει το πλεονέκτημα να μπορεί να δώσει (οριακά) το
αποτέλεσμα για ω=0. (αφού ο σταθερός όρος αο της ανάλυσης Fourier αντιστοιχεί
στο cosωt με ω=0 ).
Φίλε Θρασύβουλε, επειδή βρισκόμαστε σε διαφορετικές οπτικές γωνίες δε είναι δυνατόν να συμφωνήσουμε. Η διαφορά μας φαντάζομαι ξεκινά και από τον ίδιο τον όρο “εξαναγκασμένη”.
Δεν πειράζει αν διαφωνούμε … !!!
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 16 Οκτώβριος 2012 στις 18:46
Νίκο ή υπάρχει λάθος στην εργασία σου ή όχι. Ενδιάμεσο δεν υπάρχει…
Έτσι λοιπόν δεν υπάρχει περιθώριο διαφωνίας με τη μορφή προσωπικής άποψης ή άλλης οπτικής γωνίας όπως λες.
Το κείμενό σου είναι σχεδόν καθαρά μαθηματικό και επομένως η στάση μου, όπως και η στάση των άλλων φίλων του δικτύου, οφείλει να είναι στάση απέναντι στο 1+1 πόσο κάνουν…
Το λέω με δυσκολία και μακάρι να το απέφευγα…
Θα χαρώ πολύ όμως με ό,τι κι αν μου αναλογήσει σε αυτή την ανεπιθύμητη “αντιπαράθεση” μαζί σου.
Δεν έχει μειωθεί ουτε κατ΄ ελάχιστον η εκτίμησή μου στο πρόσωπό σου.
Ούτε θα ντραπώ για το λάθος μου, αν τελικά έχω!
Τα Μαθηματικά όμως Νίκο δε θα σε συγχωρέσουν (όπως δε θα συγχωρέσουν κανένα μας),
επειδή σε μια απόλυτα μαθηματική διαδικασία (θεωρητική κάλυψη φαινομένου), δεν πήρες
υπόψη σου ούτε τους περιορισμούς των παραμέτρων, ούτε τα πεδία ορισμού των μεταβλητών!
Από την πρώτη στιγμή που είδα την ανάρτησή σου, είδα και τα προβλήματα που κουβάλαγε. Πολλά προβλήματα μαθηματικής ασυνέπειας και πολύ το σκεφτόμουνα αν έπρεπε να γίνω για άλλη μια φορά «κακός» ή να μη μιλήσω.
Μα σκέφτηκα ότι αργότερα, όταν θα άρχιζαν τίποτε ασκησιολογικοί εκτροχιασμοί
βασισμένοι στο κείμενό σου, θα έπρεπε να ντρέπομαι που δε μίλησα τότε.
Κάνω ό,τι θα έκανα και στον εαυτό μου. Μίλησα…
Για να έχω δικαίωμα στο σωστό που πάντα το θέλησα, έστω κι αν αρκετές φορές δε το κατείχα.
Αλλά πάντα γι΄ αυτό προσπάθησα και πάντα πάλεψα να το πλησιάσω, διορθώνοντάς με συνεχώς μέσα από λάθη και ξανά λάθη…
Αν δε μιλούσα τώρα Νίκο θα το μετάνοιωνα…
Γιατί το θέμα μας δεν είναι θέμα άποψης ή οπτικής γωνίας, αλλά μαθηματικό ερώτημα.
Αυστηρό όσο η ηθική μας υποχρέωση να πουμε πόσο κάνει το 1+1…
Θα το τολμήσω:
Νίκο χίλια συγγνώμη, αλλά το κείμενό σου δε μπορεί να σταθεί μαθηματικά…Έχει ασυνέπειες…
Και τις προτροπές σου για “παράνομες” και “λανθασμένες” επιλογές γύρω από το ω=0 του διεγέρτη και τη μορφή διέγερσης που πρέπει να υιοθετήσουμε, δεν τις στηρίζουν τα Μαθηματικά γιατί τους γύρισες λίγο την πλάτη… Τα αγνόησες… Κι αυτό είναι ύβρις!!!
Αν δε με πιστεύεις σε όσα σου λέω με κόπο και με κάθε καλή διάθεση, δώσε μου Νίκο το κείμενό σου σε word και καμιά από τις εξισώσεις του δε θα αντέξει… Δεν έχουν συνέπεια…
Να είσαι καλά Νίκο
Ας προχωρήσω με το αυτό εδώ
Και θα επανέλθω με ένα ακόμη κείμενό μου….
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 16 Οκτώβριος 2012 στις 20:15
Παιδιά είπα να μην αναμιχθώ και να παρακολουθήσω τη συζήτηση μια και οι συμμετέχοντες είναι πολύ καλύτεροι από εμένα αλλά….
