by 
Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται ένα ντεπόζιτο σχήματος κύβου με πλευρά h=0,5m στο οποίο έχουν προσαρμοστεί δύο σωλήνες μεγάλου μήκους o καθένας στην κάτω και πάνω βάση του αντίστοιχα. Οι σωλήνες φέρουν εφαρμοστά έμβολα με εμβαδά Α1 και Α2 τα οποία μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές στους σωλήνες.
Γεμίζουμε με νερό το ντεπόζιτο και το σύστημα ισορροπεί ασκώντας μία δύναμη μέτρου F στο έμβολο Α1, ενώ το έμβολο Α2 ισορροπεί χωρίς την άσκηση κάποιας δύναμης από εμάς. Αν το εμβαδό του εμβόλου Α1=4cm2 και τα εμβαδά των δύο εμβόλων συνδέονται με τη σχέση Α1 = 2Α2
Αi) Να βρείτε το μέτρο της δύναμης F.
B) Αρχίζουμε να ασκούμε μία δύναμη με τέτοιο τρόπο ώστε μετά από λίγο χρόνο να αποκατασταθεί μόνιμη ροή στους σωλήνες και το έμβολο 1 να κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1=0,2m/s.
Συνέχεια στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Η περιπτώσεις με τον δεύτερο σωλήνα φαρδύτερο, οδηγούν σε παράδοξα.
Αεικίνητα.
Μηδενικές ισχείς.
Επιταχύνσεις μεγαλύτερες από g.
κ.λ.π.
Τώρα πιστεύω πως η ρίζα των παραδόξων βρίσκεται στο ότι το νερό στον φαρδύ σωλήνα δεν κινείται όλο με την ίδια ταχύτητα.
Έτσι δεν έχω μείωση της κινητικής ενέργειας και μετατροπή της σε δυναμική ή έργο προσφερόμενο σε κάποιον μηχανισμό.
Μια φλέβα διατομής όσης του λεπτού σωλήνα (ή μικρότερης) διαπερνά το νερό του φαρδύτερου σωλήνα, με ότι θα επακολουθήσει.
Δεν συμβαίνει το ίδιο όταν ο δεύτερος σωλήνας είναι στενότερος και όλο το νερό του (αμελούμε ιξώδες και ροή Poiseuille) κινείται με ίδια ταχύτητα, αυξάνεται η Κ.Ε. και απαιτείται προσφορά έργου γι' αυτό.
Καλησπέρα Χρήστο,
ωραίο πρόβλημα το οποίο συνδυάζει πολλές γνώσεις στα ρευστά. Μου άρεσε το συμπέρασμα στο Γ ερώτημα!
Σε ευχαριστώ Νίκο
Καλή χρονιά να έχουμε.
Καλησπέρα Κύριοι,
Το παράδοξο που αναφέρεται στην μηδενική ισχύ ή στην μηδενική δύναμη δεν είναι παράδοξο αλλά σφάλμα που περιέχει η απλοποίηση της εξίσωσης του Bernoulli. Ας τα πάρουμε τα πράγματα λίγο διαφορετικά. Η γενική εξίσωση που ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις για ιδανικό ρευστό είναι η εξίσωση Navier-Stokes που έχει την ακόλουθη διανυσματική μορφή και σε αδιάστατη μορφή:
∂u/∂t+u ∙ ∇u=–∇P + (1/Re) (∇^2)u
.
Έχει μεγάλη σημασία να γράφουμε την εξίσωση σε αδιάστατη μορφή καθώς μας βοηθά να παρατηρούμε τα φυσικά φαινόμενα. Ο κύριος αριθμός που μας ενδιαφέρει είναι ο αριθμός Re ή Reynolds. Ο αριθμός αυτός είναι στην ουσία ένας λόγος δυνάμεων, και για να γίνω πιο συγκεκριμένος:
Re=δυνάμεις αδράνειας/δυνάμεις ιξώδους
Σε μόνιμη κατάσταση, η χρονοπαράγωγος ισούται με μηδέν. Η εξίσωση Bernoulli αναφέρεται σε ανιξώδη ροή( προσοχή όχι σε ανιξώδες ρευστό, έχει μεγάλη διαφορά) άρα ο Re είναι ένας πάρα πολύ μεγάλος αριθμός εφόσον οι δυνάμεις ιξώδους είναι πάρα πολύ μικρές. Συνεπώς, ο αντίστροφός του είναι πολύ μικρός αριθμός. Αν ακολουθήσουμε αυτήν την πορεία και συγκρίνουμε τους όρους σαν τάξη μεγέθους τότε καταλήγουμε στο ότι ο όρος της δεύτερης παραγώγου, (∇^2)u , μπορεί να αμεληθεί. Στην συνέχεια, εφαρμόζοντας κάποια διανυσματικά θεωρήματα, καταλήγουμε στην γνωστή μας εξίσωση του Bernoulli. Αυτή είναι η σωστή μαθηματικά απόδειξη της Bernoulli που μπορεί να μας δείξει από που προέρχεται αυτό το παράδοξο.
