Η παρούσα ανάρτηση αποτελεί μία ακόμα προσπάθεια για την πληρέστερη κατανόηση των ρευστών και των ορίων εφαρμογής της εξίσωσης Bernoulli (πρώτα από όλους για τον γράφοντα).
Στο άρθρο δίνεται αρχικά μία λεπτομερής ανάλυση της ροής ενός ιδανικού ρευστού και αποδεικνύονται οι βασικές εξισώσεις που την διέπουν (ενότητες 1-4). Στην συνέχεια δίνονται μία σειρά αποδείξεων της εξίσωσης του Bernoulli, κάθε μία αναλόγως με τα χαρακτηριστικά της ροής, αποσαφηνίζοντας τα όρια και τις προϋποθέσεις της σωστής εφαρμογής της (ενότητα 5). Τέλος εξετάζεται η μόνιμη ροή νερού σε έναν οριζόντιο σωλήνα ημικυκλικού σχήματος και υπολογίζεται η βαθμίδα πίεσης κατά μήκος μίας οριζόντιας διατομής του (ενότητα 6). Το πρόβλημα έχει απασχολήσει ξανά το Υλικο, τουλάχιστον εδώ Μία οριζόντια τομή σωλήνα και εδώ Προβληματισμός για την εφαρμογή του ν. Bernoulli.
Απολογούμαι για μία ακόμη φορά για το μακροσκελές της ανάρτησης. Μπορεί πάντα κάποιος που ενδιαφέρεται να δεχτεί τις εξισώσεις έτοιμες και να προχωρήσει απ’ ευθείας στις ενότητες 5 και 6.
Το κέιμενο εδώ: Bernoulli
Καλή επάνοδο και καλή αρχή σε όλους.
Καλησπέρα Στάθη
Καταπληκτική μελέτη! Συγχαρητήρια!
Χρειάζομαι βέβαια πρόσθετη μελέτη για να κατανοήσω κάποια σημεία από τα γραφόμενα σου.
Καλησπέρα Στάθη και καλή επάνοδο.
Επάνοδο που συνοδεύεις με μια πολύ σπουδαία μελέτη!!!
Άρχισα να την μελετώ, αλλά στην 4η σελίδα, διαπίστωσα ότι έχουμε άλλες 26!!! και σταμάτησα για μια καλύτερη στιγμή…
Έτσι πρόσθεσα το αρχείο στα προς μελέτη….
Συγχαρητήρια πάντως από τώρα, για την εργασία σου και σε ευχαριστώ που την μοιράστηκες.
Εμμανουήλ και Διονύση ευχαριστώ για το σχόλιό σας.
Διονύση θα μπορούσε αυτή η ανάρτηση να είναι πολύ σύντομη για να απαντηθεί το πρόβλημα της βαθμίδας πίεσης του κυκλικού σωλήνα. Χρειαζόταν μόνον η ενότητα 5β στην σελ. 25 και μετά η ενότητα 6 από την σχέση 6.10 και κάτω (σελ. 29). Αλλά ήθελα να απαντήσω σε δυο επιπλέον απορίες μου.
Δυστσυχώς αν δεν μου βγει μαθηματικά δεν το καταλαβαίνω, εξού και το εύρος. Το αρχείο είναι κατ' ουσίαν οι σημειώσεις μου στα ιδανικά ρευστά.
Στάθη Συγχαρητήρια.
Το συμπέρασμά μου καθώς διέτρεχα την πρώτη ανάγνωση είναι
ότι απαιτείται προσεκτική μελέτη και σε μερικά σημεία με μολύβι χαρτί και κάποιο Handbook ίσως για βοήθειες.
Αν όμως χρειάζεται "κότσια" η μελέτη του αυτού του πονήματος, πόσο μάλλον η συγγραφή του.
Και πάλι μπράβο και ευχαριστούμε για την προσφορά.
Στάθη καλησπέρα.
Η δουλειά που έχεις κάνει είναι φοβερη. Θα συμφωνήσω με τους συναδέλφους ότι θέλει δουλειά και προσπαθεια ακόμη και να διαβαστεί. Ακόμη δεν την έχω ξεκινήσει αλλά πέρασα στα γρήγορα τις ενότητες.
Η εργασια σου στον τρόπο παρουσίασης και δομής μου θυμισε και του αείμνηστου Βαγγέλη δύο εργασιες που είχε κάνει στα ρευστα στηριζόμενος κυριως στο βιβλίο του Landau.
