Στην ανάρτηση “το αμαξίδιο και το λάστιχο” το χέρι είχε μια σταθερή ταχύτητα.
Θα μπορούσε να είχε σταθερή επιτάχυνση.
Θα έστεκε μια άσκηση με εκφώνηση:
“Το λάστιχο του σχήματος έχει αμελητέα μάζα, μήκος 1m,k = 16 N/m. Η μάζα του αμαξιδίου είναι 1 kg.Την χρονική στιγμή μηδέν ασκούμε σταθερή δύναμη 2 Ν στο ελεύθερο άκρο του λάστιχου.
Βρείτε την αρχική επιτάχυνση του αμαξιδίου, την μέγιστη επιμήκυνση του λάστιχου, καθώς και …..”
Ένας θα έλεγε ότι το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται με επιτάχυνση 2 m/s2. Το Κ.Μ. ταυτίζεται με αυτό του αμαξιδίου. Οπότε η αρχική επιτάχυνση του αμαξιδίου είναι 2 m/s2.
Ένας άλλος θα έλεγε ότι την στιγμή μηδέν η παραμόρφωση του λάστιχου είναι μηδενική. Το αμαξίδιο δεν δέχεται δύναμη και η επιτάχυνσή του είναι μηδενική.
Οι αντιφάσεις αυτές καθιστούν προβληματική μια τέτοια άσκηση;
Καλημέρα Γιάννη.
Αν στη θέση του λάστιχου ήταν ένα τεντωμένο νήμα, τη στιγμή μηδέν η επιτάχυνση του αμαξιδίου δεν θα ήταν 2m/s2;
Παρεμπιπτόντως, ωραία και η πρώτη.
Καλημέρα Αποστόλη.
Σε ένα ιδανικό νήμα υπάρχουν δύο “περίεργα”.
Το ένα είναι η μηδενική του μάζα και το άλλο είναι το άπειρο k.
Ένα πραγματικό νήμα είναι τελικά ένα πολύ σκληρό λάστιχο.
Στο ιδανικό νήμα (με τις δύο εξιδανικεύσεις) το πρόβλημα αίρεται, διότι το νήμα δρα ως σύνδεσμος. Υποχρεώνει τις δύο άκρες να κινούνται με ίδιες επιταχύνσεις.
Έτσι η επιτάχυνση του αμαξιδίου θα ήταν αυτή.
Όμως εδώ;
Για να αποκτήσει το αμαξίδιο τέτοια επιτάχυνση θα πρέπει να δεχθεί δύναμη 2 Ν, δηλαδή να τεντωθεί το λάστιχο κατά 1/8 m.
Ο άλλος πάλι λέει ότι το Κ.Μ. του αμαξιδίου ταυτίζεται με το Κ.Μ. του συστήματος κάθε στιγμή. Επομένως την στιγμή μηδέν, που το λάστιχο έχει το φυσικό του μήκος, η επιτάχυνση είναι 2 m/s2.
Μία σκέψη ..Το γεγονός ότι μπορείς να ασκείς δύναμη στο νήμα σημαίνει πως και το νήμα ασκεί δύναμη σε εσένα , άρα πρόκειται για ήδη τεντωμένο νήμα και άρα δεν υπάρχει πρόβλημα .
Ο συλλογισμός Ένας άλλος θα έλεγε ότι την στιγμή μηδέν η παραμόρφωση του λάστιχου είναι μηδενική. Το αμαξίδιο δεν δέχεται δύναμη και η επιτάχυνσή του είναι μηδενική. καταρρίπτεται.
Καλημέρα Γιάννη.
Αν το λάστιχο έχει το φυσικό μήκος του (που το έχει), δεν μπορείς και να θέλεις, να του ασκήσεις σταθερή δύναμη 2Ν.
Το μόνο που μπορείς να κάνεις, είναι να του ασκήσεις μια μεταβλητή δύναμη, που θα το επιμηκύνει και όταν η επιμήκυνσή του γίνει τέτοια ώστε kΔl=2N, θα μπορούσες να επιταχύνεις με σταθερή επιτάχυνση το αμαξίδιο.
Πάντα θα υπάρχει δηλαδή μια μεταβλητή επιτάχυνση του αμαξιδίου (άσχετα αν το χρονικό διάστημα που θα γίνουν όλα αυτά, είναι μικρό ή μεγάλο)…
Συμφωνώντας με τον Διονύση, ας το πω με πιο πολλά λόγια:
Αν το σώμα είναι 1kg και το λάστιχο είναι 1 g , ασκώντας δύναμη 2 Ν το κέντρο μάζας του λάστιχου θα αποκτήσει επιτάχυνση 2.000 m/s2 , δηλαδή το δεξί άκρο του επιτάχυνση 4.000 m/s2. Ποιος ή τι θα μπορέσει να κινήσει τοιουτοτρόπως το σημείο εφαρμογής;
Κάποιος πύραυλος;
Έστω ότι βρίσκουμε τέτοιον μηχανισμό. Η δύναμη που δέχεται το αμαξίδιο την στιγμή μηδέν είναι μηδενική, όπως και η επιτάχυνσή του.
