by 
Κύριοι άξονες αδράνειας τετραέδρου
Σε παλιότερη ανάρτησή μου [1] είχα δείξει ότι, αν κάνουμε μια πλειονοπολική ανάπτυξη του βαρυτικού δυναμικού ασύμμετρου σώματος, υπάρχει ο μονοπολικός όρος, που εκφράζει το δυναμικό βαρύτητας που θα είχε το σώμα αν όλη η μάζα του ήταν συγκεντρωμένη στο ΚΜ, ο διπολικός όρος που μηδενίζεται αν η αρχή του συστήματος αναφοράς είναι το ΚΜ, ο τετραπολικός όρος που είναι εξαρτάται γραμμικά από τις κύριες ροπές αδράνειας του σώματος, ο οκταπολικός όρος κλπ.
Ο τετραπολικός όρος μηδενίζεται αν οι τρεις κύριες ροπές αδράνειας είναι ίσες. Αυτό, εκτός από τη σφαίρα, συμβαίνει και στον κύβο γιατί σ΄ αυτόν οι τρεις κύριοι άξονες αδράνειας είναι οι άξονες που συνδέουν τα κέντρα των απέναντι εδρών του κύβου. Λόγω συμμετρίας, αυτοί οι τρεις κύριοι άξονες έχουν την ίδια ροπή αδράνειας.
Εκτός όμως από τον κύβο, ένα κανονικό τετράεδρο διαθέτει τρεις κύριους αμοιβαία κάθετους άξονες με την ίδια ροπή αδράνειας. Επομένως και στο κανονικό τετράεδρο έχουμε μηδενισμό του τετραπολικού όρου.
Πρόβλημα: Ποιοι είναι οι τρεις κύριοι άξονες αδράνειας ενός κανονικού τετραέδρου; Γιατί είναι αμοιβαία κάθετοι;
Δηλαδή Νίκο ψάχνουμε για μια ομάδα με 3 άξονες συμμετρίας για το κανονικό τετράεδρο.
Μού ’ρχονται στο μυαλό δύο ομάδες.
Μια ομάδα που περιλαμβάνει τις ευθείες που ξεκινάνε από κάθε μια από τις 4 κορυφές και καταλήγουν στο κέντρο του απέναντι τριγώνου (4 άξονες)
Μια ομάδα που περιλαμβάνει τις ευθείες που ενώνουν τα μέσα των ασύμβατων πλευρών (3 μέλη).
Οπότε, αν δεν κάνω λάθος μιλάμε για τη δεύτερη ομάδα;
Η δεύτερη ομάδα είναι Γιάννη. Απόδειξέ μου, με απλά μέσα, ότι οι τρεις αυτοί άξονες είναι αμοιβαία κάθετοι.
Γεια σου Νίκο.
Δεν μού 'ρχεται κάτι στο μυαλό.
(Προσπάθησα να εκμεταλευτώ τις συμμετρίες, μετά το ότι θα είναι εγγράψιμο σε σφαίρα κλπ αλλά δεν κατέληξα κάπου. Τώρα αν είναι κάτι από στερεομετρία δυστυχώς πολύ λίγα θυμάμαι πλέον!)
Αν δεν το βρεις εσύ Γιάννη, ποιός θα το βρεί;
Υπάρχει μια απλή λύση, αλλά θέλει λίγη δημιουργική φαντασία (κατά το "δημιουργική ασάφεια" του Βαρουφάκη).
Νίκο, έχω μια ιδέα:
Οι τρεις αυτοί άξονες λόγω συμμετρίας πρέπει να τεμνονται στο κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας. Οπότε είναι διάμετροι της σφαίρας και λόγω συμμετρίας στον τρόπο που θα χωρίζουν τη σαφαίρα θα πρέπει να είναι κάθετοι μεταξύ τους (όπως πχ δύο κάθετες στο ισημερινό επίπεδο και μία στη δεύθυνση βορρά-νότου.
Καλησπέρα Νίκο και Γιάννη.