Δημήτρη και Χρήστο, ευχαριστώ για τα καλά σας σχόλια.
Χρήστο δυστυχώς δεν πρόλαβα τον Βαγγέλη στο Υλικό, αλλά έχω εκτιμήσει πολύ τα γραπτά του. Θα αναζητήσω τις σχετικές αναρτήσεις του.
Γεια σου Στάθη.
Η δουλειά άνετα στέκεται σαν πανεπιστημιακές σημειώσεις στην μηχανική των ρευστών. Μπράβο.
Σίγουρα θα την απολαύσω σιγά-σιγά.
Καλημέρα Άρη και σε ευχαριστώ.
Χαίρομαι που σου άρεσε. Για να είναι ολοκληρωμένες οι σημειώσεις βέβαια, χρειάζεται και το ιξώδες…
Στάθη μας δίνεις ακόμα μία καταπληκτική και υψηλού επιπέδου εργασία. Θα τη μελετήσω και εγώ με τη σειρά μου αφού θέλει σίγουρα μεγάλη προσοχή και πολύ χρόνο
Καλησπέρα Τάσο,
ευχαριστώ, να 'σαι καλά.
Στάθη Συγχαρητήρια για την εργασία σου !!
Δύο δευτερεύουσας σημασίας παρατηρήσεις:
1 Κάτω από την (1.8) χρειάζεται, νομίζω, μια πιο αναλυτική εξήγηση. Υπάρχει το σύμβολο dv/dt στα δύο μέλη αλλά έχουν διαφορετικό νόημα.
2 Οι πέντε εξισώσεις (5.2), (5.3) και (5.4) έχουν ως αγνώστους τις έξι ποσότητες vx, vy, vz, ε, ρ και p. Εννοείται ότι πρέπει να δίνεται μια ακόμα σχέση, η καταστατική εξίσωση.
Πολύ καλό το παράδειγμα με την κυκλική ροή !
Και πάλι συγχαρητήρια!!
Καλημέρα Δημήτρη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό, ειδικά για τις δύο παρατηρήσεις σου.
Και στις δύο έχεις δίκιο και έκανα τις απαραίτητες αλλαγές στο κείμενο.
Νά 'σαι καλά.
Στάθη και Δημήτρη γεια σας.
Με βάση την παρατήρηση του Δημήτρη (που με πρόλαβε), στην πολύ καλή δουλειά του Στάθη, να δούμε λίγο ένα από τα βασικά προβλήματα που έχει κανείς να αντιμετωπίσει με την μηχανική των ρευστών, τουλάχιστον σε θεωρητικό επίπεδο.
Συνέχεια εδώ
Καλημέρα Άρη.
Συμφωνώ γενικά με τις παρατηρήσεις σου όσον αφορά το ιξώδες, με μία μικρή διόρθωση. Στην σχέση [1] έχεις γράψει τρεις φορές την ίδια εξίσωση. Στον δικό σου συμβολισμό θεωρώ ότι ήθελες να γράψεις:
Συνεπώς στην γενική περίπτωση όπου το ιξώδες λαμβάνεται υπ' όψιν, η ποσότητα p είναι ένας τανυστής με εννέα στοιχεία pij και όχι έξι. Στα νευτώνεια όμως ρευστά, οι μη διαγώνιες συνιστώσες του τανυστή εξαρτώνται αποκλειστικά από τις συνιστώσες της ταχύτητας και οι διαγώνιες από την στατική πίεση και την ταχύτητα. Άρα οι επιπλέον άγνωστοι λόγω ιξώδους περιορίζονται σε έναν, την στατική πίεση.
Συνολικά λοιπόν οι άγνωστοι είνια επτά: τρεις άγνωστοι οι συνιστώσες u, v, ω του διανυσματικού πεδίου της ταχύτητας, και τέσσερις τα βαθμωτά πεδία της πυκνότητας ρ, της στατικής πίεσης p, της εσωτερικής ενέργειας ε και της απόλυτης θερμοκρασίας Τ.
Οι δε εξισώσεις πέντε: οι τρεις παραπάνω, συν την εξίσωση της συνέχειας, συν την εξίσωση της ενέργειας. Χρειαζόμαστε λοιπόν δύο επιπλέον εξισώσεις μεταξύ των καταστατικών μεγεθών ε, p, ρ και Τ. Για παράδειγμα στα ιδανικά αέρια τις p = (ρ/Μ)RT και ε = nCvT.