Κατεβάζοντας το λάστιχο στο 0,1 g η επιτάχυνση του άκρου γίνεται 40.000 m/s2. Η αρχική επιτάχυνση του αμαξιδίου παραμένει μηδενική.
Με την μάζα του λάστιχου τείνουσα στο μηδέν, η επιτάχυνση του άκρου τείνει στο άπειρο. ‘Ομως η επιτάχυνση του αμαξιδίου τείνει πάλι στο μηδέν. Το γιατί είναι απλό. Το όριο μιας συνάρτησης f(x) =0 διά κάθε x , είναι φυσικά το μηδέν.
Όποια ακολουθία επιταχύνσεων και αν πάρουμε, αποτελείται από μηδενικούς όρους. Προφανώς το όριο είναι το μηδέν και όχι το 2 m/s2 που σκεφτήκαμε με το “κόλπο” του κέντρου μάζας, του ταυτιζομένου με το κέντρο μάζας του αμαξιδίου.
Όταν παίζουμε με το μηδέν και το άπειρο, καλύτερα να βρίσκουμε την ακριβή λύση και έπειτα να βρίσκουμε το όριό της ή να κάνουμε τις όποιες προσεγγίσεις.
Θα συνεχίσω…..
Πολλές φορές συναντάμε αυτό που (θεωρώ ότι) είναι αντιστροφή της πραγματικότητας.
Λέμε ότι ασκούμε σε ένα σώμα δύναμη τάδε τραβώντας το. Μπορούμε;
Μπορούμε να κινήσουμε το σπαγκάκι πρόσδεσης με κάποια επιτάχυνση. Το χέρι μας δέχεται και ασκεί κάποια δύναμη.
Η δύναμη αυτή δεν μπορεί να πάρει οιανδήποτε τιμή. Λ.χ. ποιος μπορεί να ασκήσει δύναμη 10 N σε σώμα 1g ;
Αυτή η αντιστροφή θα δώσει (αν δεν έχει ήδη δώσει) και εκφωνήσεις που δεν στέκουν.
Καταλαβαίνω να ασκηθεί δύναμη 2 N σε σώμα προσδεδεμένο σε λάστιχο. Όμως στην άκρη λάστιχου μπορώ να ασκήσω δύναμη 2 N;
Έστω ότι δεν μας ενδιαφέρει ο ρεαλισμός. Ότι δουλεύουμε στα χαρτιά και διαθέτουμε χέρια που ασκούν οιανδήποτε δύναμη και πιο γρήγορα από αυτά του Λούκυ Λουκ, του μόνου που θα μπορούσε να προσδώσει τέτοιες επιταχύνσεις στο άκρο.
Στήσαμε ερώτημα που άνετα δέχεται και τις δύο απαντήσεις.
Το ερώτημα επομένως δεν στέκει.
Καταλαβαίνουμε ότι η κατάσταση χειροτερεύει αν το λάστιχο σκληρύνει τόσο ώστε να καταστεί ιδανικό νήμα.
Όλοι θα πούμε ότι η αρχική επιτάχυνση είναι 2 m/s2. Είναι τόση, ή είναι πάλι μηδενική ως όριο μιας συνάρτησης συνεχώς ίσης με το μηδέν;
Γιάννη σκεφτόμουν ότι ασκώντας δύναμη στο άκρο του λάστιχου, θα δημιουργηθεί ένα κύμα το οποίο θα ταξιδεύει (και) προς την αντίθετη κατεύθυνση, που σημαίνει ότι μέχρι να φτάσει στο σώμα θέλει κάποιο, πολύ μικρό, άρα θέλει κάποιο χρόνο. Συνεπώς την t=0, δε θα έχει "φτάσει η πληροφορία ότι ασκήθηκε δύναμη στο άλλο άκρο"…
Αυτό είναι σωστό Νίκο.
Ακόμα όμως και να αγνοήσουμε τα κύματα, ένα γραμμικό μέσο μπορεί να ασκήσει δύναμη αν δεν παραμορφωθεί;
Βρίσκω τέτοιες εκφωνήσεις προβληματικές. Μια αντιμετώπιση που φοβάμαι είναι η εξής:
"Στα άκρα λάστιχου έχουμε ίδιες δυνάμεις. Αυτό καθιστά το λάστιχο ακαριαία παραμορφωμένο και την αρχική επιτάχυνση του αμαξιδίου 2 m/s^2"
Γιάννη (Κυρ), καλησπέρα!
