by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 19 Φεβρουάριος 2013 και ώρα 22:30
Επειδή για τους μαθητές το ερώτημα “να αποδείξετε ότι το σύστημα ισορροπεί” είναι δύσκολο, βασιζόμενος στο Δ1 του 2011 ανεβάζω αυτό το αρχείο όπου περιγράφω διάφορους τρόπους απόδειξης.
Στα γραπτά των μαθητών υπήρχε η πρώτη λύση που χαρακτηρίζω ως προβληματική. Φυσικά οι μαθητές έλαβαν όλα τα μόρια. Αν κάνω λάθος ευχαρίστως να διορθώσω το κείμενο.
Για τη δεύτερη λύση (με το Στεξ=0) που χαρακτηρίζω προβλήματική δεν νομίζω ότι υπάρχει αντίρρηση.
Το αρχείο σε word 2003, σε pdf και σε word 2007 για τους μοντέρνους 🙂
Εδώ ένα αρχείο ppt με τα σχήματα της άσκησης σε επεξεργάσιμη μορφή για όποιον επιθυμεί να κάνει τροποποιήσεις.
Καλημέρα Νίκο.
Βλέπω αναδρομή στο παρελθόν … και καλά κάνεις 🙂
Τα είχαμε συζητήσει βέβαια και τότε, αλλά μια και το επαναφέρεις, να υπενθυμίσω κι εγώ ότι το ερώτημα όπως είχε τεθεί στις εξετάσεις ήταν:
«Δ1. Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση.»
Στη μορφή αυτή, αν θέλουμε να τηρήσουμε την πρέπουσα σοβαρότητα, και αν το Μ είναι κρεμασμένο με νήμα από το σημείο Β, τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση!
Δεν μπορούμε δηλαδή να αποδείξουμε “ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση”, διότι το σύστημα (μπορεί να) ισορροπεί σε οποιαδήποτε θέση και όχι μόνο στην οριζόντια.
Η ορθή λύση στο Δ1 έτσι όπως ήταν διατυπωμένο θα ήταν:
α) Να θεωρήσουμε τυχαία θέση της ράβδου, που να σχηματίζει π.χ. γωνία θ με την οριζόντια.
β) Να εκφράσουμε τη συνισταμένη των ροπών ως προς Ο σε συνάρτηση με τη γωνία θ: Στ=f(θ).
γ) Από τη σχέση αυτή να προκύπτει ότι για θ=0 είναι Στ=0, ενώ για οποιαδήποτε άλλη τιμή της θ να προκύπτει ροπή που να τείνει να στρέψει τη ράβδο προς την οριζόντια θέση.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση όμως η Στ ήταν μηδενική για οποιαδήποτε τιμή της θ, επομένως το Δ1 δεν είχε λύση.
Στην ανάρτησή σου έχεις τροποποιήσει το ερώτημα αυτό σε:
«Αν τα σώματα του συστήματος αφεθούν ελεύθερα από την ηρεμία με το σωλήνα στην οριζόντια θέση και το νήμα κατακόρυφο όπως στο σχήμα, να αποδείξετε ότι θα εξακολουθήσουν να ισορροπούν»,
το οποίο έχει βέβαια λύση 🙂
(Είναι όμως διαφορετικό από αυτό που ζητούσαν στο Δ1)
Φυσικά έχεις κάνει εξαιρετική ανάλυση!
Η λύση που θα περίμενα από τα παιδιά σαν πιό “ορθόδοξη” αν το ερώτημα είχε τεθεί σ’ αυτή τη μορφή, είναι αυτή που παρουσιάζεις τελευταία:
Εφόσον το σύστημα “αφήνεται από την ηρεμία στην οριζόντια θέση”, δεν γνωρίζουμε αν θα κινηθεί, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι στη θέση αυτή έχει μηδενική επιτάχυνση.
Ωραία δουλειά.
Τελικά το αντίστροφο έχει προβλήματα. Ακόμα και σε θέμα του τύπου δείξε ότι ισορροπεί η μηχανή Atwood μόνο με κάποια από τις ιδέες που παρουσιάζεις δίνεται απόδειξη. Τα νήματα τελικά είναι το προβληματικό σημείο;
Οι ράβδοι δημιουργούν ένα ενιαίο στερεό αλλά τα νήματα;
Σε δυο λεία κεκλιμένα επίπεδα δύο σώματα δεμένα και τροχαλία. Δείξε ότι ισορροπούν αν οι μάζες είναι αντιστρόφως ανάλογες των ημιτόνων. Πάλι πρόβλημα.
Nίκο Καλησπέρα …πολύ καλή εργασία.
Όμορφος προβληματισμός . Πολύ καλή αναλυτική παρουσίαση.
Χαίρομαι τις εργασίες που αποτυπώνεται ο προσωπικός προβληματισμός και η φυσική σκέψη του Συναδέλφου.
Να’σαι καλά.
Γιάννη νομίζω ότι το πρόβλημα στην περίπτωση της αδιάφορης ισορροπίας είναι οι αρχικές συνθήκες.
Εξαρτάται δηλαδή από τη διατύπωση του ερωτήματος.
Στο παράδειγμα που δίνεις π.χ. πρέπει να δηλώσεις ότι: «αν όλα τα σώματα είναι αρχικά ακίνητα και το νήμα τεντωμένο, να δείξετε ότι μόλις αφεθούν ελεύθερα …».
Τα σώματα θα παραμείνουν ακίνητα μόνο αν προκύψει στο καθένα μηδενική επιτάχυνση.
Από Νεύτωνα, 3 εξισώσεις με αγνώστους τις Τ1, Τ2 και την κοινή α του κάθε σώματος (αφού αγων=α/R). Από εκεί προκύπτει ότι αν m1∙ημφ1=m2∙ημφ2 τότε α=0, αλλιώς α≠0.
Κι ο Νίκος στη διατύπωσή του το ίδιο κάνει: «Αν αφεθούν ελεύθερα από την ηρεμία με το σωλήνα στην οριζόντια θέση και το νήμα κατακόρυφο …»
Είναι εμφανές ότι χωρίς το κρεμασμένο βάρος στο Β η ράβδος θα στρεφόταν ανάποδα από το ρολόι. Επομένως το νήμα παραμένει τεντωμένο και υπάρχει ο κινηματικός περιορισμός αγων=α/d. Αν προκύψει λοιπόν ότι α=0 τότε το σύστημα παραμένει ακίνητο.
Ο τρόπος όμως πού ήταν διατυπωμένο το ερώτημα Δ1 στις πανελλαδικές παρέπεμπε σε τελείως διαφορετική κατάσταση. Η διατύπωση:
«Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση»,
υπονοεί «αποδείξτε ότι υπάρχει θέση ευσταθούς ισορροπίας», ότι το σύστημα ισορροπεί δηλαδή μόνο στην οριζόντια θέση κι όχι σε κάποια άλλη, ότι μόνο σ’ αυτή ισχύουν οι συνθήκες ισορροπίας, κάτι που βέβαια δεν συμβαίνει.
Παρόμοιας … φιλοσοφίας ερώτημα θα ήταν π.χ. να ζητηθεί:
«Αποδείξτε ότι το βιβλίο ισορροπεί στο κέντρο του τραπεζιού!»
Δηλαδή αν το αφήσουμε ελεύθερο στην άκρη, αυτό θα … πάει τελικά να σταθεί στο κέντρο;
Διονύση εννοώ ότι το αφήνεις αρχικά ακίνητο αλλά το έγραψα βιαστικά.
Ακόμα και τότε πως θα βολέψουμε τις τάσεις των νημάτων χωρίς “κόλπα”;
Ισορροπεί => τάση ίση κατά μέτρο με το βάρος.
Όταν όμως έχουμε δύο σώματα δεμένα με νήμα;
Πρέπει να ειπωθεί ότι …. άρα η επιτάχυνση είναι μηδέν οπότε …. σταθερή ταχύτητα και αν αρχικά … τότε ισορροπεί.