Νίκο μια πολύ πρόχειρη σκέψη.
Οι ευθείες που διέρχονται απο τα μέσα των ορθογώνια ασύμβατων ακμών. Πρέπει βέβαια να αποδειχτεί ότι είναι κάθετες (θά το δοκιμάσω). Λόγω συμμετρίας έχω την πεποίθηση ότι τα γινόμενα αδράνειας μηδενίζονται.
Γιάννη η απόδειξή σου έχει πολύ διαίσθηση. Άλλο το "πρέπει" να είναι κάθετες, κι άλλο το "είναι κάθετες χωρίς καμία αμφιβολία". Βέβαια και η δική μου απόδειξη έχει κάποια διαίσθηση, αλλά πρόκειται για διαισθητικές αποκαλύψεις που αποδεικνύονται εύκολα.
Σπύρο θέλω να μου βρεις την απλούστερη γεωμετρική απόδειξη.
Έστω τα δύο κόκκινα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος τα οποία ενώνουν τα μέσα των ορθογώνια ασύμβατων ακμών. Το τετράπλευρο που ορίζουν τα άκρα των ευθυγράμων τμημάτων είναι προφανώς τετράγωνο αφού κάθε ζευγάρι απέναντι πλευρών είναι παράλληλες και ίσες με το μισό της πλευράς του τετραέδρου.
Είναι προφανώς ρόμβος και όχι τετράγωνο. Βέβαια, μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι και τετράγωνο. Αλλά και ο ρόμβος μας κάνει γιατί οι διαγώνιες του ρόμβου τέμνονται κάθετα. Σωστή, μπράβο!
Υπάρχουν άλλοι δυο τρόποι να λυθεί το πρόβλημα. Ο ένας είναι με αναγωγή στον κύβο.
Έστω ότι έχουμε έναν κύβο με επάνω έδρα το τετράγωνο ΑΒΓΔ και κάτω έδρα το τετράγωνο ΕΖΗΘ. Φέρουμε τις διαγωνίους Δ1 και Δ2 με Δ1=ΑΓ στην πάνω έδρα και Δ2=ΖΘ στην κάτω. Φέρουμε επίσης τις διαγωνίους Δ3=ΑΖ στην αριστερή έδρα, Δ4=ΓΘ στη δεξιά έδρα, Δ5=ΓΖ στην μπροστινή έδρα και Δ6=ΑΘ στην πίσω έδρα.
Οι διαγώνιοι Δ1, Δ3, Δ6 συνδέουν το Α με τα σημεία Γ, Ζ και Θ ενώ οι άλλες τρεις συνδέουν τα Γ, Ζ και Θ μεταξύ τους ώστε να σχηματιστεί ένα τετράεδρο. Επειδή όλες αυτές οι διαγώνιοι έχουν το ίδιο μήκος, το τετράεδρο είναι κανονικό.
Στο τετράεδρο αυτό τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα κέντρα των απέναντι εδρών του κύβου ταυτίζονται με τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι ακμών του. Τα ευθύγραμμα αυτά τμήματα, όπως ξέρουμε, τέμνονται κάθετα στο κέντρο του κύβου. Δηλαδή αποδείξαμε αυτό που θέλαμε.
Ο άλλος τρόπος λύσης είναι με αναλυτική γεωμετρία. Για να δείτε τη λύση σε pdf. πατήστε εδώ.
Σπύρο, αν πρόσεξες, αυτό που απέδειξες για τα κανονικά τετράεδρα, δηλαδή το ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τις απέναντι ακμές ενός κανονικού τετραεδρου τέμνονται στο μέσον τους, είναι γενικό: δεν ισχύει μόνον για κανονικά τετράεδρα. Ομοίως και η απόδειξη με αναλυτική γεωμετρία ισχύει κι αυτή γενικά. Αυτό που ισχύει μόνο για κανονικά τετράεδα και δεν είναι γενικό είναι ότι αυτά τα τρια ευθ. τμήματα τέμνονται κάθετα.