Πρώτα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ποια χρονική στιγμή θεωρείς t=0.
1. t=0 θεωρείς τη στιγμή που το λάστιχο έχει το φυσικό του μήκος; Τότε το λάστιχο δεν δέχεται καμία δύναμη, ούτε βέβαια και το αμαξίδιο, το σύστημα ισορροπεί και η επιτάχυνση είναι μηδέν.
2. t=0 θεωρείς τη στιγμή που στο λάστιχο έχει ήδη ασκηθεί η δύναμη; Τότε το λάστιχο δέχεται και στα δύο του άκρα δύναμη ίσου μέτρου γιατί τεντώνεται "ομοιόμορφα". Δηλαδή τη διαταραχή που θα πας να του προκαλέσεις στο άκρο του θα την "αισθανθούν" (σχεδόν) ακαριαία όλα του τα μόρια. Άρα (σχεδόν) ακαριαία την αισθάνεται και το αμαξίδιο με αποτέλεσμα το σύστημα να αποκτά επιτάχυνση.
Λογικά για να στέκει η άσκηση πρέπει να θεωρήσουμε την περίπτωση 2.
Γιάννη (Κυρ), την επιτάχυνση 2000m/s2 θα μπορούσε να την αποκτήσει το λάστιχο (όταν θα του ασκούσαμε δύναμη 2Ν) στην περίπτωση που ήταν ελεύθερο και όχι συνδεδεμένο με το αμαξίδιο. Κάθε δύναμη που θα ασκήσουμε στο λάστιχο θα την "αισθανθεί" και το αμαξίδιο αφού είναι συνδεδεμένα σαν ένα σώμα, επομένως ουσιαστικά τη δύναμη αυτή την ασκούμε στο σύστημα "αμαξίδιο-λάστιχο" και η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί θα εξαρτηθεί από τη συνολική του μάζα.
Πιστεύω ότι η τελευταία πρόταση είναι η πιο σωστή! Θα μπορούσαμε βέβαια να πούμε "σχεδόν ακαριαία" γιατί όπως ξέρουμε στη φύση τίποτα δεν συμβαίνει ακαριαία…
Αικατερίνη (ή Κατερίνα;) το λάστιχο δέχεται δύναμη από το αμαξίδιο μόνον όταν έχει παραμορφωθεί.
Την στιγμή μηδέν δεν υπάρχει παραμόρφωση και ουδεμία δύναμη δέχεται το αριστερό άκρο. Το δεξί άκρο δέχεται δύναμη η οποία προσδίδει επιτάχυνση 2.000 m/s^2 στο κέντρο μάζας.
Αύριο θα επιχειρήσω ακριβή προσομοίωση που θα δείξει το σχετικό "παράδοξο" την στιγμή μηδέν.
Η προσομοίωση που είπα.
Το "τρεμοπαίξιμο" οφείλεται στο ότι έβαλα ελατήριο μη διαθέτων λάστιχο.
Όμως δεν επηρεάζει το θέμα.
Η χρονική στιγμή μηδέν φαίνεται ποια είναι.
Αχχχ!! Δεν μπορώ να ανοίξω το συνημμένο σου!!
Θα ήθελα όμως να σου πω κάτι άλλο. Σκέψου ότι κρατάς με τα χέρια σου τις δύο άκρες ενός λάστιχου στο φυσικό του μήκος. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείς με το ένα σου χέρι δύναμη στη μια άκρη του προσπαθώντας να το τεντώσεις. Την ίδια χρονική στιγμή δεν θα νιώσεις δύναμη στο άλλο σου χέρι; Αυτό ακριβώς θα "νιώσει" και το αμαξίδιο.
Μια άλλη σκέψη θα μπορούσε να είναι η εξής: Δένεις κάπου το αμαξίδιό σου με ένα νήμα ώστε να το κρατάς ακίνητο τη στιγμή που ασκείς τη δύναμη στο άκρο του λάστιχου και έτσι προκαλείς (με την ησυχία σου) την επιμήκυνσή του. Μετά, τη χρονική στιγμή που εσύ θα ονομάσεις μηδέν, κόβεις το νήμα (και ταυτόχρονα τον "γόρδιο δεσμό" )
Τώρα, βέβαια, ακριβώς τι γίνεται στο μικρόκοσμο αυτό είναι μια άλλη ιστορία που δεν έχει σχέση με το θέμα μας. Στη Φυσική έτσι κι αλλιώς όλο παραδοχές και εξιδανικεύσεις είμαστε για να εξηγήσουμε τα διάφορα φαινόμενα. Η "πραγματικότητα" σίγουρα είναι διαφορετική.
(Κατερίνα)
Καλημέρα,
Γιάννη ποιο είναι το κ στο '' λάστιχο''; Μετά από 0,5sec νιώθει το σώμα τη δύναμη