Ορισμένα πράγματα είναι απλά και κατανοητά αλλά η τυπική τους απόδειξη …
Για παράδειγμα:
Σου δίνω μάζες και αποστάσεις. Καταλαβαίνει οιοσδήποτε την φορά περιστροφής αλλά η εξήγηση;
Η διπλή τροχαλία δεν δέχεται τα βάρη αλλά τις Τ. Χωρίς στροφορμή συστήματος ή άλλο κόλπο πως το εξηγείς;
Κάτι παρόμοιο έχουμε και στην δουλειά του Νίκου όπου το σύστημα δεν είναι στερεό.
Θυμάμαι τη δική σου δουλειά και το Δ1. Μπορεί η ισορροπία να είναι σε οιαδήποτε θέση οπότε το “αποδείξατε ότι ισορροπεί σε οριζόντια θέση” είναι άτοπο μια και εκλαμβάνεται ως “ισορροπεί μόνο σε οριζόντια θέση.
Ευχαριστώ τους συναδέλφους για τα θετικά σχόλια.
Ο προβληματισμός μου είναι αν σε ερώτημα του τύπου “αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί” μπορούμε να λέμε “έστω ότι το σύστημα ισορροπεί” και στη συνέχεια με βάση το “έστω” να υπολογίζουμε μέτρα δυνάμεων και αν στο τέλος βρούμε κάτι που ισχύει να ισχυριζόμαστε ότι “τελικά το σύστημα ισορροπεί”.
Δηλ. η πρώτη λύση που δίνω είναι προβληματική ή όχι;
Όπως γράφει και ο Γιάννης παλαιότερα είχε τεθεί θέμα, να αποδειχθεί ότι η μηχανή Atwood με δύο μάζες ισορροπεί.
Διονύση συμφωνώ ότι το Δ1 έτσι διατυπωμένο δεν είχε λύση, διαφωνώ με τρόπο που προτείνεις αν υπολογίζεις τις ροπές των δυνάμεων που ασκούνται ΜΟΝΟ στη ράβδο, διότι η τάση του νήματος είναι άγνωστη.
Πρέπει να υπολογίσουμε ως προς το Ο τη ροπή των ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ δυνάμεων του συστήματος.
Επειδή αυτή θα προκύψει μηδέν, με διατήρηση στροφορμής καταλήγουμε ότι το σύστημα ισορροπεί σε κάθε θέση.
Αυτό ακριβώς λέω Γιάννη, δεν χρειάζονται κόλπα διότι δεν θεωρείς δεδομένο ότι ισορροπεί, αποδεικνύεις ότι ισορροπεί, αρκεί να είναι αρχικά το νήμα τεντωμένο, για να μην μπορούν να κινηθούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.
Το γεγονός ότι τα σώματα είναι αρχικά ακίνητα δεν παραπέμπει στη ΣF=0 ή Στ=0.
Δεν γνωρίζουμε αν θα παραμείνουν ακίνητα, το αποδεικνύουμε καταλήγοντας ότι α=0.
Στο παράδειγμα που γράφεις οι τάσεις είναι άγνωστες. Οπότε:
ΣF1=m1∙αγων∙R1 , ΣF2=m2∙αγων∙R2 , Στ=Ι∙αγων
και με επίλυση προκύπτει Τ1=m1∙g , T2=m2∙g και αγων=0.
Τυπικά είναι προβληματική η λύση. Αν βρούμε και ένα αντιπαράδειγμα (που δεν το πιστεύω) είναι και ουσιαστικά προβληματική.
Διονύση βλέπεις ότι από τη Στατική γυρίζει αναπόφευκτα στη δυναμική το πρόβλημα.
Εκτός αν η επιβεβαίωση της υπόθεσης που λέει ο Νίκος είναι λύση αποδεκτή.
Γιάννη και Νίκο τώρα είδα τα τελευταία σας σχόλια.
Συμφωνώ Γιάννη, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συνθήκες ισορροπίας αφού δεν γνωρίζουμε αν ισορροπεί.
Νίκο δεν καταλαβαίνω τι εννοείς. Αφού είναι δύο τα σώματα, δεν απαλοίφεται η τάση από τις εξισώσεις;
Διονύση γράφω ότι διαφωνώ με τον τρόπο που προτείνεις ΑΝ υπολογίζεις τις ροπές των δυνάμεων που ασκούνται ΜΟΝΟ στη ράβδο.
Φυσικά για όλο το σύστημα ισχύει Στ(Εξ)=0.
Η απορία μου είναι αυτή που γράφω με έντονα γράμματα παραπάνω.
Το 2011 το διαδίκτυο είχε γεμίσει με λύσεις που ξεκινούσαν έστω ότι το σύστημα ισορροπεί …. και κατέληγαν άρα το σύστημα ισορροπεί.
Εντάξει Νίκο, δεν κατάλαβα τι εννοούσες.
Συμφωνώ φυσικά κι εγώ μαζί σου.
Καλησπέρα Νίκο. Πολύ εύστοχη η αναδρομή σου, για να μην ξεχνούμε τα επαναλαμβανόμενα λάθη… Πάντα σωστός, ακριβής με την απαιτούμενη απόδοση της πρέπουσας σημασίας στη λεπτομέρεια…
Μπράβο Νίκο. Πολύ αναλυτική και διεξοδική μελέτη.
Μελετώντας την, σε βλέπω να κάνεις κριτική στην ανάρτηση (και λύση), Μια δοκός ακουμπά σε κοντύτερο τοίχο.…
Διονύση αν και ήθελα να το κρύψω…, σωστά κατάλαβες. Έμμεσα αυτό ακριβώς κάνω 🙂
Πιστεύω τις επόμενες μερές να βρω χρόνο να ψάξω διεξοδικά τη λύση στο ερώτημα iii. στην ανάρτησή σου “Μια δοκός που ακουμπά σε κοντύτερο τοίχο”.
Μανώλη ευχαριστώ για το θετικό σχολιασμό, για μένα προέχει η προσοχή στην ακρίβεια και στις λεπτομέρειες. Αν εμείς αρχίσουμε να λέμε “ε και τι έγινε”, “άστο δεν πειράζει”, “το ίδιο περίπου είναι”, τότε τι μπορούμε να περιμενούμε από τους μαθητές μας;
Νίκο, περιμένω…
Νίκο πολύ ωραία και διεξοδική παρουσίαση.Νομίζω ότι ο τελευταίος τρόπος είναι πιο κοντά σε μαθητές που διδάσκονται το στερεό για πρώτη φορά, δύο -τρεις μήνες πριν εξεταστούν.
Στην ουσία η ανάρτηση ρωτάει:
«Είναι τυπικά σωστό όταν μας ερωτούν αν ένα ακίνητο σύστημα θα εξακολουθήσει να ισορροπεί εμείς να υποθέτουμε ότι ισορροπεί , να υπολογίζουμε τα βάρη και αν ταυτίζονται με τα υπάρχοντα να απαντάμε ναι;»
Ίδια αίτια σε ένα αιτιοκρατικό περιβάλλον οδηγούν σε ίδια αποτελέσματα. Αυτό σημαίνει ότι το δεξί βάρος της ανάρτησης δεν είναι δυνατόν τη μία φορά να συμμετέχει σε ισορροπία και την άλλη όχι. Φαίνεται λοιπόν (αν δεν κάνω λάθος λογικής) ότι η διαδικασία (υπόθεση-επιβεβαίωση) στέκει. Τώρα ποιες πρέπει να είναι οι εξηγήσεις; Δεν εννοώ φυσικά σε περίπτωση γραπτού παιδιού αλλά έστω σε κείμενο δικό μας, σε ανάρτηση ή βοήθημα. Τι έκταση οφείλουν να έχουν οι εξηγήσεις;
Γιάννη βλέπω ότι κατάλαβες πλήρως το σκοπό της ανάρτησης 🙂
Το ουσιαστικό ερώτημα της άσκησης είναι να αποδειχθεί ότι η τάση μετά την ελευθέρωση του σωλήνα είναι 80Ν.
