by 
Δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Κατά τη διάρκεια της κρούσης οι σφαίρες παραμορφώνονται παροδικά και μέρος της ενέργειας του συστήματος μετατρέπεται σε δυναμική ελαστική ενέργεια λόγω της παραμόρφωσης των σωμάτων. Κατά την κρούση, όσο υφίσταται η παραμόρφωση τα κέντρα μάζας των σωμάτων πλησιάζουν μεταξύ τους και αυξάνεται η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης.Όταν τα κέντρα μάζας των σωμάτων απέχουν ελάχιστα μεταξύ τους μεγιστοποιείται η δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης. Ενώ όταν τα σώματα απομακρύνονται και τείνουν να αποχωριστούν ελαττώνεται η ενέργεια παραμόρφωσης. Μόλις η κρούση τελειώσει και τα σώματα δεν βρίσκονται σε επαφή έχουν ανακτήσει το αρχικό τους σχήμα και πλέον το σύστημα δεν έχει καθόλου ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης.
Να αποδειχθεί ότι η μέγιστη ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης επιτυγχάνεται όταν οι σφαίρες έχουν ίσες ταχύτητες.
Απάντηση στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Σε κάθε συνάντηση του δικτύου μας τα κέντρα των καρδιών μας έρχονται όλο και πιο κοντά. Σε αντίθεση με τις σφαίρες η απόσταση μεταξύ μας τείνει να γίνει μόνιμα ελάχιστη. Η ανάρτηση αφιερώνεται σε όλα τα μέλη που παρευρέθηκαν στη συνάντηση αλλά και σε όλους που δεν μπόρεσαν με την ελπίδα για μια επόμενη φορά.
Πότε πρόλαβες ρε θηρίο!
Πολύ καλή!
Θα γράψω κάτι.
Όταν έχουμε κρούση, είτε είναι ελαστική είτε όχι και τα σώματα παραμορφώνονται, όταν η παραμόρφωση είναι μέγιστη τα σώματα θα έχουν ίσες ταχύτητες στιγμιαία. Αυτό ίσως απορρέει και από λογικές σκέψεις πέραν της μαθηματικής απόδειξης.
Αν οι μαθητές μας γνώριζαν τα περί σχετικής ταχύτητας δεν είχαμε παρά να καθίσουμε πάνω στο ένα από τα σώματα. Θα βλέπαμε το άλλο να πέφτει πάνω μας και να ακολουθεί παραμόρφωση των δύο σωμάτων.
Όσο διαρκεί η παραμόρφωση τόσο το σώμα που μας επετέθη μας πλησιάζει. Όταν μεγιστοποιείται η παραμόρφωση του «επιτιθέμενου» (έστω του Α) τότε αυτό ακινητοποιείται. Αν δεν γινόταν αυτό θα μας πλησίαζε και άλλο, οπότε η παραμόρφωση δεν θα ήταν η μέγιστη. Τότε όμως ενώ εμείς βλέπουμε μηδενική ταχύτητα και για τα δύο σώματα, ένας «ακίνητος» παρατηρητής βλέπει ίσες ταχύτητες. Θα μπορούσε να τεθεί το ερώτημα:
-Είναι και του άλλου η παραμόρφωση μέγιστη;
Καθίζουμε έναν άλλο παρατηρητή στο άλλο σώμα, το Α. Αυτός βλέπει ανάλογα πράγματα. Βλέπει να μεγιστοποιείται η παραμόρφωση του Β την στιγμή της ακινητοποίησης. Αυτός πρέπει να συμφωνήσει με τον προηγούμενο παρατηρητή για το ποια είναι η χρονική στιγμή της ακινητοποίησης. Επομένως την στιγμή αυτήν οι παραμορφώσεις και των δύο σωμάτων είναι μέγιστες.
Θα μπορούσαμε να μελετήσουμε την κρούση από την σκοπιά του «ακίνητου» παρατηρητή.
Αυτός βλέπει ένα σώμα κατά την κρούση να δέχεται δύναμη προς τα αριστερά και η ταχύτητά του να μειώνεται αλγεβρικά. Βλέπει το άλλο σώμα να δέχεται δύναμη προς τα δεξιά και η ταχύτητά του να αυξάνεται αλγεβρικά.
Αρχικά η ταχύτητα του αριστερού θα είναι αλγεβρικά μεγαλύτερη από αυτήν του δεξιού. Τότε το αριστερό σώμα θα πλησιάζει το δεξί. Κάποια στιγμή οι ταχύτητες θα εξισωθούν. Τότε τα σώματα απέχουν την ελάχιστη απόσταση και οι παραμορφώσεις τους θα είναι μέγιστες.