Υποθέσατε ότι ένας μαθητής μου θέτει το πρόβλημα:
«Σε ένα σώμα που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη έχουσα τη διεύθυνση του ελατηρίου. Η αντίσταση είναι -b.υ. Τι θα ακολουθήσει;»
Εγώ επιπόλαια σκέφτομαι να γράψω τη δύναμη F = Fo.συνωt, με μηδενικό ω.
Κοιτάζω το διάγραμμα και αποφαίνομαι ότι ακολουθεί ταλάντωση που τελικά θα αποκτήσει πλάτος Fo/k. Απαντώ ανάλογα.
Αν λύσω το πρόβλημα σωστά θα απαντήσω ότι εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση περί τη θέση Fo/k, ταλάντωση με περιβάλλουσα που αρχικά έχει τιμή Fo/k. Στο τέλος θα ακινητοποιηθεί στη θέση x=Fo/k. Στην προσομοίωση που έστειλα στην αρχή της συζήτησης φαίνεται καθαρά αυτό με τις αρχικές ρυθμίσεις.
Η επισημάνσεις επομένως που γράφτηκαν από τους συμμετέχοντες ούτε περιττές ούτε περί όνου σκιάς ήταν. Προφυλάσσουν έναν από λάθος μια και είμαστε άνθρωποι και δεν πιάνουμε κάθε στιγμή χαρτί και μολύβι αλλά κάποια συμπεράσματα τα θέλουμε να προκύπτουν ως πορίσματα κάποιας μελέτης.
Για να χειροτερέψω το θέμα φανταστείτε να με ρωτήσουν τι θα γίνει σε κύκλωμα R-L-C αν συνδέσω συνεχή τάση και αντί να λύσω το πρόβλημα να απαντήσω βάσει του διαγράμματος.
Η προειδοποίηση της παρούσας συζήτησης είναι ωφέλιμη για δυο λόγους.
1. Προσέξτε τις οριακές καταστάσεις.
2. Κάθε πρόβλημα πρέπει να αντιμετωπίζεται ιδιαίτερα και δεν είναι πάντοτε μερική περίπτωση κάποιου άλλου.
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 16 Οκτώβριος 2012 στις 23:16
Γιάννη πρέπει να αναμειχτείς για να βγει το σωστό. Δεν υπάρχουν ευγένειες, ούτε εκπτώσεις στην αλήθεια.
Νιώθω άσχημα να είμαι εγώ και ο Νίκος μονομάχοι σε μια αρένα. Πρέπει να εμπλακείτε.
Τα πράγματα είναι ξεκάθαρα και το ερώτημα που είναι μπροστά μας αμείλικτο.
Καθαρά μαθηματικό: 1+1 πόσο κάνει;
Ή ο Νίκος έχει δίκιο ή εγώ!
Δεν υπάρχουν ευγένειες στα Μαθηματικά… Ούτε νικητής και νικημένος… Υπάρχει το σωστό!!!
Αν βοηθήσετε να απαντηθεί το ερώτημα θα γίνουμε όλοι καλύτεροι.
Γιάννη σε ευχαριστώ που παίρνεις θέση και απαντώ στους προβληματισμούς σου:
1) Στο δίκτυο συμπληρώνουμε ο ένας τον άλλον. Όταν εγώ γράφω ένα κείμενο φευγάτο και προκλητικό και πιθανώς εσύ να το απολαμβάνεις και εσύ σε δευτερόλεπτα κάνεις 27 προσομοιώσεις που σου παίρνω, στο δίκτυο συμπληρώνουμε ο ένας τον άλλον.
Κανένας δεν είναι καλύτερος από κανέναν άλλον. Υπάρχει πάνω από όλους μας η ομάδα που μας συντηρεί. Ο καθένας μόνος του δεν έχει μέλλον… Η ομάδα έχει μέλλον…
Εκείνους που φυλάνε τα νώτα τους, τους κοιτώ με δυσπιστία και τελικά τους απορρίπτω ως υστερόβολους.
Δε με νοιάζουν αυτοί, γιατί τους νοιάζει μόνο ο εαυτός τους και η δόξα τους.
Εδώ που ζυμωνόμαστε Γιάννη εμείς, είμαστε ίσοι με άλλες δυνατότητες ο καθένας..