Οι δυνάμεις του νήματος όπως και η δύναμη από τον άξονα είναι δεσμικές και η τιμές τους εξαρτώνται από τις επιβεβλημένες δυνάμεις των βαρών. Η μελέτη του φαινομένου μετά την ελευθέρωση του σωλήνα θα μου δώσει τις τιμές τους.
Εμείς ξεκινάμε τη λύση λέγοντας έστω ότι η τάση είναι 80Ν και φυσικά καταλήγουμε ότι έχουμε ισορροπία.
Κατά τη γνώμη μου παρά το σωστό αποτέλεσμα υπάρχει συλλογιστικό κενό.
Τυπικά ναι. Αλλά σε ένα αιτιοκρατικό περιβάλλον ίδια βάρη=> ίδια αποτελέσματα=> ίδιες τάσεις.
Αυτό όμως που λέω πως αποδεικνύεται;
Έστω και αργοπορημένος οφείλω πολλά συγχαρητήρια
για την αναλυτική παρουσίαση η οποία “ισορροπεί’ και από μόνη της και.. “σε οποιαδήποτε θέση”…
Συμφωνώ και εγώ καθυστερημένα λόγω φόρτου Δημήτρη. Μπράβο Νίκο.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Νίκο συγχαρητήρια για την πλήρη παρουσίαση με διάφορους τρόπους λύσης που ο κάθε ένας κάνει χρήση διαφορετικών εργαλείων (εργαλείων λογικής ή φυσικούς νόμους).
Θα συμφωνήσω ότι η πρώτη λύση είναι λογικά λάθος.
Θα προσπαθήσω να προσεγγίσω το θέμα μέσω θεωρίας λογικής.
Δοθεισών δύο προτάσεων p (υπόθεση) και q (συμπέρασμα) η συνεπαγωγή p => q είναι μια σύνθετη πρόταση η οποία είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που η υπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές
Δηλαδή έχουμε τον επόμενο πίνακα τιμών αλήθειας:
Υπόθεση(p) Συμπέρασμα(q) Συνεπαγωγή( p=>q)
Α Α Α
Α Ψ Ψ
Ψ Α Α
Ψ Ψ Α
Επομένως αν η συνεπαγωγή αληθής και το συμπέρασμα είναι αληθές τότε δεν γνωρίζουμε την λογική τιμή της υπόθεσης.
Αντιθέτως αν η συνεπαγωγή είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές τότε η υπόθεση είναι υποχρεωτικά ψευδής.
Νίκο ,
εύστοχη η επιλογή του θέματος από το παρελθόν, – επαλήθευση του κανόνα που λέει ότι ποτέ δεν είναι αργά- και πολύ καλή δουλειά.
Συγχαρητήρια.
Βαγγέλη με μπέρδεψες.
Πρόταση p: δύο εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (αληθής)
Πρόταση q: Η ορμή απομονωμένου συστήματος διατηρείται (αληθής)
Η συνεπαγωγή P=>q είναι αληθής;
Καλησπέρα Γιάννη.
Η θεωρία λογικής λέει πως ναι.
Οι λογικές πράξεις ( σύζευξη, διάζευξη , άρνηση, συνεπαγωγή, ισοδυναμία) είναι πράξεις στο σύνολο των προτάσεων.
Δες ένα παράδειγμα που αφορά την τελευταία γραμμή του πίνακα:
Αν το φεγγάρι είναι κατασκευασμένο από τυρί τότε το φεγγάρι τρώγεται.
Η σύνθετη πρόταση:
Αν ο Γιάννης έχει μούσι τότε ο Βαγγέλης κατάγεται από την Ζάκυνθο είναι Αληθής, από τον ορισμό της πράξης.
Σχόλιο: Το γεγονός ότι η Γιάννης έχει μούσι δεν αποδεικνύει ότι ο Βαγγέλης κατάγεται από την Ζάκυνθο.
Ευχαριστώ και πάλι τους φίλους για το σχολιασμό και τις παρατηρήσεις.
Μετά τη παρέμβαση του Βαγγέλη θεωρώ με σιγουριά ότι η λύση με την υπόθεση “έστω ισορροπεί” … άρα “τελικά ισορροπεί” είναι λογικά λανθασμένη και ας καταλήγει σε σωστό αποτέλεσμα.
Ναι αλλά…
Μια κλασσική ζυγαριά ισορροπεί αν τα πορτοκάλια είναι 1 κιλό και τα σταθμά ένα κιλό;
Βάζω μήλα και ισορροπεί. Πόσο είναι τα μήλα; Υπολογίζω ότι είναι ένα κιλό.
Αν αντικαταστήσω τα μήλα με τα πορτοκάλια θα φέρουν διαφορετικό αποτέλεσμα;
Αφού λοιπόν η μάζα που απαιτείται για ισορροπία είναι τόση όση αυτή που βάζω θα έχω ισορροπία.
Η Φυσική είναι γεμάτη από τέτοιες “ακροβασίες”. Βγάζουμε το βυθισμένο σώμα και βάζουμε στη θέση του νερό. Το νερό δέχεται άνωση Α (όση το βάρος του αν δεν έχω επιτάχυνση). Επομένως και το σώμα θα δεχτεί ίδια άνωση.
Συλλογισμοί που τυπικά “χάνουν” στη Φυσική έχουν εφαρμογή.
Δηλαδή μιλώντας γενικότερα:
Η μάζα που προκάλεσε ισορροπία είναι Χ=> Κάθε σώμα μάζας Χ θα προκαλεί ισορροπία.
Είναι πρόταση παράλογη; Δεν είναι φυσικά αυταπόδεικτη αλλά μπορεί να αποδειχτεί με τις μεθόδους που ο Νίκος παρουσίασε. Το θέμα είναι αν η χρήση της παραπάνω πρότασης είναι αποδεκτή σε κείμενο Φυσικής (π.χ εργασία, βιβλίο κ.λ.π.) γιατί στην πράξη είναι φυσικά αποδεκτή.
Συνάδελφοι καλό απόγευμα
Να διατυπώσω μερικές σκέψεις και έναν προβληματισμό.
Ας δούμε μια παραλλαγή της «προβληματικής λύσης» (με τη διορθωμένη εκφώνηση βέβαια), παρακολουθώντας τη λογική της:
Με τα δεδομένα του προβλήματος:
Για να παραμείνει ακίνητος ο σωλήνας πρέπει… Τ΄=80 Ν
Για να παραμείνει ακίνητο το σφαιρίδιο πρέπει… Τ=80 Ν
Λόγω του νήματος Τ΄=Τ
«Άρα», παραμένουν ακίνητα και τα δύο, ισορροπούν και τα δύο.
Αλλάζουμε κάποιο στοιχείο του προβλήματος και βρίσκουμε:
Για να παραμείνει ακίνητος ο σωλήνας πρέπει… Τ΄=85 Ν
Για να παραμείνει ακίνητο το σφαιρίδιο πρέπει…Τ=80 Ν
Λόγω του νήματος Τ΄=Τ.
Άρα, δεν παραμένει ακίνητο κανένα από τα δύο, κανένα δεν ισορροπεί.
Αλλάζουμε πάλι τα στοιχεία και βρίσκουμε:
Για να παραμείνει ακίνητος ο σωλήνας πρέπει… Τ΄=200 Ν
Για να παραμείνει ακίνητο το σφαιρίδιο πρέπει… Τ=200 Ν
«Άρα», θα παραμείνουν ακίνητα και τα δύο, ισορροπούν και τα δύο.
«Συμπέρασμα»-πρόταση: Αν, για να ισορροπούν απαιτούνται αντίθετες δυνάμεις, τότε θα ισορροπούν, επειδή το νήμα εξασφαλίζει πάντα αντίθετες δυνάμεις.