Το θέμα είναι αν οι παραμορφώσεις μεγιστοποιούνται την ίδια στιγμή. Ας υποθέσουμε ότι μεγιστοποιήθηκε η παραμόρφωση του αριστερού αλλά όχι του δεξιού. Έστω ότι την στιγμή t μεγιστοποιείται η παραμόρφωση του αριστερού και την t΄ η παραμόρφωση του δεξιού. Τότε στο διάστημα (t,t΄) θα είχαμε το εξής παράδοξο.
Του αριστερού η παραμόρφωση αίρεται, δηλαδή μειώνεται η δύναμη που δέχεται από το δεξί.
Του δεξιού η παραμόρφωση αυξάνεται, οπότε αυξάνεται η δύναμη που δέχεται από το αριστερό.
Αυτά όμως είναι παράλογα, διότι δεν είναι δυνατόν να μειώνεται η δράση και να αυξάνεται η αντίδραση.
Εγώ Γιάννη θα δεχόμουν ως ολόσωστη μία τέτοια εξήγηση χωρίς μαθηματικά. Αλλά ξέρεις το θηρίο πως είναι πάντα λεπτολόγος και με ωραίες σκέψεις. Πολύ καλό Χρήστο!!
Γιάννη και Τάσο σας ευχαριστώ για το σχόλιο.
Γιάννη ωραία η δικαιολόγηση της ταυτόχρονης μεγιστοποιησης της ελαστικής ενέργειας και των δύο σωμάτων. Με τις σχετικές κινησεις είναι και εύκολα δικαιολογησιμο.
Τάσο περιμένω την παραλλαγή που λέγαμε που έχεις στα σκαριά
Καλησπέρα Χρήστο. Ωραία η μελέτη που κάνεις.
Και εγώ Τάσο θα δεχόμουν μια εξήγηση χωρίς πολλά μαθηματικά.
Νεκτάριε καλησπέρα
Η άσκηση προέκυψε από ερώτημα μαθητή λίγο πριν τις πανελλήνιες όπου ήθελε μαθηματική εξήγηση. Και εγώ περιγραφικά χωρίς καμία εξισωση εξηγώ την μέγιστη παραμόρφωση όταν έχουν ίσες ταχύτητες.
Σήμερα μάλιστα τελευταίο μάθημα στις κρούσεις κάνοντας τέτοια άσκηση χρησιμοποίησα και την εξήγηση του Γιάννη με τις σχετικές ταχύτητες που περιγράφει πιο πάνω.
Μια λίγο διαφορετική αντιμετώπιση απο τον Κώστα Ψυλάκο αφού τον ευχαριστήσω πρώτα για ένα αριθμητικό που είχα κάνει στην τιμή της Uελ, max. Το αρχείο διορθώθηκε.
Μια ερώτηση στην ανάλυση του Γιάννη
Είναι απόλυτα λογικό η μέγιστη παραμόρφωση να εμφανίζεται τη στιγμή που
τα κέντρα μάζας των σφαιρών βρίσκονται στην ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση,
στιγμή που οι σφαίρες αποκτούν κοινή ταχύτητα.
Δεν καταλαβαίνω γιατί να συζητάμε τα υπόλοιπα:
"Το θέμα είναι αν οι παραμορφώσεις μεγιστοποιούνται την ίδια στιγμή. "
Η ελάχιστη απόσταση των Κ.Μ συμβαίνει για μια στιγμή. Τότε και οι δύο
έχουν μέγιστη παραμόρφωση.
Όταν η απόσταση αρχίζει να μεγαλώνει η παραμόρφωση αρχίζει να αίρεται….
κάτι ανάλογο με τη μέγιστη συσπείρωση ελατηρίου ανάμεσα σε δύο σώματα….
Καλημέρα σε όλους,
Μια εναλλακτική λύση που χρησιμοποιεί το σύστημα του κέντρου μάζας CM των δύο σφαιρών:
(Τα σύμβολα των ταχυτήτων παριστάνουν αλγεβρικές τιμές)
1) Επειδή το σύστημα των δύο σφαιρών είναι μονωμένο, η ορμή του παραμένει σταθερή. Το CM κινείται επομένως (ως προς το έδαφος) με σταθερή ταχύτητα υ και ισχύει:
(m1 + m2)·υ = m1·υ1 + m2·υ2 → υ = (m1·υ1 + m2·υ2) / (m1 + m2) (1)
2) Οι σχετικές ταχύτητες των δύο σφαιρών ως προς το CM είναι:
V1 = υ1 – υ και V2 = υ2 – υ (2)
Οι ταχύτητες υ1 και υ2 μπορούν επομένως να γραφτούν:
υ1 = V1 + υ και υ2 = V2 + υ (3)
3) Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος (ως προς το έδαφος) είναι:
Κπριν = ½·m1·υ1² + ½·m2·υ2² = ½·m1·(V1 + υ)² + ½·m2·(V2 + υ)²
και με πράξεις:
Κπριν = ½·m1·V1² + ½·m2·V2² + ½·(m1 + m2)·υ² + (m1·V1 + m2·V2)·υ
Ο παράγοντας m1·V1 + m2·V2 εκφράζει την ορμή του συστήματος ως προς το CM και είναι μηδενικός. Οπότε:
Κπριν = ½·m1·V1² + ½·m2·V2² + ½·(m1 + m2)·υ² (4)
Επίσης, από την ίδια σχέση:
m1·V1 + m2·V2 = 0 → m1·V1 = – m2·V2 (5)
φαίνεται ότι οι ταχύτητες V1, V2 ως προς το CM είναι συνεχώς αντίρροπες και με σταθερή αναλογία μέτρων.