2) Όταν μας πει οτιδήποτε ένας μαθητής, που δεν εμπίπτει στις εμπειρίες μας μην αυτενεργήσουμε, αλλά να έχουμε τη μετριοφροσύνη να του πούμε δε ξέρω. Δε λύνονται όλα με τις λίγες γνωστές μας σχέσεις, αλλά με επανατοποθέτηση του προβλήματος
Αν μας ρωτήσει κάτι άγνωστο ο μαθητής πρέπει Γιάννη να πάμε με σεβασμό στη διαφορική… Από την αρχή πάλι…
Αν δε το κάνουμε, να ξέρουμε ότι θα είμαστε αλαζόνες φυλάγοντας το μέτριο έως το λάθος…
Θυμάσαι την κίνηση της ράβδου σε επίπεδο με τριβές. Ποιος το περίμενε; Ούτε το είχα φανταστεί τί συμβαίνει! Και ούτε θα το ήξερα αν δε με τσίγκλαγε ο Πρόδρομος…
Ό,τι δεν εμπίπτει στις γνώσεις μας πρέπει να λέμε δεν ξέρω και όχι να προσεγγίζουμε τύπους.
Κανένας τύπος της εξαναγκασμένης με απόσβεση δε μπορεί να σε πάει στο χάος της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης της εξαναγκασμένης χωρίς απόσβεση.
Η εξαναγκασμένη με απόσβεση έχει μόνιμή κατάσταση κατί που είναι αδιανόητο για την χωρίς απόσβεση.
Το πλάτος Α(ω) στη μόνιμη κατάσταση της εξαναγκασμένης με απόσβεση είναι ανύπαρκτη υπόθεση για την εξαναγκασμένη χωρίς απόσβεση.
Όποιος επιχειρήσει να βάλει στο Α(ω) της εξαναγκασμένης με απόσβεση b=0 σχόλασε…
Το μόνο που επιτρέπεται είναι ή να ξαναστήσεις τη διαφορική ή να πας, το πολύ πολύ και μέχρι εκεί και όχι παρά πέρα και με μεγάλη προσοχή στην εξίσωση κίνησης.
Πουθενά πιο μακριά…
3) Γράφεις Γιάννη:
Υποθέσατε ότι ένας μαθητής μου θέτει το πρόβλημα:
«Σε ένα σώμα που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη έχουσα τη διεύθυνση του ελατηρίου. Η αντίσταση είναι -b.υ. Τι θα ακολουθήσει;»
Θα σου απαντήσω τούτο:
– Το ελατήριο μόνο του κάνει α.α.τ.
– Το ελατήριο με σταθερή δύναμη συντηρητική (π.χ. κατακόρυφο ελατήριο με βάρος) κάνει α.α.τ. με άλλη θέση ισορροπίας
– Το ελατήριο που λες Γιάννη με –bυ κάνει φθίνουσα ταλάντωση.
Αν τώρα η σταθερή δύναμη που λες είναι τίποτε τριβές μΝ με περιορισμένο πεδίο ορισμού ή με μεγαλύτερο και λοιπά, βοήθειά μας.
Θέλει διαφορική, όπου θα υπάρχουν δύο αποσβέσεις μία σταθερού μέτρου μΝ αλλά αντίρροπη της ταχύτητας και μια αντίρροπη αλλα ανάλογη της ταχύτητας.
Τέτοιο όμως πράμα δεν έχουμε εξετάσει.
Ας το δουλέψει κάποιος και ας μας το δώσει….
Μέχρι να μας το δώσει αυτός ο άγιος άνθρωπος νομίζω ότι δεν πρέπει να λέμε τίποτε.
Και το κυριότερο μην ανακατέψουμε καμιά «αρχή ανεξαρτησίας κινήσεων” γιατί θα γίνουμε κυριολεκτικά ρόμπες όλοι μας.
4) Δεν υπάρχει Γιάννη διεγέρτης με ω=0. Είναι σα να μου λες ότι υπάρχει απόσβεση με b=0. Δε μπορώ να μπερδεύομαι τόσο πολύ. Απλά βρες το κουράγιο να πεις ότι τέτοια δεν υπάρχουν.
Έχω μάθει και με ξέρεις, να λέω τα πράγματα με το όνομά τους.
Ή υπάρχει κάτι ή δεν υπάρχει. Το υπάρχει λίγο και μετά χάνεται είναι σα το λίγο γκάστρωμα.
Οποιαδήποτε απόπειρα Γιάννη να θέσουμε ω=0 στο τέλος μιας μαθηματικής επεξεργασίας θα είναι αυτοκτονία. Θα οδηγήσει σε τραγωδία.Τα λάθη θα είναι απανωτά, τα Μαθηματικά θα εκδικηθούνε, εμείς θα χάσουμε τον συνειρμό μας και τα συλλογιστικά και εννοιολογικά αδιέδοξα θα μας οδηγήσουνε σε κατάρρευση οποιασδήποτε θέσης μας.
Το αποτέλεσμα θα είναι ΤΡΑΓΩΔΙΑ!!!!
Τα λάθη θα είναι απανωτά και από παντού.
