Ο Αρχιμήδης και η Παραβολή

Όμορφο.

Ο Αρχιμήδης τετραγώνισε το παραβολικό χωρίο που ορίζεται από τέμνουσα 3 φορές. Δυο φορές στο έργο του ''Τετραγωνισμός Παραβολής'', όπου ασχολείται αποκλειστικά με αυτό και μια φορά στο έργο του ''Μέθοδος (έφοδος) περι των Μηχανικών Θεωρημάτών'', που είναι η μια απόδειξη από τις 15 που περιλαμβάνονται εκει (και η μόνη απόδειξη Επιπεδομετρίας στο εν λόγω έργο). Στο παραπάνω άρθρο αναφέρονται οι δυο πρώτες αποδείξεις. 

Για την Μέθοδο (Μηχανικά Θεωρήματα) και συγκεκριμένα για την 3η απόδειξη, έχω γράψει κι εδώ :

'' Το βιβλίο του Αρχιμήδη ''Έφοδος (Μέθοδος) των Μηχανικών Θεωρημάτων (προς Ερατοσθένη) '' είναι ένα έργο που βρέθηκε σε παλίμψηστο λίγο μετά το 1900, και πριν τον Μεσαίωνα τα ίχνη του είχαν χαθεί. Είναι το μόνο βιβλίο Ευρετικής των Αρχαίων Ελλήνων που έχει διασωθεί, και δείχνει τον τρόπο με τον οποίο έβρισκε κι αποδείκνυε σε πρώτη φάση ο Αρχιμήδης θεωρήματα σχετικά με κέντρα βάρους, εμβαδά και όγκους χρησιμοποιώντας Μηχανική και τα οποία εκ των υστέρων αποδείκνυε σε άλλα του βιβλία χρησιμοποιώντας Γεωμετρία. Μόνο και μόνο η μηχανική απόδειξη που κάνει ο Αρχιμήδης για τον τετραγωνισμό παραβολικού χωρίου (το 1ο θεώρημα της Μεθόδου και το μόνο Επιπεδομετρίας του βιβλίου αυτού) αρκεί για να καταλάβουμε γιατί θεωρείται μεγαλοφυία και συγκαταλέγεται στην τριάδα των μεγαλύτερων Μαθηματικών όλων των εποχών (μαζί με Νεύτωνα και Gauss). Οι ρίζες του Ολοκληρωτικού Λογισμού τριγυρνάνε στο βιβλίο αυτό. ''

Θα πρότεινα να διαβάσετε την απόδειξη στην Εφόδο (Μηχανικά Θεωρήματα), στον 2ο τόμο στα άπαντα του Αρχιμήδη, από τον Ευαγγελο Σταμάτη (σελ. 383 αρίθμησης του βιβλίου, 406 του pdf) εδώ [τα άπαντα του Σταμάτη βρίσκονται εδώ], . Επίσης να αγοράσετε το βιβλίο του Μηχανολόγου – Ηλεκτρολόγου ΕΜΠ Γιαννούλη Βρατσάνου  ''Αρχιμήδους Μηχανικά Θεωρήματα'', που επεξεργάζεται πολύ αναλυτικά κάθε σκέλος της παραπάνω απόδειξης με χρήση Μηχανικής, συμπληρώνοντας την και αναφέροντας σε παράρτημα τις προαπαιτούμενες γνώσεις.'Αλλωστε όπως αναφέρω εδώ, είναι το ιδανικό δώρο για Μαθηματικούς (είτε έχουν ανησυχίες Φυσικής είτε όχι).

Στον 2ο τόμο στα Απαντα του Αρχιμήδη, από τον Ευαγγελο Σταμάτη (σελ. 406 με την αρίθμηση του pdf) εδώ , ξεκινά η Μέθοδος (περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος). Εκεί βρίσκονται εναλλάξ μια σελίδα το πρωτότυπο και μια σελίδα η μετάφραση του Σταμάτη. Στην τελευταία παράγραφο της σελίδας 411 του pdf αναφέρει το πρώτο θεώρημα, μετά αναφέρει κάποια λήμματα και η απόδειξη βρίσκεται στις σελίδες του pdf 415, 417 και 419 στα Νέα Ελληνικά (και 414,416, 418 στο πρωτότυπο).  Η απόδειξη είναι πάρα πολύ συνοπτική και την εξηγεί καλύτερα, πιο αναλυτικά, το προαναφερθέν βιβλίο του Βρατσάνου.

Σχετική είναι και η διπλωματική του Παππά Βαγγέλη – Η Μέθοδος του Αρχιμήδη,  μια σύγχρονη αναλυτική προσέγγιση (Αθήνα 2012), η οποία διαπραγματεύεται στις σελίδες 55-66 της αρίθμησης του pdf,  τα αρχικά Λήμματα της Μεθόδου και το 1ο Μηχανικό Θεώρημα, που είναι η προαναφερεθείσα απόδειξη τετραγωνισμού παραβολής με την βοήθεια υποθετικού ζυγού.