Κατά την κρούση, τα δύο σώματα πλησιάζουν αρχικά προς το CM. Εξαιτίας των κρουστικών δυνάμεων, τα μέτρα των V1, V2 μειώνονται μέχρι ταυτόχρονου μηδενισμού, ενώ τα σώματα παραμορφώνονται ολοένα και περισσότερο.
Αν δεν υπάρχει καθόλου ελαστικότητα, οι V1, V2 παραμένουν μηδενικές και δημιουργείται συσσωμάτωμα.
Αν όμως υπάρχει ελαστικότητα, τότε η παραμόρφωση των σωμάτων είναι παροδική. Οι κρουστικές δυνάμεις συνεχίζουν τη δράση τους. Έτσι, μετά τον μηδενισμό αντιστρέφονται οι φορές των V1, V2 και τα μέτρα τους αρχίζουν πάλι να μεγαλώνουν, ενώ τα σώματα αρχίζουν να απομακρύνονται από το CM, με ταυτόχρονη άρση της παραμόρφωσής τους.
Στην περίπτωση μάλιστα της τελείως ελαστικής κρούσης, η παραμόρφωση αίρεται πλήρως και οι τελικές τιμές των V1, V2 έχουν ίδια μέτρα με τις αρχικές.
4) Είναι εμφανές επομένως ότι η μέγιστη παραμόρφωση εμφανίζεται τη στιγμή που συμβαίνει V1 = V2 = 0. Η κινητική ενέργεια του συστήματος τη στιγμή αυτή είναι:
Κ = 0 + 0 + ½·(m1 + m2)·υ² = ½·(m1 + m2)·υ²
και από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας κατά τη διάρκεια της ελαστικής κρούσης, έχουμε:
Κπριν = Κ + Umax → Umax = (½·m1·υ1² + ½·m2·υ2²) – ½·(m1 + m2)·υ² (6)
Παρατήρηση:
Παρατηρώντας τη σχέση (4):
Κπριν = ½·m1·V1² + ½·m2·V2² + ½·(m1 + m2)·υ²
βλέπουμε ότι οι δύο πρώτοι όροι εκφράζουν την κινητική ενέργεια των δύο σφαιρών ως προς το CM, ενώ ο τρίτος όρος εκφράζει την κινητική ενέργεια του CM ως προς το σύστημα του δωματίου.
Προφανώς ο τελευταίος όρος δεν μπορεί να αλλάξει αφού υ = σταθ.
Επομένως, η «διαθέσιμη προς μετατροπή σε άλλες μορφές» κινητική ενέργεια σε μια κρούση είναι η κινητική ενέργεια των σωμάτων ως προς το CM:
Κδιαθέσιμη = ½·m1·V1² + ½·m2·V2² = ½·m1·(υ1 – υ)² + ½·m2·(υ2 – υ)²
ή με πράξεις:
Στην πλαστική κρούση η (7) μετατρέπεται όλη σε θερμική.
Στην ελαστική κρούση μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης.
Σε κάθε άλλη κρούση, ένα μέρος της (7) γίνεται θερμική ενέργεια.
Θοδωρή και Διονύση καλημέρα.
Θοδωρή ενδεχομένως να μην είναι απόλυτα ξεκάθαρο και προφανες στην ελάχιστη απόσταση η ταυτόχρονη μεγιστοποίηση της ελαστικης ενεργειας και των δύο σωμάτων. Η αντιστοιχία που λες με το ελατήριο είναι ένα καλό παράδειγμα στον ισχυρισμό σου.
Διονύση για ακόμη μια φορά η ανάλυσή σου είναι φανταστική, δεν έχω λόγια.
Καλημέρα παιδιά.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα διαγράμματα δύναμης:
Αν η κρούση είναι ελαστική.
Έχουμε απόλυτη συμμετρία.
Αν δεν είναι ελαστική, το δεξί εμβαδόν είναι μικρότερο.
Όμως ας μην ασχοληθούμε με τις ωθήσεις.
Ας θεωρήσουμε ότι αρχίζουμε από εδώ.
Η δύναμη που παριστάνει το (όποιο) διάγραμμα είναι η ίδια, λόγω ισχύος του 3ου νόμου.
Προφανώς λοιπόν την ίδια στιγμή to μεγιστοποιούνται οι παραμορφώσεις.
Αυτό ισχύει και σε μη ελαστική κρούση.