Τα Μαθηματικά δε συγχωρούνε. Μας αδειάζουν… Απλά εμείς πρέπει μετά να βρούμε το κουράγιο να τους πούμε συγγνώμη…
Φαντάζεσαι Γιάννη να σου πω αυτό:
Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι η εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με απόσβεση στην οποία D=0, b=0 και για τη συχνότητα του διεγέρτη F=F0ημωt ισχύει ω=0.
Μεγάλο μπέρδεμα! Σε κάτι τέτοιο με οδηγεί ο Νίκος
5) Γιάννη κωδικοποίησες κάτι πολύ σωστό
«…Η προειδοποίηση της παρούσας συζήτησης είναι ωφέλιμη για δυο λόγους.
α. Προσέξτε τις οριακές καταστάσεις.
β. Κάθε πρόβλημα πρέπει να αντιμετωπίζεται ιδιαίτερα και δεν είναι πάντοτε μερική
περίπτωση κάποιου άλλου…»
Θα επέμβω λίγο:
α. Προσέξτε τους περιορισμούς των παραμέτρων μιας συνάρτησης και τα πεδία ορισμού
των μεταβλητών. Καμιά παράμετρος εφόσον κινείται στους περιορισμούς της δε μπορεέι
να χαλάσει την ποιότητα μιας συνάρτησης η οποία διατηρεί ΠΑΝΤΑ τις ιδιότητές της και τα
συμπεράσματα με τα οποία την προίκισε η μαθηματική της ανάλυση.
β. Κάθε πρόβλημα πρέπει να αντιμετωπίζεται ιδιαίτερα και δεν είναι πάντοτε μερική
περίπτωση κάποιου άλλου…»
5) Στο κύκλωμα που λες Γιάννη, κάνε τις αντιστοιχίες με τη μηχανική και ξέχνα την ακτινοβολία….
Να είσαι καλά Γιάννη…
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 16 Οκτώβριος 2012 στις 23:30
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Θα προσπαθήσω να κωδικοποιήσω την κατάσταση όπως την αντιλαμβάνομαι.
1) Σε επίπεδο μαθηματικών έχει νόημα να αναζητήσω λύσεις της εξίσωσης
mx΄΄+Dx+bx΄=F1ημ(ωt)+F2συν(ωt) (1)
όπου m, D, b>0 και ω≥0.
2) Όταν αναφερόμαστε σε στάσιμη κατάσταση εννοούμε ότι b>0 και ενδιαφερόμαστε για λύσεις στις οποίες δεν υπεισέρχεται όρος που να είναι λύση της ομογενούς.
2) Η λύση της (1) για ω=0 δεν επιτρέπεται σε καμμία περίπτωση να εξαχθεί ως ειδική περίπτωση της λύσης με ω τυχαίο αντικαθιστώντας ω=0.
Η λύση για ω=0 θα πρέπει να εξαχθεί αφού αντικαταστήσουμε στην (1) ω=0.
Στο σημείο αυτό ο Νίκος κάνει μια λαθροχειρία Αντικαθιστά στην (5) ω=0.
Όταν ω=0 και F2=0 τότε η λύση στην στάσιμη κατάσταση είναι η x=0.
3) Το αν η λύση της (1) για ω=0 μπορεί να χαρακτηριστεί ή όχι εξαναγκασμένη ταλάντωση δεν είναι θέμα των Μαθηματικών αλλά των Φυσικών.
Στο σημείο αυτό θα διαφωνήσω με τον Θρασύβουλο και θα συμφωνήσω με τον Νίκο ότι τίθεται ζήτημα οπτικής γωνίας.
Διαλέγοντας οπτική γωνία τάσσομαι κατηγορηματικά υπέρ της άποψης του Θρασύβουλου.
Μια σταθερή δύναμη δεν πρέπει να θεωρηθεί διεγέρτης μηδενικής συχνότητας. Θα μας οδηγήσει σε τραγέλαφους σαν αυτούς που περιγράφει ο Θρασύβουλος.
Από την πρώτη στιγμή έγραψα ότι «Προσωπικά όταν σχεδιάζω την καμπύλη συντονισμού, στο σημείο που τέμνει τον άξονα των πλατών βάζω «κυκλάκι» δηλώνοντας ότι η περίπτωση ω=0 είναι εκτός πεδίου ορισμού στην μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης.»
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 16 Οκτώβριος 2012 στις 23:43
Θρασύβουλε τελικά το παράδειγμά μου δεν ήταν καλό. Φυσικά πρέπει να λέμε δεν ξέρω χωρίς ντροπές. Σε αντίθετη περίπτωση γινόμαστε ξερόλες. Ούτε είναι το θέμα πως θα ανταπεξέλθουμε σε διδακτικά καθήκοντα. Ούτε θα βρεθεί μαθητής να ρωτήσει κάτι τέτοιο.
