Δύο υλικά σημεία Σ1 και Σ2 με ίσες μάζες m το καθ’ ένα συνδέονται μεταξύ τους με λεπτή άκαμπτη ράβδο αμελητέας μάζας σε σχέση με την m. Ένα τρίτο υλικό σημείο Σ3 και αυτό με μάζα m συνδέεται μέσω μη ελαστικού νήματος αμελητέας μάζας σε ένα σημείο Ο της ράβδου. Αρχικά το νήμα είναι λυγισμένο και το όλο σύστημα ακουμπά πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι. Κάποια στιγμή το Σ3 εκτοξεύεται πάνω στο τραπέζι με ταχύτητα κάθετη προς τη ράβδο με το φορέα της να διέρχεται από το Ο. Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ3 και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου τη στιγμή που τεντώνει το νήμα. Δίνονται : $latex {{u}_{o}}$ , (ΟΣ1) = α και (ΟΣ2)= β με β > α.
Απάντηση : $latex {{u}_{3}}=\frac{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}+\alpha \beta }\frac{{{u}_{o}}}{2},\quad \omega =\frac{\beta -\alpha }{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}{{u}_{3}}$
Ενδεικτική λύση εδώ.
Καλημέρα Νίκο.
Μια ερώτηση. Πώς θα αντιμετωπισθεί το νήμα; Ως πλήρως ελαστικό ή ως “πλαστικό”;
Να το διατυπώσω διαφορετικά. Μετά το τέντωμα του νήματος, το σώμα Σ3 θα έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο Ο ή όχι;
Καλημέρα Διονύση.
Διονύση θα έχουν ακριβώς την ίδια ταχύτητα. Αυτό θεώρησα για να βγουν οι απαντήσεις που προτείνει η άσκηση.
Γεια σου Νίκο.
Αν Μ το μέσον της αβαρούς ράβδου (κ.μ.) αποκτά ταχύτητα υcm ενώ η 3η σημειακή μάζα ταχύτητα υ.
Από ΑΔΟ παίρνουμε:
υο=2υcm+υ (1)
Από ΑΔΣ ως προς το Μ:
υο(β-α)/2=υ(β-α)/2+ ½ (α+β)2ω (2)
Αλλά και υ=υΟ=υcm+ω(β-α)/2
Geia σου Διονύση.
Δε σου κρύβω ότι δεν μπορώ να καταλάβω πως προκύπτει ο 2ρος όρος στο 2ρο μέλος της σχέσης (2) και στο μετά το "Αλλά και…" της τελευταίας σου πρότασης δεν πρέπει να υπάρχει το Uo…Όταν βρεις χρόνο σε παρακαλώ δώσε μία διευκρίνηση
$latex \displaystyle {{L}_{1}}+{{L}_{2}}=m{{r}^{2}}\omega +m{{r}^{2}}\omega =2m{{r}^{2}}\omega =2m{{(\frac{L}{2})}^{2}}\omega =\frac{1}{2}m{{L}^{2}}\omega =\frac{1}{2}m{{(\alpha +\beta )}^{2}}\omega $
Ένας άλλος τρόπος προσέγγισης θα ήταν:
$latex \displaystyle {{L}_{1}}+{{L}_{2}}=m{{u}_{1}}\frac{L}{2}+m{{u}_{2}}\frac{L}{2}=m({{u}_{cm}}+\omega \frac{L}{2})\frac{L}{2}+m({{u}_{cm}}-\omega \frac{L}{2})\frac{L}{2}=$ = $latex \displaystyle m\frac{{{u}_{cm}}}{2}L=m\frac{{{u}_{cm}}}{2}(\alpha +\beta )$.
Αν εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη αυτών των προσεγγίσεων προκύπτει :
$latex \displaystyle {{u}_{cm}}=\omega \frac{\alpha +\beta }{2}=\omega \frac{L}{2}$
Διονύση σ' ευχαριστώ που ασχολήθηκες
Από ΑΔΟ παίρνουμε:
mυο=2mυcm+mυ (1)
Το μέσον Μ της ράβδου (κ.μ. των δύο μαζών), απέχει κατά (β-α)/2 από το σημείο Ο.
Από ΑΔΣ ως προς το Μ:
Παίρνουμε τις δυο μάζες με τη ράβδο ως στερεό με ροπή αδράνειας:
Ι=md2+md2= 2m(l/2)2 = 2m(α+β)2/4= ½ m(α+β)2.