Έχω και εγώ την εντύπωση ότι η πρόταση αυτή, στο συγκεκριμένο φυσικό σύστημα, είναι πάντα «αληθής». Ταυτόχρονα όμως, η πρόταση φαίνεται ότι αφήνει «λογικό χάσμα». Νομίζω ότι συμφωνούμε όλοι μ’ αυτό (με αυτή την έννοια καταλαβαίνω ότι χαρακτηρίζουμε τη λύση «προβληματική»), αλλά ας το δούμε λίγο πιο συγκεκριμένα:
Ας φανταστούμε ότι σε μια ερημιά, ένας γιατρός εξετάζει δύο ασθενείς, τον Α και τον Β και καταλήγει:
Για να ζήσει ο Α πρέπει να πάρει ασπιρίνη.
Για να ζήσει ο Β πρέπει να πάρει ασπιρίνη.
Σε ένα κουτί υπάρχει ένα μόνο φάρμακο που θα το πάρουν υποχρεωτικά και οι δύο.
Θα ζήσουν; Προφανώς όχι κατ’ ανάγκη. Στο κουτί μπορεί να υπάρχει ντεπόν…
Ακόμα και αν οι δυνάμεις που απαιτούνται είναι αντίθετες, γιατί το νήμα να ασκήσει αυτές ακριβώς και όχι κάποιες άλλες; Γιατί, όταν απαιτούνται δυνάμεις 80 Ν το νήμα να μην ασκήσει 90 Ν ή 70 Ν; Γιατί το νήμα να ασκήσει το σωστό ζευγάρι δυνάμεων και όχι κάποιο από τα άπειρα ζευγάρια που δεν οδηγούν σε ισορροπία;
Η παραπάνω πρόταση λοιπόν περιγράφει (προβλέπει) σωστά το μέλλον του συστήματος, αλλά παρουσιάζει κενό στη λογική μας. Δηλαδή, η πρόταση φαίνεται να συμφωνεί με τη φύση, αλλά δεν φαίνεται να συμφωνεί με τη λογική μας. Μήπως αυτό σημαίνει ότι το «κενό» βρίσκεται στη λογική μας και όχι στην πρόταση; Μήπως στην πρόταση αυτή υπάρχει κάτι «κρυμμένο» που δεν το «βλέπει» η λογική μας;
Ας φανταστούμε τώρα ότι σε μιαν άλλη ερημιά υπάρχουν δύο άλλοι ασθενείς. Μόλις μαθαίνουν τη διάγνωση, ζητούν από το κουτί το φάρμακο. Αν του ζητήσουν το ίδιο, το κουτί το βγάζει και ζουν και οι δύο. Αν του ζητήσουν διαφορετικά φάρμακα, το κουτί δεν κάνει σε κανέναν τη χάρη και βγάζει κάτι άλλο, οπότε πεθαίνουν και οι δύο…
Το νήμα βέβαια μοιάζει με το δεύτερο κουτί. Αν απαιτούνται αντίθετες δυνάμεις, το νήμα πραγματικά τις ασκεί. Αν οι δυνάμεις που απαιτούνται όμως δεν είναι αντίθετες, το νήμα ασκεί άλλο ζευγάρι αντίθετων δυνάμεων και τα σώματα επιταχύνονται.
Μήπως μας παγιδεύει το νήμα; Είναι αλήθεια ότι το αβαρές νήμα είναι απόλυτα παθητικό. Μπορεί να ασκήσει οποιαδήποτε δύναμη, αλλά από μόνο του «δεν παίρνει καμιά πρωτοβουλία». Είναι ο ενδιάμεσος, ο μεσάζων, μεταξύ των σωμάτων που συνδέει. Απλώς μεταφέρει υποτακτικά τις δυνάμεις που «θέλουν» να ασκήσουν μεταξύ τους τα σώματα. Να το καταργήσουμε λοιπόν.
Ας δούμε μιαν άλλη παραλλαγή:
Αντί να κρεμάσουμε το σφαιρίδιο με το νήμα, το τοποθετούμε στο άκρο Δ, πάνω στον οριζόντιο σωλήνα και λέμε:
Για να ισορροπεί ο σωλήνας, πρέπει να δεχτεί από το σφαιρίδιο Ν΄=80 Ν
Για να ισορροπεί το σφαιρίδιο, πρέπει να δεχτεί από το σωλήνα Ν=80 Ν.
Αφού Ν=Ν΄, τα σώματα θα ισορροπήσουν.
Η πρόταση παραμένει αληθής αλλά παραμένει και το λογικό πρόβλημα.
Κι αν διατυπώσουμε την πρόταση διαφορετικά;
Πρόταση: Αν, για να ισορροπούν πρέπει να ισχύει ο 3ος νόμος, θα ισορροπούν, αφού ο 3ος νόμος ισχύει πάντα.
Όμως ο 3ος νόμος καθορίζει ότι οι δυνάμεις είναι αντίθετες αλλά αφήνει ελεύθερες τις τιμές που θα πάρουν. Γιατί η ισχύς του να σημαίνει ότι οι δυνάμεις θα έχουν τις συγκεκριμένες τιμές;
Από την άλλη, ο 3ος νόμος ισχύει πάντα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να συμβούν τα πάντα; Για παράδειγμα, αν βρούμε ότι, για να βρέξει αύριο πρέπει να ισχύει ο 3ος νόμος, αυτό σημαίνει ότι θα βρέξει; Δεν φαίνεται λογικό.
Ας το θέσουμε διαφορετικά.
Για να επιταχύνεται το σφαιρίδιο προς τα κάτω πρέπει ….80 Ν > Ν.
Τότε η ροπή στο σωλήνα θα είναι δεξιόστροφη και …Ν΄> 80 Ν.
Αυτό όμως είναι άτοπο, επειδή παραβιάζεται ο 3ος νόμος που απαιτεί Ν=Ν΄. Άρα, τα σώματα δεν επιταχύνονται, οπότε ισορροπούν.
Συμπέρασμα: Η προϋπόθεση στην οποία καταλήξαμε για να υπάρχει ισορροπία δεν είναι οι συγκεκριμένες τιμές των δυνάμεων, αλλά η ισότητά τους. Είναι η ισχύς του 3ου νόμου που οδηγεί στην ισορροπία, ή – καλύτερα – η συνδυασμένη ισχύς του 1ου και του 3ουνόμου.
Αν, για να υπάρχει ισορροπία (ή …βροχή την Τρίτη), αρκεί να ισχύει ο 3ος νόμος, τότε θα υπάρξει ισορροπία (και βροχή την Τρίτη!), επειδή ο 3ος νόμος ισχύει πάντα.
Έτσι: Για να ισορροπεί ο σωλήνας πρέπει Τ΄=80 Ν
Για να ισορροπεί το σφαιρίδιο πρέπει Τ=80 Ν
Δηλαδή για να ισορροπούν και τα δύο σώματα, πρέπει οι δυνάμεις που ασκεί το νήμα να είναι αντίθετες. Αυτό όμως ισχύει πάντα, λόγω του 3ου νόμου του Νεύτωνα. Άρα, τα σώματα ισορροπούν.
Έχω την εντύπωση ότι η λύση είναι λογικά αποδεκτή.
ΥΓ. Στο κείμενο έγραφα: «Μήπως είναι σα να λέμε «αν για να ισχύει η πρόταση Χ πρέπει να ισχύει η αληθής πρόταση Υ, η πρόταση Χ θα ισχύει»; Νομίζω ότι έχει να κάνει με τις ισοδυναμίες, αλλά χρειάζεται κάποιος που κατέχει περισσότερο τη μαθηματική λογική για να το διευκρινίσει.» Τώρα είδα το σχετικό σχόλιο του Βαγγέλη και επιφυλάσσομαι.
Γιώργο συμφωνώ με τη λογική:
Για να ισορροπεί ο σωλήνας πρέπει Τ΄=80 Ν
Για να ισορροπεί το σφαιρίδιο πρέπει Τ=80 Ν
Δηλαδή για να ισορροπούν και τα δύο σώματα, πρέπει οι δυνάμεις που ασκεί το νήμα να είναι αντίθετες. Αυτό όμως ισχύει πάντα, λόγω του 3ου νόμου του Νεύτωνα και του αβαρούς νήματος.
