Προσοχή στην εκτόξευση!

Δύο υλικά σημεία Σ1 και Σ2 με ίσες μάζες m το καθ’ ένα συνδέονται μεταξύ τους με λεπτή άκαμπτη ράβδο αμελητέας μάζας σε σχέση με την m. Ένα τρίτο υλικό σημείο Σ3 και αυτό με μάζα m συνδέεται μέσω μη ελαστικού νήματος αμελητέας μάζας σε ένα σημείο Ο της ράβδου. Αρχικά το νήμα είναι λυγισμένο και το όλο σύστημα ακουμπά πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι. Κάποια στιγμή το Σ3 εκτοξεύεται πάνω στο τραπέζι με ταχύτητα  κάθετη προς τη ράβδο με το φορέα της να διέρχεται από το Ο. Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ3 και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου τη στιγμή που τεντώνει το νήμα. Δίνονται : $latex {{u}_{o}}$ , (ΟΣ1) = α και (ΟΣ2)= β με β > α.

Απάντηση : $latex {{u}_{3}}=\frac{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}+\alpha \beta }\frac{{{u}_{o}}}{2},\quad \omega =\frac{\beta -\alpha }{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}{{u}_{3}}$

Ενδεικτική λύση  εδώ.

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
13 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
08/07/2017 8:50 ΠΜ

Καλημέρα Νίκο.

Μια ερώτηση. Πώς θα αντιμετωπισθεί το νήμα; Ως πλήρως ελαστικό ή ως “πλαστικό”;

Να το διατυπώσω διαφορετικά. Μετά το τέντωμα του νήματος, το σώμα Σ3 θα έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο Ο ή όχι;

Διονύσης Μάργαρης
08/07/2017 1:06 ΜΜ

Γεια σου Νίκο.

Αν Μ το μέσον της αβαρούς ράβδου (κ.μ.) αποκτά ταχύτητα υcm ενώ η 3η σημειακή μάζα ταχύτητα υ.

Από ΑΔΟ παίρνουμε:

υο=2υcm+υ (1)

Από ΑΔΣ ως προς το Μ:

υο(β-α)/2=υ(β-α)/2+  ½ (α+β)2ω  (2)

Αλλά και υ=υΟcm+ω(β-α)/2

 

Διονύσης Μάργαρης
08/07/2017 2:40 ΜΜ

Από ΑΔΟ παίρνουμε:

ο=2mυcm+mυ (1)

Το μέσον Μ της ράβδου (κ.μ. των δύο μαζών), απέχει κατά (β-α)/2 από το σημείο Ο.

Από ΑΔΣ ως προς το Μ:

Παίρνουμε τις δυο μάζες με τη ράβδο ως στερεό με ροπή αδράνειας:

Ι=md2+md2= 2m(l/2)2 = 2m(α+β)2/4= ½ m(α+β)2.

Οπότε:

ο(β-α)/2=mυ(β-α)/2+  ½ m(α+β)2ω  →

υο(β-α)/2=υ(β-α)/2+  ½ (α+β)2ω   (2)

Όμως το σημείο Ο έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα υ της 3ης σημειακής μάζας.

Αλλά υΟcm+ωR, λόγω σύνθετης κίνησης, οπότε:

και υ=υΟcm+ω(β-α)/2  (3)

 

Διονύσης Μάργαρης
08/07/2017 2:42 ΜΜ

Νίκο γράφαμε μαζί…

Τώρα είδα το σχόλιό σου…

Νομίζω να αποσαφηνίζεται η λύση που πρότεινα με ΑΔΣ ως προς το Μ.

Και με την ευκαιρία, ένα ερώτημα

Η μηχανική ενέργεια διατηρείται στην διάρκεια του φαινομένου;

Διονύσης Μάργαρης
10/07/2017 6:43 ΜΜ

Καλησπέρα και από εδώ Νίκο.

Μόλις έβαλες το θέμα σε ρώτησα στο πρώτο μου σχόλιο:

"Πώς θα αντιμετωπισθεί το νήμα; Ως πλήρως ελαστικό ή ως «πλαστικό»;

Να το διατυπώσω διαφορετικά. Μετά το τέντωμα του νήματος, το σώμα Σ3 θα έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο Ο ή όχι;"

Από τη στιγμή που πήραμε ίδια ταχύτητα του Σ3 και του σημείου Ο, η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται.

Το ερώτημα το έθεσα, σαν αφορμή προβληματισμού.

Θα ανεβάσω αύριο ένα θέμα στο οποίο μελετάω τη συμπεριφορά του νήματος (για κάθε περίπτωση και όχι μόνο στην δική σου ανάρτηση). Το γράφω…. και αν με αφήσει ο Φασουλόπουλος που θέλει να βγούμε για περπάτημα, θα το ολοκληρώσωsmiley

Διονύσης Μάργαρης
11/07/2017 9:00 ΠΜ

Καλημέρα Νίκο.

Η ανάρτηση που προανήγγειλα έγινε εδώ.