Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους….

Ισορροπία υλικού σημείου και θέση ισορροπίας.

Με αφορμή προηγούμενη συζήτηση «Μια ερώτηση, πάνω στη φθίνουσα ταλάντωση» ας δούμε λίγο πιο αναλυτικά τα εξής ερωτήματα:
1) Τι σημαίνει ότι ένα σώμα ισορροπεί;
Ελπίζω όλοι να έχουμε ξεπεράσει τον Αριστοτελικό εαυτόν μας και να μην μπερδεύουμε την ισορροπία με την ακινησία.
Είναι λοιπόν εκείνη η κατάσταση όπου η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι μηδενική (ΣF=0).
Εδώ όμως ανακύπτει το εξής δευτερεύον ερώτημα. Αυτή η ισορροπία εμπεριέχει την εξάρτηση από το χρόνο ναι ή όχι. Δηλαδή θα πρέπει να είναι μια κατάσταση που έχει διάρκεια η ισορροπία ή μπορεί να είναι και στιγμιαία; Είναι αποτέλεσμα του πρώτου νόμου του Νεύτωνα και μόνο ή μπορεί να έχει και στιγμιαία διάσταση, με βάση το δεύτερο νόμο; Και αν συμβαίνει έτσι, τότε πώς θα πρέπει να ονομάζουμε τη στιγμιαία εκείνη κατάσταση όπου ΣF=0;;;
2) Και τι εννοούμε όταν λέμε θέση ισορροπίας ενός σώματος;
Είναι εκείνη η θέση όπου η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν;
Και αν ένα σώμα κινείται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς με σταθερή ταχύτητα, που σημαίνει ότι ισορροπεί, ποια είναι η θέση ισορροπίας του; Κάθε θέση από την οποία περνά; Και ποια η αξία χρήσης του όρου αυτού στην περίπτωση αυτή; Τι μας δίνει;
Όταν μιλάμε για ένα αρχικά ακίνητο σώμα, οι όροι ασταθής, ευσταθής ή αδιάφορη ισορροπία έχουν συγκεκριμένο νόημα, όπως αυτό που περιγράφεται από το παρακάτω σχήμα.

Στο πάνω σχήμα φαίνονται οι τρεις καταστάσεις για ένα στερεό σώμα. Στο κάτω δείχνεται η κατάσταση για ένα σώμα σε ένα πεδίο δυναμικού. Έτσι μιλάμε για ευσταθεί ισορροπία αναφερόμενοι σε μια κατάσταση που το σώμα ηρεμεί αρχικά και αν το εκτρέψουμε λίγο από τη θέση ισορροπίας του, αυτό τείνει να επανέλθει σε αυτή. Αντίστοιχα λέμε ασταθή ισορροπία την ισορροπία εκείνη που αν, το αρχικά ακίνητο σώμα, αν εκτραπεί λίγο από την θέση αυτή, τότε αυτό τείνει να απομακρυνθεί ακόμη περισσότερο. Τέλος στην αδιάφορη ισορροπία, αν εκτραπεί λίγο και αφεθεί στη νέα θέση, θα ισορροπήσει και πάλι. Όλα αυτά βέβαια με βάση ότι το σώμα είναι αρχικά ακίνητο. Και αν δεν συμβαίνει αυτό;
Αν δηλαδή το σώμα έχοντας ταχύτητα, περνά από μια τέτοια θέση, οι παραπάνω όροι έχουν νόημα και πρέπει να χρησιμοποιούνται;
Όταν μιλάμε για θέση ισορροπίας με άλλα λόγια, θα πρέπει να εννοούμε μια θέση που υποχρεωτικά εκεί το σώμα πέρασε ένα κάποιο χρονικό διάστημα ΑΚΙΝΗΤΟ; Αν όχι η θέση αυτή «έχασε» την αξία της;
Για παράδειγμα ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. Τι νόημα έχουν οι λέξεις θέση ισορροπίας; Το σώμα περνά από μια θέση (λέμε η θέση x=0) αλλά ποιος μας λέει ότι εκεί ήταν κάποτε; Μπορεί να μην το βρούμε ποτέ εκεί ακίνητο και πάντως όχι για όσο χρόνο διαρκεί η ταλάντωσή του.
Αλλά και τι σημαίνει ότι το σώμα ήταν κάποτε εκεί και ηρεμεί και αν το εκτρέψουμε λίγο; Πόσο λίγο; Στο παρακάτω σχήμα το σώμα ηρεμεί στη θέση Α. Είναι αυτή θέση ισορροπίας του; Ναι είναι. Είναι ευσταθής; Ναι είναι, αφού αν το πάμε στη θέση Β και το αφήσουμε θα κινηθεί ξανά προς το Α.