Διαφωνώ με το συμπέρασμα:
Άρα, τα σώματα ισορροπούν.
Κατά τη γνώμη μου το συμπέρασμα είναι:
Υπάρχει πιθανότητα τα σώματα ισορροπούν. Θα ισορροπούν αν ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ ότι η τάση έχει μέτρο 80Ν.
Δημήτρη δεν υπάρχει κάτι ασύλληπτο στην ανάρτηση. Κάποιοι συνάδελφοι από το 2011 είχαν εντοπίσει το πρόβλημα στο Δ1, εγώ απλώς δείχνω πολλούς λογικούς (ή όχι λογικούς) τρόπους λύσης.
Δυστυχώς το διαδίκτυο το 2011 είχε γεμίσει με τη γνωστή και χωρίς λογική λύση του “έστω ισορροπεί… άρα ισορροπεί”.
Ακόμα και η eeeeeeeeeeΦ με 17 ονόματα (να τα εκατοστήσετε) να υπογράφουν τις λύσεις έκανε “γαργάρα” το θέμα.
Άρχισε να χωνεύεις από τώρα διότι είσαι μικρός και έχεις να καταπιείς πολλά ακόμα 🙂
Η γνώμη μου είναι ότι η επιτροπή θεμάτων στη προσπάθεια της να είναι ευκολο το Δ1 “τη πάτησε”. Το καλό είναι ότι οι μαθητές άρχισαν να γράφουν από συνήθεια τα γνωστά ΣF=0, Στ=0 σαν να είχαν ισορροπία και στο τέλος κατέληγαν άρα ισορροπεί.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Μια συμπλήρωση.
Αποδείξτε ότι ο Νίκος κοιμάται με τα πόδια τεντωμένα. (1)
Ποια είναι η υπόθεση και ποιο είναι το συμπέρασμα;
Κάνω δύο λογικά και συντακτικά σωστές αναδιατυπώσεις της (1).
Να αποδείξετε ότι αν ο Νίκος κοιμάται τότε τα πόδια του είναι τεντωμένα (2)
Να αποδείξετε ότι αν τα πόδια του Νίκου είναι τεντωμένα τότε ο Νίκος κοιμάται (3)
Νομίζω ότι η πρόταση (1) όπως είναι διατυπωμένη υπονοεί την πρόταση (2).
Το ερώτημα ήταν διατυπωμένο ως εξής:
Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με την ράβδο στην οριζόντια θέση.
Τηρώντας τις αναλογίες η σωστή διατύπωση είναι
Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα ισορροπεί τότε η ράβδος είναι οριζόντια.
Μα θα πείτε η ισορροπία της ράβδου είναι αδιάφορη. Ισορροπεί για κάθε γωνία.
Εδω είναι σημαντική η παρατήρηση του Δονύση Μητρόπουλου, ήδη την ημέρα των εξετάσεων.
Η ισορροπία της ράβδου είναι αδιάφορη μόνο αν το ΒΟ΄που συνδέει την τροχαλία με την ράβδο είναι νήμα. Αν το ΒΟ΄ε’ιναι αβαρής ράβδος τότε η ράδος ισορροπεί μόνο σε οριζόντια θέση.
Ο Διονύσης πρόσεξε επίσης ότι το ΒΟ΄είναι ποιό παχύ από τα νήματα της άσκησης, γεγονός που συνηγορεί στην άποψη ότι το ΒΟ΄είναι λαμάκι και όχι σχοινάκι.
Το πιθανότερο είναι ότι αρχικά είχαν βάλει ραβδο και όχι νήμα.
Για κάποιο λόγο θεωρήθηκε ότι σαν πρώτο ερώτημα ήταν δύσκολο και τους ζητήθηκε να το τροποποιήσουν.
Κατά την γνώμη μου αυτό συνεπικουρείται από το εξής:
Από την εμπειρία που έχω για την παρεμβαση των φιλολόγων στην γλωσσική διαμόρφωση των θεμάτων, πιστεύω ότι οι φιλόλογοι δεν θα άφηνα απαρατήρητο το
κόβουμε το ϴ που συνδέει την τροχαλία με την ράβδο.
Η πρόταση αυτή είναι ελλειπής.
Το ϴ είναι το όνομα του αντικειμένου που κόβουμε. Ποιό είναι το αντικείμενο του ρήματος κόβω;
Μια σωστά διατυπωμένη πρόταση θα ήταν
κόβουμε το νήμα ϴ …
κόβουμε την ράβδο ϴ …
Στην διαμάχη, που μάλον συνέβη, ξέφυγε η διατύπωση.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Βαγγέλη σ’ ευχαριστώ για την αναφορά 🙂
Το παράδειγμα που παρουσιάζεις σε αναλογία είναι πολύ εύστοχο!
Συμφωνώ κι εγώ ότι είναι πιθανό το σενάριο που περιγράφεις.
Όταν πρωτοείδα εκείνο το σχήμα το πρώτο που μου ήρθε στο μυαλό ήταν η εικόνα ενός κατασκευαστικού γερανού (πυργογερανού, tower crane) με οριζόντια μπούμα.
Στους γερανούς αυτούς, το αντίβαρο στο πίσω μέρος της μπούμας είναι συνήθως σταθερά στερεωμένο κάτω από τη μπούμα. Υποθέτω ότι μια τέτοια σχεδίαση διευκολύνει σε περίπτωση στρεβλώσης / ταλάντωσης τη διατήρηση στην οριζόντια θέση.
Νίκο καλό μεσημέρι
Η αλήθεια είναι ότι δε σκόπευα να ενσκύψω ξανά στο θέμα αυτό. Όμως βλέποντας την μεγάλη ανταπόκριση των φίλων σκέφτηκα ότι κάτι τρέχει. Τελικά Νίκο συμφωνώ απόλυτα με όσα εύστοχα γράφεις.
Καλημέρα σε όλους
Πολύ καλή δουλειά Νίκο και λογικοί οι προβληματισμοί σου.
Το θέμα είχε συζητηθεί και “εν θερμώ” τότε…
Η τελευταία τοποθέτηση του έτερου Βαγγέλη,
όπου εμπεριέχεται και η θέση του έτερου Διονύση,
δίνει μια πιθανή εξήγηση της “τρικυμίας εν κρανίω”.
Φαίνεται αρχικά είχαν βάλλει αβαρή ράβδο την οποία,
για να γίνει πιο εύκολο (!) εκείνο το “πράμα”, μετέτρεψαν σε νήμα …
Η εκφώνηση αφήνει σαφώς να εννοηθεί ένα καταλυτικό “μόνο”
που δεν ισχύει βέβαια, αφού κάθε θέση είναι και θέση ισορροπίας.
Πράγματι με το δεδομένο σχέδιο η ερώτηση έπρεπε να ήταν:
“να δειχθεί ότι αν το σύστημα αφεθεί από την ηρεμία σε οριζόντια θέση …”
Πολύ καλή και η τοποθέτηση του Γιώργου (Γ),
από την οποία και επιλέγω τον προβληματισμό:
“Γιατί, όταν απαιτούνται δυνάμεις 80 Ν το νήμα να μην ασκήσει 90 Ν ή 70 Ν;
Γιατί το νήμα να ασκήσει το σωστό ζευγάρι δυνάμεων
και όχι κάποιο από τα άπειρα ζευγάρια που δεν οδηγούν σε ισορροπία;”
Η “απάντηση” ότι “επειδή το σώμα Μ βάρους 80Ν ισορροπεί
θα δέχεται από το νήμα δύναμη 80Ν…”
προφανώς και δεν είναι αποδεκτή διότι
γίνεται δεκτό ότι ισχύει αυτό που πρόκειται να αποδειχθεί
Βαγγέλη ευχαριστώ πολύ για την αναλυτική τοποθέτησή σου η οποία για μένα έχει ιδιαίτερη βαρύτητα και ενισχύει την άποψή μου ότι η μέθοδος του “έστω ισορροπεί… άρα ισορροπεί ” είναι λανθασμένη και ας καταλήγει τυχαία σε σωστό αποτέλεσμα.
