Εξίσωση κύματος

Με αφορμή την ανάρτηση Ένα κύμα, χωρίς … τέλος. θα ήθελα να ακούσω τις απόψεις σας πάνω στο θέμα.
Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά και έχει εξίσωση:

y=Aημ2π(t/T-x/λ)

1) Αυτό σημαίνει ότι το κύμα έχει φτάσει στην θέση χ=0 για t-0;
2) Μπορεί τότε ένα σημείο να έχει αρνητική φάση;
Πώς πρέπει να διατυπώνεται μια άσκηση, ώστε να μην έχουμε τέτοιες “εμπλοκές”;

(Visited 73 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
1 Σχόλιο
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Απαντήσεις σε αυτή τη συζήτηση

1Απάντηση από τον/την George Panagiotakopoulos στις 9 Νοέμβριος 2009 στις 19:48

Διονύση, υπάρχει μόνο μία ειδική περίπτωση που δίνοντας την εξίσωση αυτή το κύμα δεν έχει φτάσει την t = 0 στο Ο(x = 0). Αν υποθέσουμε ότι τα υλικά σημεία ξεκινούν όλα προς τα κάτω, έχουν δηλαδή αρχική φάση π rad και τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα απέχει από το σημείο Ο(x = 0) απόσταση λ/2, χωρίς να έχει φτάσει σε αυτό, τότε η εξίσωση του κύματος είναι η γνωστή μας (y = Aημ2π(t/T – x/λ)). Συμπερασματικά, αν θέλουμε να ακριβολογούμε, πρέπει μαζί με την εξίσωση να λέμε προς τα που ξεκινούν να ταλαντώνονται τα υλικά σημεία (προς τα πάνω ή προς τα κάτω). Αν ξεκινούν προς τα πάνω σημαίνει ότι έχουμε τη γνωστή λογική (την t = 0 το κύμα έχει φτάσει στο Ο(x = 0)και δεν έχει περάσει πέρα από αυτό), αν ξεκινούν προς τα κάτω, τότε η γνωστή μας εξίσωση δε σημαίνει ότι την t = 0 είναι και x = 0.

Η ταπεινή μου γνώμη όμως είναι ότι για αυτή την εξαίρεση δε χρειάζεται να πούμε τίποτα στους μαθητές μας, πολύ περισσότερο να τους ταλαιπωρήσουμε με αρχικές φάσεις αυτού του είδους. Ας ξέρουν οι μαθητές μας δηλαδή ότι αν πάρουμε την εξίσωση y = Aημ2π(t/T – x/λ), αυτή θα σημαίνει ότι την t = 0 το κύμα έχει φτάσει στο Ο(x = 0)και δεν έχει περάσει από αυτό. Θεωρώ επίσης εξεζητημένες τις περιπτώσεις με αρχική φάση. Μπορούμε να κάνουμε μία αναφορά και να κάνουμε κανένα στιγμιότυπο, αλλά μέχρι εκεί. Επίσης καλές, είναι και οι ασκήσεις με τα στιγμιότυπα που τα υλικά σημεία ξεκινούν προς τα κάτω. Αυτά τα στιγμιότυπα τα αναφέρω πάντοτε στους μαθητές μου.

1Απάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 9 Νοέμβριος 2009 στις 20:03

Για κύμα του οποίου η πηγή ξεκινά τη ταλάντωση προς τα πάνω:

Α. Εάν γνωρίζουμε τη συντεταγμένη Χο του σημείου το οποίο ξεκινά ταλάντωση y = Α∙ημωt τη χρονική στιγμή t=0s:

y=Aημ2π(t/T – Χ/λ + Χo/λ) για κύμα προς τα δεξιά
y=Aημ2π(t/T + Χ/λ – Χo/λ) για κύμα προς τα αριστερά

Β. Εάν γνωρίζουμε τη φάση Φο της αρχής των συντεταγμένων Χ=0 τη χρονική στιγμή t=0s:

y=Aημ2π(t/T – Χ/λ + Φo) για κύμα προς τα δεξιά
y=Aημ2π(t/T + Χ/λ + Φo) για κύμα προς τα αριστερά

Το Φο μπορεί να είναι οποιαδήποτε θετική γωνία αν το κύμα έχει διαδοθεί πέρα από την αρχή των συντεταγμένων x=0m τη χρονική στιγμή t=0.