Θέλω να πω ότι αν δεν είχε ξεκινήσει η συζήτηση πολύ εύκολα παρασύρεται κάποιος και κάνει λάθος θεωρώντας την περίπτωση του παραδείγματός μου ως οριακή περίπτωση της γενικής μελέτης.
Αντιλαμβάνομαι ότι ο διεγέρτης έχει περιοδικότητα αν και το εν λόγω πεδίο ορισμού με μπερδεύει.
Δεν έχει όμως σημασία μια και η συζήτηση ακόμα και αν δεν καταλήξει μας δίδαξε το να προσέχουμε την περίπτωση σταθερής δύναμης.
Θυμάμαι φυσικά την περίπτωση της ράβδου. Ούτε η συζήτηση με την αρχή της ανεξαρτησίας είχε καταλήξει οριστικά αλλά όφελος είχε. Πριν από αυτήν θα κάναμε λάθος εφαρμόζοντάς την στη ράβδο αλλά τώρα είμαστε υποψιασμένοι.
Έτσι και εδώ. Τόσο τη σταθερή δύναμη όσο και την συνεχή τάση θα την προσέχουμε πλέον μια που έχουμε εγκαίρως και αρκούντως ειδοποιηθεί.
Γράφεις:
Οποιαδήποτε απόπειρα Γιάννη να θέσουμε ω=0 στο τέλος μιας μαθηματικής επεξεργασίας θα είναι αυτοκτονία. Θα οδηγήσει σε τραγωδία.Τα λάθη θα είναι απανωτά, τα Μαθηματικά θα εκδικηθούνε, εμείς θα χάσουμε τον συνειρμό μας και τα συλλογιστικά και εννοιολογικά αδιέδοξα θα μας οδηγήσουνε σε κατάρρευση οποιασδήποτε θέσης μας.
Το αποτέλεσμα θα είναι ΤΡΑΓΩΔΙΑ!!!!
Το αντιλαμβάνομαι αλλά το αντιλαμβάνομαι τώρα. Πριν τη συζήτηση πόσο το είχα καταλάβει; Βέβαια ο Διονύσης είχε θέσει άσκηση με σταθερή δύναμη και τέτοια προβλήματα έτσι τα αντιμετώπιζα αλλά κίνδυνος χοντρών λαθών πάντοτε υπάρχει.
Αν αφήσουμε το πρακτικό κομμάτι και πάμε στο πεδίο ορισμού ενώ καταλαβαίνω το πρόβλημα όταν ω = 0 με μπερδεύει ο αποκλεισμός της περίπτωσης. Σε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών x , y συν(x.y) οι μηδενικές τιμές δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού; Η συνάρτηση συν(k.t) δεν έχει νόημα για k = 0 ;
Σχόλιο από τον/την Σαράντος Οικονομίδης στις 16 Οκτώβριος 2012 στις 23:50
H αλήθεια είναι ότι δεν έχω παρακολουθήσει το ζήτημα αυτό οπότε δεν μπορώ να έχω άποψη. Μου άρεσε η δουλειά του Νίκου λόγω και της παρατήρησης για τη μορφή με το συνημίτονο. Αλλά πράγματι κατανοώ την ένσταση ότι: για ποια εξαναγκασμένη μιλάμε όταν ω->. Εν πάσει περιπτώσει επειδή δεν έχω χρόνο να γράφω εξισώσεις και επειδή θεωρώ ότι πρόκειται για λεπτομέρεια της λεπτομέρειας (συγνώμη για την έκφραση) σας στέλνω ένα έγγραφο που στο τέλος έχει ένα ενδιαφέρον γράφημα και πριν το τέλος ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. Δεν πιστεύω να βοηθήσει αλλά στη φάση αυτή μόνο αυτό μπορώ να προσφέρω. Που ξέρεις.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 17 Οκτώβριος 2012 στις 4:19
Αν έχω καταλάβει καλά την ουσία της διαφωνίας του Θρασύβουλου, προσθέτω εδώ ένα αρχείο το οποίο είναι σύντομο και πλήρως κατανοητό (θέλω να πιστεύω)!
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 17 Οκτώβριος 2012 στις 11:10
Γιάννη γεια σου
Σε αυτό που με ρωτάς
“…Αν αφήσουμε το πρακτικό κομμάτι και πάμε στο πεδίο ορισμού ενώ καταλαβαίνω το πρόβλημα όταν ω = 0 με μπερδεύει ο αποκλεισμός της περίπτωσης. Σε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών x , y συν(x.y) οι μηδενικές τιμές δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού; Η συνάρτηση συν(k.t) δεν έχει νόημα για k = 0 ;…”
θα σου απαντήσω όσο πιο απλά μπορώ:
Θες να εξετάσεις κάτι που να έχει συνημίτονο ή θες να εξετάσεις το 1;
Άλλο πράγμα η συνάρτηση συνx χ ανήκει στο R , που περνά από το 1 και φεύγει για άλλες τιμές και άλλο το συν(k.t) με k = 0 t ανήκει στο R που τελικά αποδεικνύεται μπλόφα μιας και είναι η σταθερή συνάρτηση 1.