Και αν το εκτρέψουμε στη θέση Γ; Ή αν το πάμε στη θέση Δ;
Ας ανακεφαλαιώσουμε:
Ένα σώμα εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα από τη θέση Α και κινείται χωρίς τριβές κατά μήκος του παρακάτω δρόμου:

Από το Α μέχρι το Β ισορροπεί; Έχουμε θέσεις ισορροπίας;
Στις θέσεις Γ και Δ ισορροπεί; Είναι αυτές θέσεις ισορροπίας;

Ετικέτες: Ισορροπία

Προβολές: 608

Συνημμένα:

υλικού σημείου και θέση ισορροπίας.pdf, 51 KB

Απαντήσεις σε αυτή τη συζήτηση

Permalink Απάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 7 Σεπτέμβριος 2010 στις 21:24

Φίλε Γιώργο.
Θέλοντας να μελετήσουμε την κίνηση ενός σώματος πρέπει να εφαρμόσουμε το 2ο Νόμο του Νεύτωνα.

Στην περίπτωση τώρα που ένα σώμα κατέρχεται κατά μήκος ενός επιπέδου, η παραπάνω εξίσωση έχει δυο αγνώστους και τη συνισταμένη δύναμη και την επιτάχυνση.
Μπορούμε να αυξήσουμε όμως τις εξισώσεις μας, παίρνοντας δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες x και y και μετατρέποντας την παραπάνω εξίσωση στις δυο παρακάτω αλγεβρικές εξισώσεις:

Ναι αλλά ποιοι θα είναι οι άξονες;
Επιλέγουμε ο ένας να έχει τη διεύθυνση της κίνησης, ας τον πούμε άξονα x, αλλά τότε προφανώς το σώμα δεν κινείται στον κάθετο προς αυτόν άξονα y. Συνεπώς στον άξονα y, αφού το σώμα ηρεμεί η ΣFy=0, οπότε πλέον από την αντίστοιχη εξίσωση για τον άξονα x, βρίσκουμε τελικά την επιτάχυνση του σώματος.

Γιώργος Παπαδόπουλος είπε:

Αφού εκφράσω ότι θεωρώ τον εαυτό μου προνομιούχο που είμαι αναγνώστης μιας τέτοιας ιστοσελίδας θα ήθελα να ρωτήσω: Κατά πόσο είναι σωστό για παράδειγμα στο πλάγιο επίπεδο να λέμε στο μάθημα ότι μελετάμε τις δυνάμεις στον x άξονα και υπολογίζουμε με ακρίβεια την επιτάχυνση και επομένως την κίνηση ενώ στον y άξονα χρειαζόμαστε να παρατηρήσουμε το σώμα ότι δεν κινείται και άρα έχει ταχύτητα μηδέν (και άρα ΣF=0)

Permalink Απάντηση από τον/την Γιώργος Παπαδόπουλος στις 8 Σεπτέμβριος 2010 στις 19:18

Αγαπητέ Διονύση ευχαριστώ θερμά για την απάντηση. Πάλι όμως έτσι πρέπει να υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε εκ των προτέρων για κάποιον άγνωστο λόγο ότι η κίνηση είναι πάνω στον χ άξονα. Αντίθετα θεωρώ ότι αφού έχουμε τις αρχικές συνθήκες και τις δυνάμεις είμαστε υποχρεωμένοι να προβλέψουμε εμείς την κίνηση.
ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Τελικά όσες δυνάμεις και να υπάρχουν ουσιαστικά έχω μόνο μία στο χ και μία στον ψ. Στην περίπτωση που έχω οριζόντιο επίπεδο και δύναμη με γωνία ως προς τον ορίζοντα θα είναι λάθος να θεωρώ δεδομένη πού είναι η κίνηση αλλά απλά βλέπω τους άξονες μόνο στον χώρο και αυτό μου φτάνει για να συμπεραίνω πώς θα κινηθεί το σώμα ( είτε θα υπολογίσω ότι το σώμα θα κινηθεί πάνω στο οριζόντιο επίπεδο είτε θα υπολογίσω ότι θα να κινηθεί πλάγια προς τα πάνω)
ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Για το πλάγιο επίπεδο πάλι πιστεύω ότι δεν πρέπει να ξέρω εκ των προτέρων προς τα πού θα κινηθεί το σώμα: Ας το πω λίγο διαφορετικά για το πλάγιο επίπεδο χωρίς χ , ψ άξονες. Κανονικά δεν υπάρχει επίπεδο. Ξεκινώντας υπάρχουν απλά μόνο δύο δυνάμεις. Το Βάρος και η κάθετη Ν . Εφαρμόζοντας τον κανόνα του παραλληλογράμμου απλά για δύο δυνάμεις είναι ίσως περίεργο να λέω ότι το σώμα ξέρω ότι θα κινηθεί κατά σύμπτωση πάνω σε μια συγκεκριμένη διεύθυνση αφού ακόμα δεν έχω υπολογίσει την συνισταμένη από το παραλληλόγραμμο δηλαδή να ξέρω από σύμπτωση ότι βγαίνει πάνω σε αυτό που λέμε χ αξονα.
Εχω την εντύπωση ότι μάλλον πρέπει πρώτα να αναφερόμαστε για την προσαρμοστικότητα του Ν να μεταβάλλεται ώστε ακριβώς να μηδενίζει τις υπόλοιπες δυνάμεις στον y άξονα και να έχω αυτό καταρχήν ως δεδομένο…