Αυτό που με ενόχλησε (ας πούμε, διότι εδώ και χρόνια έχω πάψει να ενοχλούμαι) το 2011 ήταν ότι δεν είδα ανακοίνωση από κάποιο επίσημο φορέα για το προβληματικό Δ1.
Στη λύση της eeeeeeeeF το 2011 υπήρχαν 17 υπογραφές και… δεν βρέθηκε ούτε ένας να δει ότι υπήρχε πρόβλημα στο Δ1 και να κάνει κριτική 🙂
Η ζωή συνεχίζεται με την αναμενόμενη ανάπτυξη μέχρι το τέλος του έτους, οπότε και… θα διορθωθούν όλα τα προβλήματα της παιδείας με τη μέθοδο του “έστω ότι τα λύσαμε.. άρα τα λύσαμε 🙂
Αφιερωμένη στο Νίκο
(μπλακ χιούμορ δηλαδή…)
μερικά σχόλια σε απόσπασμα ανακοίνωσης γνωστού φορέα
(επειδή … “ως εκ του κλασσικού” και καλοπροαίρετα,
προσοχή στις υπογραμμίσεις…)
ΕΙΔΙΚΗ ΚΑΡΤΑ ΜΕΛΟΥΣ
Η Ειδική Κάρτα έχει ετήσια ισχύ και σας παρέχει τα εξής προνόμια:
– Ελεύθερη και Δωρεάν είσοδο σε όλες της Εκδηλώσεις
(Συνέδρια , Ημερίδες).
– Έκπτωση 10% σε όλα τα επιμορφωτικά σεμινάρια, (Ημερίδες -Συνέδρια).
Κόστος της Ειδικής Κάρτας 60ευρώ.
(συνοδεύετε από βεβαίωση Μέλους.)
ΕΙΔΙΚΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑ
Τώρα με την απόκτηση της Ειδικής Κάρτας σας αποστέλλονται δωρέαν:
Η Ειδική Κάρτα Μέλους με τα προνόμια που παρέχει έρχεται να επιβεβαιώσει ότι η (όνομα φορέα) ανταποδίδει το ελάχιστο στους φίλους και συνάδελφους της.
ΤΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ
Ελεύθερη και Δωρεάν: το δωρεάν έχει κάτι παραπάνω από το ελεύθερη;
της: συγχωρητέο, αλλά δεν είναι ενικός…
(Συνέδρια , Ημερίδες): είναι κάτι διαφορετικό από το (Ημερίδες -Συνέδρια) που υπάρχει παρακάτω;
Έκπτωση 10% : μα δεν είπαμε ελεύθερη (έστω και …δωρεάν);
60ευρώ: το …ζητούμενο
συνοδεύετε: συγχωρητέο, αλλά εδώ είναι ενικός…
δωρέαν: δεν πρόκειται για τον τόνο, αλλά δεν υπάρχει τίποτα μετά (έστω …δωρέαν)
συνάδελφους: δεν πειράζει που λείπει ο δεύτερος τόνος, αλλά ποιοι είναι οι συνάδελφοι ενός φορέα;
ΤΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ: λέγε με, ας πούμε, Μήτσο…
(υπεύθυνη δήλωση: δεν ανήκω στους 17,
έχω διαχωρίσει τη θέση από καιρό…)
Βαγγέλη, την τέχνη την δίδαξε ο Πάπας από τον Μεσαίωνα!
Το έλεγαν συγχωροχάρτι!
Σου άνοιγε τις πύλες του Παραδείσου.
Ε εδώ σου ανοίγει τις πύλες για τα σεμινάρια…
Ή τουλάχιστον σου κάνει έκπτωση 10%!!!
Μην είμαστε και πλεονέκτες…
Νίκο, συμφωνώ με τα σχόλιά σου για το θέμα του 2011 και συμμερίζομαι την κριτική σε πρόχειρες λύσεις (όταν βέβαια απευθύνεται σε καθηγητές και όχι σε μαθητές). Σχετικά με τα λάθη της εκφώνησης, συμφωνώ βέβαια με τα όσα έχουν ήδη αναφερθεί και δεν χρειάζεται να προσθέσω κάτι.
Ανήκω σ’ εκείνους που είδαν κάποιο πρόβλημα στο «έστω ισορροπούν… άρα ισορροπούν», και είπαν στους μαθητές «δεκτή θα γίνει αλλά οι λύσεις με τη στροφορμή και την επιτάχυνση είναι καλύτερες.» Τότε, ο συνάδελφος μαθηματικός που είχα ζητήσει τη γνώμη του μου είχε πει: «Για να είναι μια συνάρτηση συνεχής πρέπει α=5. Για να είναι μια άλλη συνεχής πρέπει β=5. Αν α=β δεν έχω εξασφαλίσει ότι είναι και οι δύο συνεχείς. Μήπως η λύση προκύπτει σωστή “από τη φυσική;”». Συμφώνησα βέβαια μαζί του.
Καταλαβαίνω λοιπόν την άποψή σου και τα επιχειρήματά της. Βλέπω επίσης ότι οι συνάδελφοι που συμμετέχουν έχουν τη δική σου γνώμη.
Ο λόγος που με κάνει να επιμένω είναι ο ίδιος λόγος για τον οποίο έγινα φυσικός και όχι μαθηματικός (παρόλο που το «ατού μου» ήταν τα μαθηματικά και όχι η φυσική): Θεωρώ ότι όταν η λογική μας συγκρούεται με τη φύση δεν παραπονιόμαστε για το παράλογο της φύσης, δεν κλείνουμε τα μάτια μας στην εννοιολογική σύγκρουση, αλλά ερευνούμε και προσπαθούμε να επανακαθορίσουμε τη λογική μας, ώστε να συμφωνεί με τη φύση. Αν δεν μπορούμε, τόσο το χειρότερο για τη λογική μας…
Θα απασχολήσω λοιπόν το δίκτυο με μερικές σκέψεις ακόμα.
Να διευκρινίσω ότι η λύση που συζητάμε διαφοροποιείται τελείως από τη λύση «για να ισορροπούν πρέπει Τ=80 Ν και Τ΄=80 Ν, είναι Τ΄=Τ=80 Ν, άρα ισορροπούν», η οποία σωστά ελέγχεται ως κυκλική, άρα λανθασμένη.
Σε βιβλία Λογικής αναφέρεται η παρακάτω «ιστοριούλα»:
Κατά την αρχαιότητα, ήθελε κάποιος να μάθει ρητορική αλλά δεν είχε χρήματα. Συμφώνησε λοιπόν με το δάσκαλο να τον διδάξει, με τον όρο ότι θα τον ξεπληρώσει όταν κερδίσει την πρώτη του δίκη. Ο νέος αποδείχτηκε καλός ρήτορας, αλλά κακός οφειλέτης. Φρόντιζε να χάνει τις δίκες, ώστε να μην πληρώσει το δάσκαλο. Τότε ο δάσκαλος τον πήγε στο δικαστήριο, απαιτώντας τα χρήματά του. Το δικαστήριο αποφάνθηκε υπέρ του δασκάλου και αυτός ζήτησε από το μαθητή να πληρώσει, συμμορφούμενος με την απόφαση των δικαστών. «Όχι» απάντησε αυτός. «Η συμφωνία μας είναι να πληρώσω όταν κερδίσω την πρώτη δίκη και ακόμα δεν έχω κερδίσει καμία. Και αυτή τη δίκη την έχασα». Ποιος έχει δίκιο; Πρέπει να πληρώσει ή όχι; Στα βιβλία, η απόφαση των δικαστών αναφέρεται ως παράδειγμα «παρείσακτου λόγου» έναντι της συμφωνίας…
Όταν λοιπόν αποκαλούμε μια λύση λογικά λανθασμένη, πρέπει να έχουμε ξεκαθαρίσει το «λογικό σύστημα» με βάση το οποίο την κρίνουμε (δεν μου αρέσει ο όρος αλλά τον χρησιμοποιώ καταχρηστικά χάριν συντομίας).