Άλλη συνάρτηση το συν(k.t) με k≠0 και t ανήκει στο R που είναι περιοδική
και άλλη συνάρτηση το συν(k.t) με k=0 και t ανήκει στο R που είναι η μπλόφα 1 για πάντα.
Θα σε ρωτήσω τελικά Γιάννη:
Τί θες να εξετάσεις γιατί και τα δύο μαζί δεν εξετάζονται…
Έχω κάτι στο 6) της σελίδας 3 της δουλειάς μου που επισυνάπτω στο τέλος.
Αλλά να σου απαντήσω και από εδώ και με άλλο τρόπο από τον παραπάνω:
Νόημα σε μια συνάρτηση δεν έχει τί σε εμάς φαίνεται «αυτονόητο» ή τί σε εμάς φαίνεται σχολαστικό, αλλά τί μας λένε οι περιορισμοί της.
Το συν(κt) με κ>0 και t≥0 είναι άλλο από το συν(κt) με κ≥0 και t≥0 και άλλο από το συνx με xєR.
Άσχετα αν σε κάποιους φαίνονται όλα ίδια και εξεζητημένα και σχολαστικισμός, τα Μαθηματικά πρέπει να προσέχουν τους περιορισμούς τους γιατί πρέπει να ξέρουν τί θα κάνουν και μέχρι που θα πάνε.
Τα Μαθηματικά είναι αυστηρότατη λογική και δεν αφήνουν περιθώρια διαπραγμάτευσης, γιατί πρέπει να προστατεύσουν τον εαυτό τους.
Να επιχειρήσω μια αίσθηση της μεγάλης προσοχής με την οποία πορεύονται τα Μαθηματικά:
Όταν κάνουν θεωρία τριωνύμου (δε λέω με συντελεστές μιγάδες) για παράδειγμα, λένε ότι τώρα θα βγάλω συμπεράσματα και θεωρήματα και… και… από τη συνάρτηση (πρόσεξε πόση λεπτομέρεια)
f(x)=α(x^2)+βx+γ με α≠0 β, γ πραγματικοί και x στους πραγματικούς
Οπότε η ερώτησή σου Γιάννη αν μεταφερθεί εδώ θα είναι η εξής:
«Για α=0 η συνάρτηση f(x) δεν έχει νόημα;»
Νόημα έχει, αλλά θα τα κάνει όλα μια άλλη υπόθεση, η οποία δεν είναι αυτή που θέλουμε ΤΩΡΑ να εξετάσουμε.
Και το κυριότερο είναι ότι όσα συμπεράσματα βγάλουνε τα Μαθηματικά από την επεξεργασία της συγκεκριμένης συνάρτησης(τριώνυμο), σου απαγορεύουνε να τα μεταφέρεις οπουδήποτε αλλού με προχειρότητα, αν αγνοήσεις τον πανίσχυρο περιορισμό της παραμέτρου α.
Η φράση «πανίσχυρος περιορισμός» που είπα δεν είναι καθόλου μα καθόλου υπερβολή και πολύ περισσότερο δεν είναι σχολαστικισμός!
Το τριώνυμα ΠΟΤΕ δε γίνεται ευθεία, έστω και αν μας έρχεται να πούμε α=0.
Η θεωρία τριωνύμου δεν προβλέπει α=0 και δε σε νομιμοποιεί να χρησιμοποιήσεις τα συμπεράσματα που έβγαλες από το τριώνυμο στην πρωτοβάθμια συνάρτηση.
Φαντάζεσαι να κατάφερνες να βγάλεις τις ρίζες της πρωτοβάθμιας από τον τύπο των ριζών της δευτεροβάθμιας;
Δε θα ήσουν μάγκας εσύ από μικράκι, αλλά ηλίθια τα Μαθηματικά που βάλανε περιορισμό α≠0 !
Το α≠0 Γιάννη, είναι περιορισμός παραμέτρου Π Α Ν Ι Σ Χ Υ Ρ Ο Σ
Θέλει πολύ μεγάλη προσοχή η χρησιμοποίηση των συμπερασμάτων της θεωρίας του τριωνύμου. Εκείνο που σου επιτρέπεται να πεις είναι το εξής:
Η τιμή f(x1) ενός τριωνύμου όταν το α→0+ , για παράδειγμα, τείνει … εκεί και εκεί.
Η ρίζα του τάδε τριωνύμου όταν α→0- τείνει εκεί.
Τα υπόλοιπα είναι δικές μας τσαπατσουλιές και προχειρότητες.