Permalink Απάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 8 Σεπτέμβριος 2010 στις 21:06

Φίλε Γιώργο.
Η κάθετη αντίδραση του επιπέδου, δεν είναι μια δύναμη με μια καθορισμένη τιμή, ούτε είναι μια δύναμη που θα επιταχύνει ένα σώμα (αναφέρομαι σε ακίνητο οριζόντιο και κεκλιμένο επίπεδο και όχι αν αυτή ασκείται από ένα άλλο επιταχυνόμενο σώμα).
Είναι αυτό που λέει το όνομά της. Αντίδραση. Δηλαδή; Δηλαδή επειδή το σώμα ασκεί δύναμη στην επιφάνεια, δέχεται την αντίδρασή της. Πολλές φορές άλλωστε την αναφέρουμε και σαν δύναμη στήριξης.
Ερχόμαστε τώρα στο οριζόντιο επίπεδο. Αν πάνω στο σώμα ασκείται μια οριζόντια δύναμη (δύναμη F, έστω από εμάς), υπάρχει αμφιβολία ότι το σώμα θα επιταχυνθεί οριζόντια; Νομίζω όχι.
Και αν η δύναμη είναι πλάγια. Προφανώς εδώ έχουμε δυο ενδεχόμενα. Είτε το σώμα να κινηθεί οριζόντια, συνεπώς θα υπάρχει Ν και η συνισταμένη στην κατακόρυφη διεύθυνση θα είναι μηδενική, είτε το σώμα θα εγκαταλείψει το επίπεδο, αλλά τότε δεν θα ασκείται πλέον κάθετη αντίδραση. Κριτήριο για το τι ακριβώς θα συμβεί είναι η σύγκριση της κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης F με το βάρος του σώματος. Αν η συνιστώσα αυτή είναι μικρότερη του βάρους, τότε το σώμα πιέζει την επιφάνεια, συνεπώς δέχεται κάθετη αντίδραση ή με άλλα λόγια το σώμα θα κινηθεί οριζόντια δεχόμενο την αντίδραση του επιπέδου. Σε αντίθετη περίπτωση θα εγκαταλείψει το επίπεδο, οπότε δεν έχει νόημα να μιλάμε για αντίδραση του επιπέδου.
Ερχόμαστε τώρα σε ένα λείο κεκλιμένο επίπεδο, πάνω στο οποίο αφήνουμε ελεύθερο ένα σώμα. Θέλεις να πεις ότι θα πρέπει πρώτα να σχηματίσεις το παραλληλόγραμμο για να δεις τι θα συμβεί;
Μα δεν την ξέρεις την κάθετη αντίδραση!
Αλλά υπάρχει αμφιβολία ότι το σώμα θα επιταχυνθεί κατά μήκος του επιπέδου; Δηλαδή τι άλλο θα μπορούσε να κάνει; Οπότε αφού ξέρουμε το τι θα συμβεί, επιλέγουμε ΕΜΕΙΣ να πάρουμε ένα σύστημα αξόνων, όπου ο ένας θα έχει τη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου και ο άλλος θα είναι κάθετος σε αυτό. Αποτέλεσμα, στη διεύθυνση την κάθετη στο επίπεδο, το σώμα ισορροπεί, οπότε από εκεί θα προκύψει και η τιμή της Ν. Αντίθετα στην διεύθυνση την παράλληλη στο επίπεδο, ο 2ος νόμος θα μας δώσει την επιτάχυνση.