Από την άποψη της φυσικής, πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι το περιεχόμενο των νόμων είναι βαθύτερο και πλουσιότερο από αυτό που διδάσκουμε. Η μαθηματική μορφή των νόμων αποτελεί εξαιρετικά πυκνή περιγραφή (και αυτή είναι η πρακτική της αξία και η μαγεία της) και δε νομίζω ότι μπορεί να αναπαραχθεί στο σύνολό της σε προτασιακή λογική. Για να συγκλίνει η συμπεριφορά της φύσης σε κάτι που το κωδικοποιούμε ως νόμο συμβαίνουν πάρα πολλά πράγματα που δεν μπορούν να περιέχονται ή δεν αναδεικνύονται στην κωδικοποίησή τους.
Έχω την εντύπωση ότι ο 3ος νόμος διατυπώθηκε ακριβώς για να επιλύσει τέτοια λογικά προβλήματα για συστήματα σωματιδίων. Πριν τη διατύπωση του νόμου, το πρόβλημα υπολογισμού των εσωτερικών δυνάμεων ήταν λογικά άλυτο. Ο νόμος το παρέκαμψε ανακαλύπτοντας ότι, μελετώντας ολόκληρο το σύστημα, δεν χρειάζεται να τις υπολογίσουμε, αφού είναι αντίθετες και δεν εμφανίζονται στις τελικές εξισώσεις. Τώρα, με δεδομένο το νόμο, μήπως μπορούμε να επανέλθουμε και να το λύσουμε λογικά; Η εικόνα της πραγματικότηταςτροποποιήθηκε. Η λογική που την περιγράφει δεν πρέπει να αναπτυχθεί;
Από την άλλη μεριά, το συμπέρασμα ενός συλλογισμού εξαρτάται από τις προκείμενες προτάσεις, τις οποίες η προτασιακή λογική δεν μπορεί να ανακαλύψει μόνη της. Είναι και δικό μας θέμα δηλαδή να διατυπώσουμε σωστά το πρόβλημα και να συμπεριλάβουμε όλα τα δεδομένα του, ώστε η λογική να μπορέσει να αποφανθεί χωρίς να την έχουμε παραπλανήσει.
Για το συγκεκριμένο θέμα, σωστά ειπώθηκε ήδη ότι – αφού δεν έχουμε δεδομένη την ισορροπία – δεν αντιμετωπίζουμε πρόβλημα στατικής αλλά μια κατάσταση στα όρια στατικής – δυναμικής ή καλύτερα μια δυναμική κατάσταση που θέλουμε να ελέγξουμε αν θα εξελιχθεί σε στατική. Κατά τη γνώμη μου, μερικές από τις συνέπειες αυτού του γεγονότος είναι:
1. Τα σώματα δεν «ξέρουν» από την αρχή αν θα ισορροπήσουν. Κάθε σώμα δεν «ξέρει» τι θα βρεθεί στην άλλη άκρη του νήματος. Άρα, η πρόταση Τ΄=…. είναι φυσικά και λογικά ανεξάρτητη από την πρόταση Τ=…. Κάθε μια μας λέει τι πρέπει να συμβαίνει για να ισορροπήσει κάθε σώμα χωριστά, χωρίς να παίρνει υπόψη της το άλλο. Δεν πρόκειται ποτέ λοιπόν να υπολογίσουμε την τιμή που θα πάρει η Τ, μελετώντας κάθε σώμα χωριστά, παρά μόνο την τιμή που απαιτείται να πάρει. Το φυσικό σύστημα όμως που έχουμε μπροστά μας δεν περιέχει δύο χωριστά σώματα, αλλά δύο σώματα που αλληλεπιδρούν και αλληλοκαθορίζονται λόγω του τεντωμένου νήματος. Αυτό το δεδομένο με ποιόν τρόπο μπαίνει στις λογικές μας προτάσεις; Μέσω του Τ΄=80 Ν και Τ= 80 Ν. Μα το νήμα δεν επιβάλλει κάποια συγκεκριμένη τιμή στις δυνάμεις. Ο ρόλος του νήματος είναι να επιβάλλει αντίθετες δυνάμεις και όχι δυνάμεις ορισμένης τιμής. Άρα, νομίζω ότι ο τρόπος που πρέπει να συνδέονται λογικά οι δύο προτάσεις είναι Τ=Τ΄ και όχι Τ=80 Ν και Τ΄=80 Ν.
2. Αλλά δεν μπορούμε να βρούμε ότι Τ=80 Ν και για έναν άλλο λόγο: επειδή η τάση ΔΕΝ είναι 80 Ν. Η τάση αρχίζει από την τιμή μηδέν όταν αφήνουμε το σφαιρίδιο και μεταβάλλεται από τη συνδυασμένη δράση και των τριών νόμων, ώσπου να αποκτήσει μια τελική τιμή. Η σχέση Τ=Τ΄ ισχύει συνεχώς, ενώ η σχέση Τ=80 Ν ισχύει μόνο στο τέλος και μόνο αν το σύστημα γίνει στατικό. Εμείς όμως δεν έχουμε δεδομένη την ισορροπία. Μελετάμε το σύστημα πριν τα σώματα ισορροπήσουν. Έτσι, σωστά επισημαίνεται ότι η λύση που βασίζεται στο ότι «αν ισορροπούν οι τάσεις είναι 80 Ν, επειδή οι τάσεις είναι 80 Ν θα ισορροπούν», είναι προφανώς λανθασμένη. Μήπως όμως και το να ζητάμε να υπολογίσουμε Τ=80 Ν, σημαίνει ότι εργαζόμαστε κυκλικά; Ότι ζητάμε να τεθεί στις προκείμενες το συμπέρασμα;
3. Αλλά και στα παραδείγματα με τα διάφορα δεδομένα και στη λύση με Ν΄>80 Ν και Ν<80 Ν, νομίζω πως φαίνεται ότι το καθοριστικό δεν είναι οι συγκεκριμένες τιμές αλλά η ισότητα των τιμών των τάσεων.
Φαίνεται ότι η διαφωνία έγκειται στην ερμηνεία των προτάσεων Τ=ω Ν και Τ΄=ω Ν. Η γνώμη μου είναι ότι η λογική τους σημασία, η σημασία τους που είναι λογικά συνεπής με τους όρους του προβλήματος είναι ότι, ανεξάρτητα από την τιμή τους, οι δυνάμεις που απαιτούνται πρέπει να είναι αντίθετες και αφού αυτό ισχύει, έπρεπε να είναι λογικά περιττό να υπολογίσουμε την τιμή τους. Για την «προτασιολογική λογική» δεν είναι. Για την πραγματικότητα όμως αποδεικνύεται ότι είναι. Η προτασιολογική λογική λέει ότι δεν ξέρει, αλλά η «άλλη» ξέρει και έχει και πάντα δίκιο. Άρα;…
Η απόδειξη θα μπορούσε(;) να επαναδιατυπωθεί ως εξής:
Για να ισορροπεί ο σωλήνας, πρέπει Τ΄= ω Ν
Για να ισορροπεί το σφαιρίδιο, πρέπει Τ= ω Ν
Δηλαδή για να ισορροπούν και τα δύο σώματα, πρέπει οι δυνάμεις που ασκεί το νήμα να έχουν μέτρο ω Ν ή να είναι αντίθετες. Λόγω του 3ου νόμου του Νεύτωνα και του αβαρούς νήματος, οι δυνάμεις είναι πάντα αντίθετες. Άρα τα σώματα ισορροπούν.
Καταλαβαίνω ότι θα υπάρξει ο αντίλογος ότι δεν είναι «ή» αλλά «και». Δεν θα επιμείνω σ’ αυτό. Σε τελευταία ανάλυση, όχι μόνο δεν σκοπεύω, αλλά και δεν είμαι σε θέση, ούτε είναι δική μου δουλειά να κάνω υποδείξεις στη μαθηματική λογική.