Το ημωt με ω>0 και t≥0 ποτέ δε γίνεται μαθηματικά μηδενική συνάρτηση ό,τι και να κάνει το ω εφόσον μένει στους περιορισμούς του.
Το να βάλουμε ω=0 είναι σα να θέλουμε να βάλουμε α=0 στο τριώνυμο.
Κάντο, αλλά αυτό που θα πάρεις δε θα είναι αυτό που σε ενδιέφερε αρχικά αλλά μια άλλη υπόθεση.
Εγώ απλά θα σε ρωτήσω Γιάννη, τί θες τελικά να κάνεις;
Θες θεωρία εξαναγκασμένου με απόσβεση ή φθίνουσα;
Θες θεωρία εξαναγκασμένου χωρίς απόσβεση ή απλή αρμονική ταλάντωση;
Με λίγα λόγια θα σε ρωτήσω το αντίστοιχο:
Θες να δεις τί συμβαίνει στο τριώνυμο ή θα θες να μας πνίξεις στην πρωτοβάθμια συνάρτηση;
Φαντάζεσαι Γιάννη να θελήσω ελαφρά τη καρδία να βγάλω τις ρίζες της f(x)=βx+γ από τις ρίζες της φ(x)=αx2+βx+γ λέγοντας ότι θα βρω τις ρίζες της φ(x) και μετά θα μηδενίσω το α;
Δεν ξέρω Γιάννη αν σου απάντησα; Αλλιώς να το πω και με άλλο παράδειγμα. Τί λες;
Ανεβάζω μια δουλειά μου που είχα έτοιμη σχεδόν από την Παρασκευή που μας πέρασε.
Αφορά το κείμενο του Νίκου.
Και με ευκαιρία το ερώτημα του Γιάννη λέω τούτο.
Θέλουμε να εξετάσουμε εξαναγκασμένη ή κάτι άλλο; Θέλουμε να εξετάσουμε τριώνυμο ή να βάλω α=0 και να πάμε για πρωτοβάθμια;
Εδώ
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 17 Οκτώβριος 2012 στις 12:34
Αποκαθιστώντας τα μαθηματικά
Κάποιες πρόσθετες σκέψεις και διορθώσεις, οι οποίες αποσαφηνίζουν το πρόβλημα.
Θεωρούμε την ΔΕ
mx΄΄+Dx+bx΄=F1ημ(ωt)+F2συν(ωt) (1)
όπου m, D, b>0 και ω≥0 με αρχικές συνθήκες x(0)=x0 και x΄(0)=υ0.
Έστω x(ω,t) η λύση της (1) όταν ω>0 και x0(t) η λύση της (1) όταν ω=0 με τις ίδιες αρχικές συνθήκες.
Σε προηγούμενή μου τοποθέτηση είχα γράψει λάθος ότι «Η λύση της (1) για ω=0 δεν επιτρέπεται σε καμμία περίπτωση να εξαχθεί ως ειδική περίπτωση της λύσης με ω τυχαίο αντικαθιστώντας ω=0.»
Το ερώτημα που τίθεται μαθηματικά είναι στο κατά πόσον η λύση είναι συνεχής συνάρτηση των παραμέτρων.
Στο σημείο αυτό αρχίζουμε να εισερχόμαστε στα χωράφια της συναρτησιακής ανάλυσης. Για να αποφασίσουμε αν μια συνάρτηση τείνει σε μια άλλη θα πρέπει να υιοθετήσουμε τοπολογία στο χώρο των συναρτήσεων.
Υιοθετώντας την τοπολογία της κατά σημείο σύγκλισης θα πρέπει να ελέγξουμε αν για κάθε t≥0.
Η απάντηση στο σημείο αυτό είναι καταφατική.
Δηλαδή η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι συνεχής συνάρτηση των παραμέτρων.
Το συμπέρασμά μου επιβεβαιώνουν τα αποτελέσματα του Νίκου στην τελευταία αναφορά του.
Υποθέτουμε ότι ο διεγέρτης έχει την μορφή F=F0 ημ(ωt) ω>0
Η μερική λύση της (1) δίνεται από την σχέση (3) του Νίκου.
Η λύση αυτή παίρνει την μορφή x(ω,t)=Aημ(ωt+θ) όπου το Α δίνεται από την (5) και
εφθ=-bω/(D-mω2).
Όταν ω→0 τότε εφθ→0 αρα ημθ→0. Συνεπώς x(ω,t)→0.
Ποιό απλά η σχέση (3) όταν ω→0 τείνει στην x(t)=0.
Λύνοντας απ’ ευθείας την αρχική διαφορική εξίσωση με ω=0 καταλήγουμε στην ίδια μερική λύση x(t)=0.
Επομένως η λύση της (1) (ως προς την τοπολογία της κατά σημείο σύγκλισης) είναι συνεχής συνάρτηση της παραμέτρου ω.
