by 
Δημοσιεύτηκε από τον Κορφιάτης Ευάγγελος στις 29 Αύγουστος 2011 και ώρα 13:44
Η απάντηση που θα έδινα στο παραπάνω ερώτημα στις αρχές των διακοπών θα ήταν:
“Προσωπικά καθόλου”
Οι γνώσεις μου στην επίλυση της κυματικής εξίσωσης για διάφορες περιπτώσεις αρχικών συνθηκών ήταν επιεικώς ανεπαρκής.
Το απλό πρόβλημα της διάδοσης ενός κύματος που αναφέρουμε σε όλες τις ασκήσεις της Γ΄ τάξης του Λυκείου δεν ήταν αποτέλεσμα αυστηρής μαθηματικής επίλυσης της κυματικής εξίσωσης αλλά φυσικής διαίσθησης.
Η μέθοδος του Fourier για την επίλυση της κυματικής εξίσωσης αν και ιδιαίτερα προσφιλής στους Φυσικούς έχει το πρόβλημα της αναγνώρισης στο τέλος της συνάρτησης που παριστάνει η σειρά Fourier
Το γεγονός ότι, στις ασκήσεις που λύνουμε, στην γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει της θέσης για δεδομένη χρονική στιγμή εμφανίζεται μια ασυνέχεια μεγέθους ωΑ ήταν ένα ενοχλητικό σημείο το οποίο δεν μπορούσα να το αντιμετωπίσω.
Το αποκορύφωμα ήταν η ανάρτηση του Βασίλη Δουκατζή με θέμα «Απορία στο στάσιμο κύμα».
Όλοι μας αντιμετωπίζαμε το πρόβλημα ποιοτικά χωρίς να δώσουμε μια αξιόπιση απόδειξη και τελικά τα συμπεράσματά μας ήταν λάθος.
Έβαλα λοιπόν τα»ο κεφάλι κάτω» άνοιξα τα βιβλία των Μαθηματικών και στοιχειωδώς έμαθα να λύνω την κυματική εξίσωση σε μία χωρική διάσταση και να παρακάμπτω τις ασυνέχειες.
Το αποτέλεσμα της μελέτης αποφάσισα να το μοιραστώ με τους φίλους του ylikonet.
Επειδή η μελέτη είναι μακροσκελής, ως πρόκληση για μελέτη παραθέτω τα προβλήματα στα οποία δίνει απάντηση. Ξεχωριστό ενδιαφέρον παρουσιάζει το πρόβλημα 8 (εφαρμογή 2.15 στην μελέτη).
Για το πρόβλημα αυτό επισυνάπτεται προσομοίωση σε vba. Η πλήρης μελάτη είναι αποθηκευμένη εδώ.
Πρόβλημα 1
Θεωρούμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους το οποίο εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x’x ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων.
Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου έτσι ώστε να βρίσκονται επί της καμπύλης με εξίσωση
y=exp(-kx2), k>0 και την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί.
Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος.
Πρόβλημα 2
Θεωρούμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους το οποίο εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x’x ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων. Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου που βρίσκονται στο διάστημα [-1,1], κατά την διεύθυνση του άξονα y, έτσι ώστε να σχηματίζουν τόξο παραβολής με εξίσωση y=1-x2 και την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος.
Πρόβλημα 3
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους εκτείνεται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα ενός συστήματος συντεταγμένων. Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου κατά την διεύθυνση του άξονα y έτσι ώστε να βρίσκονται στην καμπύλη με εξίσωση
y=Aexp(-k2x2/2). Την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί και αρχίζουμε να ταλαντώνουμε το σημείο x=0 με εξίσωση y=Acos(ωt) όπου ω=kυ.
Να βρείτε την εξίσωση του παραγόμενου κύματος
Πρόβλημα 4
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους εκτείνεται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα ενός συστήματος συντεταγμένων. Την χρονική στιγμή t=0 το άκρο Ο του σχοινιού αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aημ(ωt). Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος.
Πρόβλημα 5
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους εκτείνεται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα ενός συστήματος συντεταγμένων.
Τα σημεία του μέσου συγκρατούνται επί της καμπύλης
y(x)=Acos(kx) για x<λ/4 και 0 για x>λ/4.