Η προτασιολογική λογική λοιπόν λέει: «αν δεν βρεις τα μέτρα των δυνάμεων δεν ξέρεις αν τα σώματα ισορροπούν. Μπορεί και να μην ισορροπούν». «Και μάλιστα», θα προσθέσω εγώ, «με δεδομένο ότι για μια μόνο τιμή ισορροπούν, ενώ για άπειρες δεν ισορροπούν, η πιθανότητα να ισορροπούν είναι μηδέν. Αν δεν μπορώ να βρω τις τιμές αποκλείεται να ισορροπούν».
Κι όμως, αρκεί να βρω αν οι δυνάμεις που απαιτούνται είναι ίσου μέτρου. Μετά, ξέροντας ότι ισχύει ο 3ος νόμος, μπορώ να πάω … για καφέ. Ξέρω τι θα κάνουν τα σώματα με απόλυτη βεβαιότητα.
Ο «λογικός» θα φωνάζει ότι έκανα λάθος και χάλασα τους κανόνες της λογικής και εγώ θα του αποδεικνύω ότι αυτός κάνει λάθος, ότι εγώ ξέρω κι ας το απαγορεύει αυτός, όχι με λόγια, αλλά δείχνοντάς του τα σώματα ακίνητα «να πραγματοποιούν το απίθανο» περιγελώντας τους «λογικούς κανόνες».
Ποιος έχει εδώ το πρόβλημα; Ποιος πρέπει να «ψαχτεί»; Ποιος πρέπει να αλλάξει τη στάση του; Προφανώς ο «λογικός». Ας βρει αυτός πώς θα βάλει τον 3ο νόμο στις προτάσεις του…
Σαν κατακλείδα, θα ήθελα να τονίσω ότι δεν επιχειρώ να αμφισβητήσω την αξία της «προτασιακής λογικής», αλλά να γνωρίσω τα όρια ισχύος της. Και ζητάω να μου επιτραπεί να την χρησιμοποιώ για να μην στραβοπατάω σε πράγματα που δεν γνωρίζω ή δεν καταλαβαίνω καλά, αλλά να την υποτάσσω στη φυσική πραγματικότητα, θεωρώντας αυτήν ανώτερη και πλουσιότερη από κάθε λογικό κατασκεύασμα. Η λογική που είναι εκ των προτέρων κατασκευασμένη για να συσχετίζει μεταξύ τους νεκρές, στατικές αφαιρέσεις (αριθμούς, ποσότητες…) δεν είναι κατ’ ανάγκη ικανή να μελετήσει φυσικές οντότητες.
Σε τελευταία ανάλυση, μπορούμε να βρίσκουμε αν τα σώματα ισορροπούν ή όχι και να προβλέπουμε πάντα σωστά, χωρίς να υπολογίζουμε τις δυνάμεις, είτε θεωρείται «λογικό» είτε όχι. Το ότι προβλέπουμε πάντα σωστά δεν έπρεπε να αποδεικνύει ότι η μέθοδος έχει σωστή λογική; Και η καθημερινή ζωή μας για κάποια «λογικά συστήματα» μπορεί να μην είναι «λογική». Υπάρχει όμως…
ΥΓ. 1. Η λογική που χρησιμοποιούμε γεννήθηκε από τον Αριστοτέλη και βασίστηκε στο ότι κάθε πράγμα είναι ίσο με τον εαυτό του κλπ. Η φράση του Ηράκλειτου που θεωρούσε ότι «δεν μπορείς να μπεις δυο φορές στο ίδιο ποτάμι» γιατί ξεχάστηκε; Πώς θα περιγράψουμε την αενάως κινούμενη πραγματικότητα με τη λογική της ακινησίας;
2. Θυμάμαι ότι στην αρχική έκδοση του σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου, ζητούταν να χαρακτηριστεί ως σωστή ή λανθασμένη η πρόταση «ο λόγος CP/CV είναι μεγαλύτερος ή ίσος της μονάδας». Γιατί η πρόταση τροποποιήθηκε; Μα επειδή έφερνε σε σύγκρουση δύο «λογικά συστήματα». Θα ήταν ενδιαφέρον για μένα να μάθω ποια απάντηση έδινε κάθε συνάδελφος τότε…
…και εδίδετο και μετά θάνατον Διονύση,
απλά πλήρωναν οι απόγονοι κάτι τις παραπάνω,
ιδιαίτερα αν ο μακαρίτης το είχε παρακάνει σε ατιμίες,
ώστε να μεταπηδήσει η ψυχή του “από το Καθαρτήριον εις τον Παράδεισον”,
άλλως η Κόλαση ήταν μονόδρομος,
ρε τι “μηχανή” είχαν επινοήσει οι Θεομπαίχτες…
Γιώργο δεν διαφώνησα με τους προβληματισμούς σου
(έκανα και σχετική αναφορά, μάλλον δεν την είδες).
Να συμπληρώσω τα του ρήτορος:
Επρόκειτο για τον δικηγόρο Κόρακα και τον μαθητή του.
Ο μαθητής εξέφρασε αμφιβολίες
για το αν μπορούσε ο δάσκαλός του να τον κάνει καλό δικηγόρο
και αυτός, έχοντας εμπιστοσύνη στις ικανότητές του, ισχυρίστηκε ότι
θα τον κάνει τόσο καλό δικηγόρο που θα κερδίσει την πρώτη του δίκη
και δέχτηκε αν αυτό δεν συμβεί να του χαρίσει τα δίδακτρα.
Έγιναν τα απαραίτητα μαθήματα,
αλλά ο μαθητής αρνιόταν να πληρώσει τον δάσκαλο,
οπότε όταν αυτός του είπε ότι θα καταφύγει στα δικαστήρια
επακολούθησε ο παρακάτω διάλογος:
μ: είτε κερδίσω είτε χάσω τη δίκη δεν θα σε πληρώσω διότι:
αν την κερδίσω δεν θα σε πληρώσω σύμφωνα με την απόφαση του δικαστηρίου,
αν την χάσω πάλι δεν θα σε πληρώσω λόγω της συμφωνίας μας
αφού έχασα την πρώτη μου δίκη
δ: είτε κερδίσω είτε χάσω τη δίκη θα με πληρώσεις διότι:
αν την κερδίσω θα με πληρώσεις σύμφωνα με την απόφαση του δικαστηρίου,
αν την χάσω πάλι θα με πληρώσεις λόγω της συμφωνίας μας
αφού κέρδισες την πρώτη σου δίκη
(επρόκειτο για ένα σόφισμα,
με αμφιλεγόμενη απάντηση,
βασικά διότι δεν είχε διευκρινιστεί αν στην πρώτη δίκη ο μαθητής
είχε την ιδιότητα του δικηγόρου ή του κατηγορούμενου…)
Βαγγέλη τώρα είδα την αναφορά που λες και σ’ ευχαριστώ.
Σ’ ευχαριστώ και για τη σωστή καταγραφή των του ρήτορος. Τώρα που τα βλέπω τα θυμάμαι. Ελπίζω να μην αλλοίωσα το βασικό της νόημα.
Να διευκρινίσω ότι η αναφορά μου στη γνώμη των συναδέλφων δεν είχε την έννοια παραπόνου. Ειλικρινά σέβομαι τις απόψεις που εκφράστηκαν.
Με την ευκαιρία να πω επίσης ότι ο “λογικός” που “μάχομαι” παραπάνω αποτελεί μια αφαίρεση και δεν έχει σχέση με όποιον υποστηρίζει άλλη άποψη. Και εγώ “λογικός” είμαι…
[…] μια μεγάλη συζήτηση στην ανάρτηση του Νίκου Ανδρεάδη «Με αφορμή το Δ1 του 2011». Στη συζήτηση αυτή είχα γράψει ένα σχόλιο: […]