Νομίζω ότι το βασικό λάθος που κάνει ο Νίκος είναι ότι εξετάζει την συνέχεια του πλάτους και όχι την συνέχεια της λύσης.
Βάσει των παραπάνω οι Φυσικοί και μόνο αυτοί καλούνται να απαντήσουν στο ερώτημα. Πρέπει να θεωρηθεί μια σταθερή δύναμη αρμονικός διεγέρτης με μηδενική συχνότητα; Η προσωπική μου άποψη είναι πως όχι.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 17 Οκτώβριος 2012 στις 18:34
Γεια σας παιδιά.
Παρακολουθώ με προσοχή τις τοποθετήσεις σας, μέρες τώρα, αποφεύγοντας να πάρω θέση. Τι θέση να πάρεις όταν έχεις απέναντί σου ανθρώπους που θαυμάζεις για τις μαθηματικές τους γνώσεις;
Θα μου επιτρέψετε λοιπόν να πω μερικά πράγματα, χωρίς να μπλέξω με πολλά μαθηματικά, σαν ένας απλός φυσικός.
Νομίζω η διαφωνία μεταξύ Νίκου και Θρασύβουλου ξεκινά από το τι εννοούμε λέγοντας ω=0.
Ο Νίκος ξεκινά με κάποιο ω>0, συνεπώς ξεκινά από μια ταλάντωση που είναι όντως εξαναγκασμένη και αρχίζει να μικραίνει το ω, προσπαθώντας να βρει τι θα συμβεί αν ω→0 και τα συμπεράσματα που καταλήγει «τα ονομάζει» συμπεράσματα για πολύ μικρά ω ή ισοδύναμα για ω=0.
Ο Θρασύβουλος αρνείται τη συλλογιστική αυτή, λέγοντας ότι αν ω=0, δεν έχω εξαναγκασμένη ταλάντωση, άρα το τι θα γίνει δεν θα το βγάλω, μελετώντας μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.
Προσωπικά έχω την άποψη ότι πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τον όρο εξαναγκασμένη ταλάντωση. Το έχω ξαναγράψει, έχω την άποψη ότι μια ταλάντωση πρέπει να ονομάζεται εξαναγκασμένη, όταν πράγματι «εξαναγκάζεται» το σώμα να ταλαντωθεί και το κύριο γνώρισμά της, που την κάνει να ξεχωρίζει από άλλα είδη, είναι το ότι το σώμα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη. Και προφανώς στα πλαίσια της διδασκαλίας μας, μιλάμε για την περίπτωση που η διεγείρουσα δύναμη είναι της μορφής F=F0ημ(ωt+φ0), όπου ω>0, δηλαδή πρέπει να είναι πράγματι περιοδική και όχι ας πούμε σταθερή. Αν το ω=0, δεν υπάρχει καμιά εξαναγκασμένη ταλάντωση.
Από τη σκοπιά αυτή με βρίσκει μεθοδολογικά σύμφωνο η άποψη του Θρασύβουλου.
Αλλά ο Νίκος τι έκανε; Αυτό που εγώ αντιλαμβάνομαι, είναι ότι προσπαθεί, ξεκινώντας από αυτή τη γνωστή εξίσωση της εξαναγκασμένης, να εξάγει κάποια συμπεράσματα για την ακραία κατάσταση που το ω→0 και που τελικά οδηγεί ή δεν οδηγεί σε κάποια κίνηση, που τα χαρακτηριστικά της την κατατάσσουν είτε στην ΑΑΤ (αν b=0), είτε σε φθίνουσα αν b≠0.
Και διαβάζοντας τα κείμενά του δεν βλέπω να καταλήγει σε λάθος συμπεράσματα, όσον αφορά το αποτέλεσμα που προκύπτει από την πλευρά ενός φυσικού που μελετά μια τέτοια ταλάντωση.
Θα συμφωνήσω τέλος με τον Βαγγέλη, όταν κάνουμε την καμπύλη συντονισμού, καλό είναι να πούμε ότι η καμπύλη δεν κόβει τον κατακόρυφο άξονα για ω=0, σχεδιάζοντας ένα κυκλάκι, αφού πράγματι υπάρχει πρόβλημα. Το πρόβλημα, ότι αν ω=0, δεν υπάρχει καμιά εξαναγκασμένη ταλάντωση.
Σχόλιο από τον/την Σαράντος Οικονομίδης στις 17 Οκτώβριος 2012 στις 18:44
Συμφωνώ απόλυτα ως “εκπαιδευτικός φυσικός” με την τοποθέτηση του Διονύση. Μου φαίνεται ότι και το σχήμα στο άρθρο που σας έστειλα αλλά και οι παρατηρήσεις συμφωνούν.