Υλικό Φυσικής - Χημείας.

Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους….

Θα ήθελα (απευθυνόμενη σε όλα τα μέλη του foroum) να μου εξηγήσει κάποιος αν ισχύει ότι το σύνολο R των πραγματικών αριθμών και το διάστημα (-1,1) έχουν την ίδια ισχύ.ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ!

Προβολές: 706

Απαντήσεις σε αυτή τη συζήτηση

Ναι έχουν την ίδια ισχύ όπως και με κάθε άλλο διάστημα (α,β) και θα μπορούσε να πει κανείς πως μια γεωμετρική προσεγγιση αυτού είναι πως καθε ευθύγραμμο τμήμα χωρίς τα άκρα του έχει το ίδιο πλήθος σημείων με την ευθεία ΑΒ... όσον αφορά απόδειξη θα χρειαστείς μια οποιαδήποτε αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση...

Ναι ομως συμφωνα με εναν ορισμο οταν λεμε οτι δυο συνολα εχουν την ιδια ισχυ εννοουμε οτι εχουν τον ιδιο πληθικο αριθμο επομενως και εδω το R εχει τον ιδιο πληθικο αριθμο με το (-1,1)..καθενα απο αυτα τα δυο ομως συνολα εχει απειρο πληθος στοιχειων οποτε πως μπορουμε να συγκρινουμε τα απειρα??

Λοιπόν δυο σύνολα Α,Β έχουν την ίδια ισχύ ή είναι ισοδύναμα όταν και μόνο όταν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Σε πεπερασμένα σύνολα μόνο υπάρχει η ταύτιση με τον θετικό ακέραιο ν για τον οποιο το σύνολο είναι ισοδύναμο με το {1,2,3,...,ν}...

Μία απλοϊκή προσεγγιση θα ήταν: δεν μπορώ να τα μετρήσω... αλλά μπορώ να τα αντιστοιχίσω...

Ντόρα, μου θύμισες μια παλιά Ιστορία. Δευτεροετής, στο Φυσικό Αθηνών, κάνουμε μιγαδικές συναρτήσεις με τον κ. Ζερβό. Δευτέρα βράδυ 6-9. Τρεις ώρες.

Μας αποδείκνυε ότι μεταξύ δύο σημείων, υπάρχει πάντα ένα τρίτο!!!

Συμπέρασμα; Πόσα σημεία περιλαμβάνονται μεταξύ του  (-1,1); Μα, όσα και πάνω σε μια ευθεία.

Δηλαδή άπειρα!!!

Πάνω στην ίδια λογική ποιο σύνολο είναι πολυπληθέστερο των ρητών ή των άρρητων?

Η ίδια απάντηση Ντόρα!!!

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος; Οι άπειροι ρητοί ή οι άπειροι άρρητοι;

Για να ειμαι ειλικρινης διαβασα σε ενα βιβλιο ενος καθηγητη οτι το συνολο των αρρητων ειναι πολυπληθεστερο απο αυτο των ρητων αλλα και παλι δυσκολευομαι να καταλαβω πως γινεται να συγκρινουμε δυο απειρα~!(ξερω σας κουραζω απλα απευθυνθηκα και εδω γιατι στο πανεπιστημιο δεν εβγαλα ακρη!)

Να δώσω ένα παιγνιώδες παράδειγμα:

Ετεροχρονισμένη παρέμβαση

Θεωρούμε την συνάρτηση f : (-1,1) -> R με

f(x)=tan(πx/2)

H f είναι 1-1 και επί του R.

Άρα τα σύνολα (1-1) και R έχουν την ίδια ισχύ (cardinality)

Κι άλλη ετεροχρονισμένη απάντηση!