Το Φο μπορεί να είναι οποιαδήποτε αρνητική γωνία αν το κύμα δεν έχει φτάσει στην αρχή των συντεταγμένων Χ=0m τη χρονική στιγμή t=0.

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να αναλύσουμε στα παιδιά τη περίπτωση κύματος του οποίου η πηγή ξεκινά τη ταλάντωση προς τα κάτω, μια αναφορά αρκεί.

Για κύμα του οποίου η πηγή ξεκινά τη ταλάντωση προς τα πάνω, αρνητική “φάση” σημαίνει ότι το υλικό σημείο δεν έχει αρχίσει ακόμα την ταλάντωση.

Μέχρι να διορθώσουν το βιβλίο θα υπάρχει κίνδυνος “εμπλοκής”!!!

Διονύση εσύ ως πιο έμπειρος πρέπει να απαντήσεις στο πως “πρέπει να διατυπώνεται μια άσκηση”!!!

1Απάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 9 Νοέμβριος 2009 στις 20:09

Γιώργο έβαλα στις σχέσεις και αρχική φάση επειδή το σχολικό βιβλίο έχει μια άσκηση (2.52) με αρχική φάση.

Φυσικά δεν είναι πολύ πιθανό να τεθεί ως θέμα εξετάσεων.

Permalink Απάντηση από τον/την Λάμπρος Θεοδώρου στις 9 Νοέμβριος 2009 στις 20:34

Διονύση
Συμφωνώ με αυτά που έγραψαν και ο Γιώργος Παναγιωτακόπουλος και ο Νίκος Ανδρεάδης.
Συμφωνώ επίσης με την δική σου ανάλυση, εδώ., αλλά και με τις επόμενες ασκήσεις που ανέβασες.
Θα σου φανεί παράξενο αν έλεγα, ότι δεν καταλαβαίνω τώρα μετά από αυτά, γιατί βάζεις το ερώτημα;

%ce%ba%ce%b1%cf%84%ce%b1%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%aeΑπάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 9 Νοέμβριος 2009 στις 22:25

Αγαπητοί φίλοι
Δεν θα διαφωνήσω με όσα παραπάνω διατυπώσατε και προφανώς φίλε Λάμπρο δεν θα διαφωνήσω με την δική μου ανάλυση που αναφέρεις, ούτε με τις προηγούμενες αναρτήσεις μου!!!!
Απλά ήθελα να τονίσω και μια περίπτωση που συνήθως μας διαφεύγει.
1) Εντάξει όταν η εκφώνηση αναφέρει ότι στην θέση χ=0 υπάρχει η πηγή, τα πράγματα λίγο-πολύ ακολουθούν την πορεία του σχολικού βιβλίου (εκτός από αυτό που αναφέρει και ο φίλος Γιώργος “αν θέλουμε να ακριβολογούμε, πρέπει μαζί με την εξίσωση να λέμε προς τα που ξεκινούν να ταλαντώνονται τα υλικά σημεία (προς τα πάνω ή προς τα κάτω)” Με την προσθήκη αυτή τα πράγματα τελειώνουν.
2) Αν δεν αναφέρεται που είναι η πηγή, αλλά ότι το κύμα σε μια στιγμή (συνήθως για t=0) φτάνει σε ένα σημείο, τότε με βάση τις πληροφορίες που μας δίνουν, μπορούμε να προχωρήσουμε. Δείτε και την ανάλυσή μου που αναφέρει ο Λάμπρος από εδώ.
Και ερχόμαστε τώρα σε αυτό που υπονοεί η ανάρτηση “Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.