Εδώ όμως χρειάζεται μεγάλη προσοχή. Η δεύτερη παράγωγος αντιπροσωπεύει τις απώλειες του συστήματος, άρα την τριβή. Από φυσικής απόψεως, αυτό οδηγεί στην ‘ιδιαίτερη’ περίπτωση ότι μπορούμε να έχουμε ροή σε σωλήνα χωρίς να του ασκούμε κάποια διαφορά πίεσης, αν το ροϊκό πεδίο έχει δημιουργηθεί από πριν. Δηλαδή η Bernoulli που χρησιμοποιείται, είναι απλά ένα πολύ απλοποιημένο μοντέλο στην κίνηση των ρευστών. Ένα αντίστοιχο παράδειγμα είναι ότι το αεροπλάνο, αν ίσχυε η Bernoulli, μόλις έπιανε σταθερή ταχύτητα δεν θα χρειαζόταν πλέον τους κινητήρες!! Στην συγκεκριμένη περίπτωση με τα έμβολα, πρέπει να έχουμε μία δύναμη για υποστηρίζει την κίνηση του ρευστού να υπερνικήσει την, αντίθετη προς την ροή, διαφορά πίεσης λόγω της διαφοράς ύψους. Αν όμως το ρευστό έχει αρκετή κινητική ενέργεια, τότε δεν χρειάζεται κάποια εξωτερική δύναμη να το κινήσει εφόσον δεν υπάρχουν τριβές.
Ας το δούμε όμως και από μαθηματικής πλευρά. Το πρόβλημα στην Bernoulli είναι ότι αποτελεί την λύση του εξωτερικού προβλήματος μίας ιδιάζουσας διαταραχής, καθώς ο μικρός αριθμός (1/Re) πολλαπλασιάζει την μεγαλύτερη παράγωγο καθιστώντας αμέσως το πρόβλημα να μην μπορεί να ικανοποιήσει τις δύο βασικές συνοριακές συνθήκες της ρευστομηχανικής, δηλαδή την συνθήκη μη ολίσθησης και μη διείσδυσης στο τοίχωμα. Φυσικά, η πιο ‘ισχυρή’ συνθήκη είναι αυτή της μη διείσδυσης. Άρα, η Bernoulli δεν μπορεί να περιγράψει την ταχύτητα του ρευστού ακριβώς πάνω στην επιφάνεια. Εδώ εισέρχεται η έννοια του συνοριακού στρώματος, που διατυπώθηκε πρώτη φορά το 1905 από τον Prandtl. Εκεί, ο Prandtl έλυσε το συνολικό πρόβλημα, δείχνοντας ότι σε μία περιοχή πολύ κοντά στο τοίχωμα πρέπει να ληφθεί και ο όρος της δεύτερης παραγώγου.
Πάντως, αυτό είναι ένα πολύ ωραίο θέμα που δείχνει με τον καλύτερο τρόπο τις τρομακτικά αφύσικες ανακρίβειες που μπορεί να εμφανίσει η χρήση της εξίσωσης Bernoulli.
Καλημέρα,
Έχω κάνει ένα λάθος στην προηγούμενη μου ανάρτηση. Η Navier-Stokes εξίσωση αναφέρεται σε νευτώνεια και όχι ιδανικά ρευστά. Είναι από τα λεπτά σημεία της ρευστομηχανικής το συγκεκριμένο σημείο. Επιπλέον, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή ότι η απόδειξη της Bernoulli δεν απαιτεί το ιξώδες ενός ρευστού να είναι μηδέν αλλά ο λόγος των δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις ιξώδους να είναι μεγάλος.
Χρόνια Πολλά Παντελή.
Αν δεν χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση Μπερνούλι, αλλά έργο της δύναμης και ενέργειες, μπορούμε να καταλήξουμε στα ίδια.
Ότι δηλαδή η δύναμη μηδενίζεται. Το "παράδοξο" δεν αίρεται εύκολα.
Δηλαδή Παντελή, δεν αμφισβητώ το ότι οι εξισώσεις Νavier-Stokes θα δώσουν λύση καλή.
Το θέμα όμως είναι να βρούμε το λάθος της παρακάτω προσέγγισης:
Εδώ δεν επικαλούμαι Μπερνούλι ή οτιδήποτε.