Οπότε:
mυο(β-α)/2=mυ(β-α)/2+ ½ m(α+β)2ω →
υο(β-α)/2=υ(β-α)/2+ ½ (α+β)2ω (2)
Όμως το σημείο Ο έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα υ της 3ης σημειακής μάζας.
Αλλά υΟ=υcm+ωR, λόγω σύνθετης κίνησης, οπότε:
και υ=υΟ=υcm+ω(β-α)/2 (3)
Νίκο γράφαμε μαζί…
Τώρα είδα το σχόλιό σου…
Νομίζω να αποσαφηνίζεται η λύση που πρότεινα με ΑΔΣ ως προς το Μ.
Και με την ευκαιρία, ένα ερώτημα
Η μηχανική ενέργεια διατηρείται στην διάρκεια του φαινομένου;
Διονύση ευχαριστώ.
Καθώς έγραφες τη λύση απαντούσα και εγώ.
Για τη μηχανική ενέργεια δε ξέρω με σιγουριά (νομίζω όχι) , μάλλον θέλει υπολογισμούς.
έκανα ένα λάθος στις πράξεις: προκύπτει ότι η $latex \displaystyle {{u}_{cm}}=\omega L$
που σημαίνει ότι : $latex \displaystyle {{u}_{2}}={{u}_{cm}}-\omega \frac{L}{2}=\omega \frac{L}{2}$,
άρα έχει φορά προς τα επάνω ( 😉 όπως και η $latex \displaystyle {{u}_{1}}$
Με τη λύση της άσκησης εκτός του Διονύση που εμφάνισε την πρόταση του εδώ, ασχολήθηκε και ο Ψυλάκος Κώστας.
Η δική μου προσέγγιση ήταν να βρω ταχύτητες με σημείο αναφοράς το Ο. Ο Κώστας τις υπολόγισε με σημείο αναφοράς το cm. Μετά από μία ερώτηση του Διονύση για το αν διατηρείται η μηχανική ενέργεια του συστήματος, ασχοληθήκαμε ανεξάρτητα με τον Κώστα και προέκυψε ότι δε διατηρείται. Ανεβάζω τη λύση του. ( Προειδοποίηση : ακολουθούν πάρα – πάρα πολλές πράξεις). Στις σελίδες (5) και (6) είναι το κομμάτι του ελέγχου της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας με δύο τρόπους: α) θεωρώντας τις μάζες σημειακές κάνοντας μεταφορική κίνηση και β) θεωρώντας το σύστημα m1 – ραβδος – m2 το οποίο εκτελεί σύνθετη κίνηση γύρω από το cm.
Πρόταση : " Η ολική κινητική ενέργεια ενός συστήματος είναι ίση με το άθροισμα της μεταφορικής κινητικής ενέργειας θεωρώντας όλη τη μάζα στο cm κινούμενη με την ταχύτητα του και περιστροφής γύρω από αυτό, δηλαδή :
$latex \displaystyle {{{\mathrm K}}_{o\lambda .}}=\frac{1}{2}{\mathrm M}.{{U}^{2}}_{cm}+\frac{1}{2}{{{\mathrm I}}_{ol.cm}}.{{\omega }^{2}}$"
Η ανάλυση εδώ.
Καλησπέρα και από εδώ Νίκο.
Μόλις έβαλες το θέμα σε ρώτησα στο πρώτο μου σχόλιο:
"Πώς θα αντιμετωπισθεί το νήμα; Ως πλήρως ελαστικό ή ως «πλαστικό»;
Να το διατυπώσω διαφορετικά. Μετά το τέντωμα του νήματος, το σώμα Σ3 θα έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο Ο ή όχι;"
Από τη στιγμή που πήραμε ίδια ταχύτητα του Σ3 και του σημείου Ο, η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται.
Το ερώτημα το έθεσα, σαν αφορμή προβληματισμού.
Θα ανεβάσω αύριο ένα θέμα στο οποίο μελετάω τη συμπεριφορά του νήματος (για κάθε περίπτωση και όχι μόνο στην δική σου ανάρτηση). Το γράφω…. και αν με αφήσει ο Φασουλόπουλος που θέλει να βγούμε για περπάτημα, θα το ολοκληρώσω
Ωραία Διονύση. Όμως να πάτε τη βόλτα σας! Θα βοηθήσει σίγουρα
Καλημέρα Νίκο.
Η ανάρτηση που προανήγγειλα έγινε εδώ.