Σελίδα του/της Κορφιάτης Ευάγγελος

Καλησπέρα συνάδελφοι. Είμαι καινούργιος στο δίκτυο.

Συγχωρήστε μου πιθανά λάθη παρουσίασης, τα οποία οφείλονται στο γεγονός ότι δεν είμαι εξοικειωμένος με το περιβάλλον.

Πραγματικά είναι ενδιαφέρουσα η συζήτηση που γίνεται όχι μόνο για τα θέματα εξετάσεων αλλά συνολικά.

Θα ήθελα κατ’ αρχάς να τοποθετηθώ επί του θέματος Δ1.

Οι παρατηρήσεις ότι στην εκφώνηση δεν διευκρινίζεται αν το ΒΟ΄ είναι νήμα ή αβαρής ράβδος είναι και χρήσιμη και κρίσιμη.

Αυτό που ζητείται από τους μαθητές είναι:

«Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση».

Σε κάθε αποδεικτική πρόταση υπάρχουν υποθέσεις και συμπεράσματα.

Στο θέμα Δ1 ποια είναι υπόθεση και ποιο είναι το συμπέρασμα;

Το «ισορροπεί» ή το «οριζόντια θέση»;

Παρά το γεγονός ότι η απάντηση είναι προφανής ας διερευνήσουμε και τις δύο εκδοχές.

Εκδοχή 1: Υπόθεση το «ισορροπεί» και συμπέρασμα το «οριζόντια θέση».

Αναλυτικότερα:

«Αν το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας τότε η ράβδος βρίσκεται σε οριζόντια θέση.»

Αν το ΒΟ΄ είναι νήμα τότε όπως ήδη έχει παρατηρηθεί η πρόταση αυτή είναι λάθος.

Η ισορροπία του συστήματος είναι αδιάφορη. Αν το σύστημα ισορροπεί τότε η ράβδος μπορεί να σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία με την κατακόρυφο.

Αν το ΒΟ΄είναι ράβδος τότε, όπως σωστά παρατηρήθηκε από τον Δ. Μητρόπουλο, η υπόθεση ότι το σύστημα ισορροπεί οδηγεί αναπόδραστα στο συμπέρασμα ότι η ράβδος είναι οριζόντια.

Υπό αυτές τις συνθήκες το θέμα είναι εντός ύλης και διαφοροποιεί το ζητούμενο στα ερωτήματα Δ1 και Δ4.

Εκδοχή 2: Υπόθεση το «οριζόντια θέση» και συμπέρασμα το «ισορροπεί».

Αναλυτικότερα:

Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο με την ράβδο σε οριζόντια θέση και χωρίς να κινείται κανένα από τα μέρη του τότε ισορροπεί.

Όπως θα φανεί παρακάτω στοιχειώδης σεβασμός στο «αποδεικνύω ότι» καθιστά το θέμα εκτός ύλης.

Ας ξεφύγουμε λίγο από το θέμα των εξετάσεων και ας μελετήσουμε ένα παρεμφερές πρόβλημα που αφορά ένα υλικό σημείο.

Το άνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100N/m είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά Δl=0,1m και στερεώνουμε στο κάτω άκρο του ένα σώμα μάζας m=1Kg και την στιγμή t₀=0 το αφήνουμε ελεύθερο . Να αποδείξετε ότι το σώμα θα ισορροπήσει. Δίνεται g=10m/s².

Λύση

Προφανώς επειδή θέλω να αναφερθώ σε ποιο γενικές καταστάσεις δεν θα κάνω χρήση της θεωρίας της α.α.τ.

Θεωρούμε ένα κατακόρυφο άξονα με θετικό ημιάξονα ομόρροπο της επιτάχυνσης της βαρύτητας και αρχή το σημείο που προσδέθηκε το σώμα.

Είναι προφανές ότι την στιγμή t=0 ισχύει ότι ΣF=0.

Το αληθές συμπέρασμα ότι το σώμα δεν θα κινηθεί, δεν είναι αποτέλεσμα του αξιώματος της αδράνειας.

Το δεδομένο είναι ότι η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν μια χρονική στιγμή και όχι όλες τις χρονικές στιγμές. Ο συλλογισμός

"ΣF=0 άρα a=0 άρα υ΄(t)=0 άρα υ=σταθερό.

Την στιγμή t=0 υ=0 άρα σταθερό=0"

είναι προφανώς λανθασμένος.

Η σωστή απάντηση στο πρόβλημα που έθεσα είναι η εξής:

Η διαφορική εξίσωση του προβλήματος προκύπτει απλά ως εξής :

Σε μια τυχαία θέση y ισχύει ότι ΣF=ma άρα ΣF(y(t))=mυ΄(t).

Θέτοντας f₁(t)=y(t)  και f₂(t)=υ(t) η 2^ης τάξης διαφορική εξίσωση παραπάνω μετατρέπεται στο εξής σύστημα διαφορικών εξισώσεων 1^ης τάξης:  

με αρχικές συνθήκες f₁(0)=0 και f₂(0)=0.

Από την θεωρία των διαφορικών εξισώσεων γνωρίζουμε ότι αν το παραπάνω σύστημα έχει λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, τότε η λύση αυτή είναι μοναδική.

Αντικαθιστούμε στο σύστημα τις συναρτήσεις f₁(t)=0 και f₂(t)=0 και διαπιστώνουμε ότι ικανοποιούν τόσο την Δ.Ε. όσο και τις αρχικές συνθήκες. Επομένως η μοναδική λύση της Δ.Ε. είναι η y(t)=0. Άρα το σώμα θα παραμείνει ακίνητο.

Αντιλαμβάνεστε ότι στο θέμα Δ1 η απόδειξη είναι σαφώς "πιό σκληρή" και σίγουρα εκτός ύλης.

Με την ίδια λογική μπορούμε να αποδείξουμε ότι  κάποια θέση είναι θέση ισορροπίας για ένα στερεό σώμα το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα.

Αν στη θέση αυτή η συνισταμένη των εξωτερικών ροπών είναι μηδέν και η αρχική γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι μηδέν τότε το στερεό θα παραμείνει ακίνητο.

Επιφυλάσσομαι για μια αναλυτική μελέτη του θέματος.