Ποιο λάθος γίνεται;
Το υγρό ιδανικό και η επίδραση του ιξώδους μικρή. Ακόμα όμως και ιξώδες να είχαμε, πάλι αλλάζοντας την πάνω διατομή μηδενική δύναμη θα βγάζαμε για κάποιες τιμές.
Πάντοτε θεωρώ σημαντικότερο τον εντοπισμό ενός λάθους από την παράθεση μιας ορθής λύσης.
Εδώ ποιο λάθος γίνεται;
Φυσικά δεν ζητώ απάντηση του τύπου “Το λάθος είναι ότι δεν την λύνεις με την μέθοδο…..”.
Αυτό που τόνισα είναι ότι αμελείτε την επίδραση της τριβής. Θεωρείτε ότι η συνολική ενέργεια που δίνεται στο σύστημα από τον μηχανισμό θα γίνει είτε κινητική είτε δυναμική. Αυτό δεν ισχύει στην πραγματικότητα. Άρα, αμέσως χρησιμοποιείτε ένα απλοποιημένο μαθηματικό μοντέλο. Από εκεί και μετά η επίλυση του απλοποιημένου μοντέλου θα δώσει λανθασμένες απαντήσεις. Τελικά, ο εντοπισμός του λάθους είναι ότι έχει αμεληθεί ο μηχανισμός απώλειας ενέργειας λόγω τριβών. Κάτι που προσπάθησα να τονίσω με την ανάλυση που έκανα παραπάνω, ότι η Navier-Stokes δεν είναι η απλά μία σωστή μέθοδος αλλά η σωστή, από φυσικής απόψεως, ερμηνεία της κίνησης του ρευστού.
Χρόνια πολλά και Καλή χρονιά.
Καλή Χρονιά Παντελή.
Φυσικά συμφωνώ ότι οι Navier-Stokes δίνουν μια σωστή ερμηνεία κίνησης του ρευστού. Αλίμονο αν ισχυρισθούμε κάτι άλλο.
Ας βάλουμε μέσα το ίξώδες του νερού που είναι μικρό και διατομές εμβόλων 100 τ.εκ. και 300 τ.εκ.
Ας υποθέσουμε ακόμα πως το 20% του έργου που προσφέρω χάνεται. Αυτό φυσικά δεν γίνεται, ούτε το 2% δεν χάνεται για μικρά μήκη σωλήνων. Ας δεχθούμε όμως χάριν της συζήτησης ότι το 20% χάνεται. Πάλι η δύναμη μηδενική υπολογίζεται.
Θ μπορούσαμε να μιλάμε ακόμα και για 60% απώλειες. Τότε βρίσκεται διατομή του δεύτερου εμβόλου η οποία καθιστά μηδενική την απαιτούμενη δύναμη.
Μάλλον κάτι στην παραδοχή (κίνηση υγρού με ίδια ταχύτητα στον πάνω σωλήνα) δεν στέκει.
Ας υποθέσουμε πως κάποιος λύνει το πρόβλημα με χρήση εξισώσεων Navier-Stokes. Πάλι παραμένει το "πρόβλημα".
Γιατί ο ενεργειακός λογισμός βγάζει λανθασμένο συμπέρασμα;
Αυτό έχει μεγάλο ενδιαφέρον, διότι θα μας δείξει τα όρια χρήσης και της σχέσης Μπερνούλι και των ενεργειακών λογισμών.
Αν δεν βρεθεί, θα έχουμε "προβλήματα" σε προβλήματα. Δηλαδή θα συναντάμε ασκήσεις (τις οποίες προφανώς δεν θα λύνουμε με Navier-Stokes) και θα έχουμε αμφιβολίες για κάθε προτεινόμενη λύση.
Στην προκειμένη περίπτωση ο Χρήστος και εγώ καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα από τελείως διαφορετικούς δρόμους.
Μάλλον υπάρχει λάθος σε αμφοτέρους. Ποιο όμως;
Αν δεν βρεθεί, τότε ανάλογο λάθος θα γίνει και σε άλλη άσκηση "μαθητική".
Θα ήθελα μια απάντηση διαφορετική από την:
-Η μόνη σωστή πορεία είναι η χρήση των σχέσεων Navier-Stokes.
Δεν γίνεται να σταματήσουμε να λύνουμε τα προβλήματα όπως τα λύνουμε και να τα αφήνουμε στην άκρη λέγοντας:
-Τα προβλήματα αυτά δεν λύνονται έτσι.