Όπως έδειξε ο Cantor με τη διαγώνια απόδειξή του το πλήθος των αριθμών σε ένα διάστημα (π.χ. 0-1) είναι μή-αριθμήσιμο. Τον πληθάριθμο αυτού του συνόλου τον ονόμασε aleph-1 (άλεφ-1), ενώ τον πληθάριθμο ενός αριθμήσιμου άπειρου συνόλου aleph-0. Όπως έδειξε και ο προηγούμενος συνάδερφος τον ίδιο πληθάριθμο έχει και όλο το IR, με αποτέλεσμα να είναι ισοδύναμο με ένα οποιοδήποτε υποσύνολό του (ανοιχτό). Αυτό έχει πολύ ενδιαφέρουσες τοπολογικές προεκτάσεις για το σύνολο IR, που τις μελετάνε πολλά βιβλία μαθηματικής ανάλυσης. Μία απλή συνέπεια είναι οτι για κανένα πραγματικό αριθμό x δεν υπάρχει επόμενος ή προηγούμενος...

Και βέβαια μπορούμε να συγκρίνουμε άπειρα. Άλλο το aleph-0 άλλο το aleph-1. Και άλλο το άλεφ-2, άλεφ-3 κ.ο.κ. (και αυτά υπάρχουν γιατί το πλήθος των υποσυνόλων ενός απειροσυνόλου είναι "μεγαλύτερο" από το πλήθος του απειροσυνόλου!) Αυτό που δεν κατάφερε να αποδείξει ο Cantor και μένει ανοιχτό μέχρι σήμερα είναι η υπόθεση του συνεχούς: δεν υπάρχει σύνολο με πληθάριθμο μεταξύ άλεφ-0 και άλεφ-1, ή ισοδύναμα 2^αλεφ-0=αλεφ-1 Όποιος έχει χρόνο το καλοκαίρι ας ασχοληθεί με τη λύση του!...

Όσο για τους ρητούς αυτοί είναι όντως αριθμήσιμοι! Επειδή το σύνολο IR είναι μή-αριθμήσιμο και δημιουργείται από τους ρητούς και τους άρρητους έπεται ότι το σύνολο των άρρητων είναι μή-αριθμήσιμο άρα πολυπληθέστερο του συνόλου των ρητών (άλεφ-1 αντί άλεφ-0) 

Το θέμα έχει πραγματικά απίστευτο ενδιαφέρον! Σας παραπέμπω εδώ και στο διήγημα του J.L.Borges "Το άλεφ"

RSS

Φόρουμ συζητήσεων

Θέμα Πανελληνίων 2009 (ξεφτίλα) 4 απαντήσεις 

Ξεκίνησε από τον/την Παναγιωτης Γκρεευ. Τελευταία απάντηση από τον/την Παναγιωτης Γκρεευ 13 Οκτ.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΑ 2 1 απάντηση 

Ξεκίνησε από τον/την ΙΩΑΝΝΑ ΤΣΑΚΝΑΚΗ. Τελευταία απάντηση από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης 2 Φεβ.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΑ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟ 2 απαντήσεις 

Ξεκίνησε από τον/την ΙΩΑΝΝΑ ΤΣΑΚΝΑΚΗ. Τελευταία απάντηση από τον/την ΙΩΑΝΝΑ ΤΣΑΚΝΑΚΗ 1 Φεβ.

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΓΙΑ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΕΙ

Ξεκίνησε από τον/την ΙΩΑΝΝΑ ΤΣΑΚΝΑΚΗ 29 Ιαν.

ΠΙΝΑΚΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΦΟΙΤΗΤΕΣ

Ξεκίνησε από τον/την ΙΩΑΝΝΑ ΤΣΑΚΝΑΚΗ 26 Ιαν.

Κορυφαία μήνα

1. Εξεταζόμενο μαθημα η Πληροφορικη!

Δημοσιεύθηκε από το χρήστη Δημητρης Παπαγεωργιου στις 5 Σεπτέμβριος 2014

3. Έλεος.....

Δημοσιεύθηκε από το χρήστη Γιώργος Κλήμης στις 3 Οκτώβριος 2014

4. Βολή άνευ τίτλου

Προστέθηκε από το χρήστη Παπαδάκης Παντελεήμων στις 27 Σεπτέμβριος 2014

© 2014   Created by Διονύσης Μάργαρης.   Με την υποστήριξη του

Διακριτικά  |  Αναφορά προβλήματος  |  Όροι χρήσης