Την χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί και ταυτόχρονα το άκρο Ο του σχοινιού αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aημ(ωt) όπου ω=kυ. Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος.
Πρόβλημα 6
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μήκους L ισορροπεί στο διάστημα [0,L] ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων με τα άκρα του στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία.
Απομακρύνουμε τα σημεία του σχοινιού από την θέση ισορροπίας τους ώστε να βρεθούν στην καμπύλη με εξίσωση y=Asin(πx/L) και την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί.
Να βρεθεί η εξίσωση της κίνησης των σημείων του μέσου συναρτήσει του χρόνου.
Πρόβλημα 7
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μήκους L ισορροπεί στο διάστημα [0,L] ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων με τα άκρα του στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία.
Απομακρύνουμε τα σημεία του σχοινιού από την θέση ισορροπίας τους ώστε να βρεθούν στην παραβολή με εξίσωση y=Ax(L-x) και την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί.
Να βρεθεί η εξίσωση της κίνησης των σημείων του μέσου συναρτήσει του χρόνου.
Πρόβλημα 8
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μήκους L ισορροπεί στο διάστημα [0,L] ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων με τα άκρο x=L στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο.
Την στιγμή t=0 το άκρο x=0 αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Asin(ωt) με αποτέλεσμα στο μέσο να διαδοθεί κύμα με ταχύτητα υ.
Έστω k=ω/υ ο κυματικός αριθμός που αντιστοιχεί στην κυκλική συχνότητα ω.
Ι) Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος.
ΙΙ) Να γίνει εφαρμογή για L=(2a+1)λ/4, a≥0 ακέραιος.
ΙΙΙ) Να γίνει εφαρμογή για L=aλ/2, a>0 ακέραιος
ΙV) Να εξετασθεί κάτω από ποιες προϋποθέσεις η κίνηση ενός σημείου του μέσου είναι περιοδική και να βρεθεί η περίοδος της κίνησης.
Πρόβλημα 9
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο μήκους L ισορροπεί στο διάστημα [0,L] ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων με τα άκρο x=L στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο.
Έστω a≥0 ακέραιος. Θέτουμε k=(2a+1)π/2L.
Συγκρατούμε ακίνητα τα σημεία του μέσου επί της καμπύλης με εξίσωση y=Acos(kx)
Την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί και αρχίζουμε να ταλαντώνουμε το άκρο x=0 σύμφωνα με την εξίσωση y=Acos(ωt).
Αν ω=kυ, όπου υ η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος.
Πρόβλημα 10
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ισορροπεί κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων. Κατά μήκος του άξονα Οy υπάρχει ακλόνητο στήριγμα, στο οποίο είναι προσδεδεμένο, μέσω αβαρούς δακτυλίου, το άκρο του μέσου που βρίσκεται στην θέση x=0, όπως στο σχήμα.
Ο δακτύλιος μπορεί να κινείται χωρίς τριβές κατά μήκος του στηρίγματος
Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου έτσι ώστε να βρεθούν επί της καμπύλης y=Aexp(-kx2), k>0 και την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί.
Να βρεθεί η εξίσωση του παραγόμενου κύματος.
Πρόβλημα 11
Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ισορροπεί κατά μήκος του διαστήματος [0,L] του άξονα x΄x ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων. Κατά μήκος του άξονα Οy υπάρχει ακλόνητο στήριγμα, στο οποίο είναι προσδεδεμένο, μέσω αβαρούς δακτυλίου, το άκρο του μέσου που βρίσκεται στην θέση x=0, όπως στο σχήμα. Ο δακτύλιος μπορεί να κινείται χωρίς τριβές κατά μήκος του στηρίγματος
Το άλλο άκρο του μέσου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο.
Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου έτσι ώστε να βρεθούν επί της καμπύλης y=φ(x), και την στιγμή t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί.
t=0 αφήνουμε το μέσο ελεύθερο να κινηθεί.
1) Αν φ(L)=0 και φ΄(0)=0, να βρεθεί η εξίσωση της κίνησης των σημείων του μέσου συναρτήσει του χρόνου.
2) Να γίνει εφαρμογή όταν φ(x)=Acos(kx)