Καλή χρονιά εύχομαι σε όλους,
Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα μας. Αυτό που παρατηρώ εγώ είναι ότι ο ενεργειακός λογισμός δεν δίνει λάθος αποτέλεσμα. Η έλλειψη που έχει είναι ότι δεν λαμβάνει επίσης υπόψιν του την δημιουργία του ροϊκού πεδίου. Ας θεωρήσουμε ότι λαμβάνουμε και τις τριβές. Αν το ρευστό έχει αποκτήσει μία κινητική ενέργεια από ένα μηχανισμό, η οποία είναι αρκετή να ξεπεράσει και τις απώλειες τις τριβής αλλά και την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας για ποιο λόγο να χρειάζεται να προσφέρουμε στο σύστημα και άλλη ενέργεια; Δηλαδή, την έναρξη της διαδικασίας δεν την λαμβάνουμε υπόψιν. Είναι το ίδιο με μια μπάλα σε ένα κεκλιμένο επίπεδο. Αν η μπάλα έχει αρκετή ταχύτητα να ανέβει το κεκλιμένο επίπεδο, δεν χρειάζεται κάποια δύναμη να την βοηθήσει να ανέβει.
Αν τώρα, κοιτούσαμε την έναρξη της διαδικασίας δεν θα μας οδηγούσε σε αυτό το αποτέλεσμα του μηδενισμού της δύναμης. Γιατί η εκφώνηση αναφέρει ότι ασκούμε μία δύναμη, φθάνουμε σε μόνιμη κατάσταση με μία συγκεκριμένη τελική ταχύτητα και στην συνέχεια ελέγχουμε το μέτρο της δύναμης που απαιτείται για την επίτευξη αυτής της ταχύτητας σε μόνιμη κατάσταση.
Αν κάνω κάπου λάθος διορθώστε με.
Παντελή μάλλον δεν κάνεις λάθος. Το ροϊκό πεδίο που λες πρέπει να είναι.
Κάποιο μέρος του έργου δαπανάται και κινούνται μάζες νερού και στο δοχείο και στον φαρδύ σωλήνα, με ταχύτητες διαφορετικές από αυτές του περιβάλλοντός τους.
Καλησπέρα
Παντελή σε ευχαριστώ για το σχόλιο και τις επισημάνσεις. Τις τελευταίες μέρες απείχα λίγο από το δίκτυο και δεν σχολίασα.
Θεωρώ πως οι εξισώσεις Navier Stokes δίνουν σωστό αποτέλεσμα όπως αναφέρει ο Γιάννης αλλά πιστεύω ας τις αφήσουμε στην άκρη. Μιας και μιλάμε για ιδανικό ρευστό μην υποθέτουμε απώλειες και στροβιλισμούς κτλ.
Το ερώτημα του Γιάννη και μένα είναι που να υπάρχει το λάθος και τι δεν λαμβάνεται σωστά ώστε να οδηγούμαστε σε τέτοια συμπεράσματα. Στο σχήμα του Διονύση υπάρχει ένας μηχανισμός πως μπορεί το υγρό να αναπληρώνεται απο τη δημιουργία κενού και η ταχύτητα σε όλο το υγρό να αυξάνεται. Έτσι απαιτείται μια δύναμη που να κοντράρει το έμβολο για να διατηρηθεί η ταχύτητα στην αρχική της τιμή. Αυτό φαντάζομαι είναι για την περίπτωση που η δύναμη είναι αρνητική. Από την άλλη όμως όπως λέει και ο Γιάννης απο τη στιγμή που αυτό συμβαίνει καταλήγει σε αεικίνητο. Χωρίς προσφορά ενέργειας συνεχίζεται μια τέτοια κίνηση και μάλιστα το νερό να επιταχύνεται συνεχώς.
Για την περίπτωση που η δύναμη βγαίνει μηδενική όπως αναφέρει και ο Διονύσης και ο Παντελής όπως και στο τελευταίο σχόλιο αν εξασφαλίσουμε μηχανισμό που να ''τροφοδοτεί'' τις μάζες με την ταχύτητα αυτή τότε δεν υπάρχει κάτι μεμπτό. Για παράδειγμα φαντάζομαι μια αντλία που να παίρνει νερό απο μια ανοιχτή δεξαμενή και να το μεταβιβάζει στο λεπτό σωλήνα με πίεση μιας ατμόσφαιρας και την ταχύτητα ρίζα(10/3).
Προσωπικά πιστεύω πως το ροϊκό πεδίο είναι ανομοιογενές κατά τμήματα όπως αναφέρουν και οι υπόλοιποι, αλλά ενδεχομένως να μην λαμβάνουμε και τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης του ρευστού με τα έμβολα κάτι σαν κρούση όπως χτυπά το ρευστό το έμβολο.