3) Και αν το κύμα απλά διαδίδεται προς μια κατεύθυνση και δεν μας λένε ούτε που είναι η πηγή, ούτε μέχρι πού έχει διαδοθεί; Πρέπει να δεχτούμε ότι βρίσκεται σε όλο το μήκος του ελαστικού μέσου, αλλά τότε μπορούμε να μιλήσουμε και να μελετήσουμε μια ορισμένη περιοχή, όσον αφορά την ταλάντωση των σημείων (της περιοχής αυτής). Αλλά τότε και αρνητική φάση μπορούμε να έχουμε και το στιγμιότυπο μπορεί να έχει οποιαδήποτε μορφή (και να μην καταλήγει ούτε με όρος, ούτε με κοιλάδα και αυτό προσπάθησα να δείξω με την παραπάνω ανάρτηση) Ένα τέτοιο πρόβλημα είχε το περσινό τρίτο θέμα των εξετάσεων. Σας καλώ να μελετήστε δύο τοποθετήσεις κριτικές πάνω στι θέμα αυτό.
Η μία από τον Ανδρέα Κασσέτα και οι άλλη από τους Θρασύβουλο Μαχαίρα και Σταύρο Λέτη.

1Απάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 10 Νοέμβριος 2009 στις 4:18

Στο παραπάνω post στο Β αντί:
y=Aημ2π(t/T – Χ/λ + Φo) για κύμα προς τα δεξιά
y=Aημ2π(t/T + Χ/λ + Φo) για κύμα προς τα αριστερά

έπρεπε να γράψω:
y=Aημ(2πt/T – 2πΧ/λ + Φo) για κύμα προς τα δεξιά
y=Aημ2π(2πt/T + 2πΧ/λ + Φo) για κύμα προς τα αριστερά

Διονύση με τις αναρτήσεις σου μας βάζεις σε βαθιά νερά και μου αρέσει.

%ce%ba%ce%b1%cf%84%ce%b1%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%aeΑπάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 10 Νοέμβριος 2009 στις 8:37

Μια προσθήκη.
Θα πρέπει να προσέχουμε ιδιαίτερα την εκφώνηση σε μια άσκηση κύματος.
Αν θέλουμε να μελετήσουμε την διάδοση ενός κύματος, και στην πράξη αυτό έχει πραγματική αξία όταν θέλουμε να μελετήσουμε ένα κύμα, θα πρέπει να αναφέρεται ρητά ότι το κύμα ξεκινάαπό ένα σημείο ή φτάνει σε ένα σημείο και όχι απλά διαδίδεται, γιατί τότε πέφτουμε στην 3) περίπτωση και απλά μελετάμε μόνο επιμέρους ταλαντώσεις σημείων του μέσου.

00Απάντηση από τον/την Στέργιος Ναστόπουλος στις 10 Νοέμβριος 2009 στις 13:43

Διονύσης Μάργαρης είπε:

Μια προσθήκη.
Θα πρέπει να προσέχουμε ιδιαίτερα την εκφώνηση σε μια άσκηση κύματος. Αν θέλουμε να μελετήσουμε την διάδοση ενός κύματος, και στην πράξη αυτό έχει πραγματική αξία όταν θέλουμε να μελετήσουμε ένα κύμα, θα πρέπει να αναφέρεται ρητά ότι το κύμα ξεκινά από ένα σημείο ή φτάνει σε ένα σημείο και όχι απλά διαδίδεται, γιατί τότε πέφτουμε στην 3) περίπτωση και απλά μελετάμε μόνο επιμέρους ταλαντώσεις σημείων του μέσου.

Νομίζω οτι από την τοποθέτηση του Διονύση είναι καθαρό: η εξίσωση y=Aημ2π(t/T-x/λ) δεν μας λέει πού είναι η πηγή, ούτε μέχρι που έχει φτάσει το κύμα. Μια απλή μαθηματική συνάρτηση είναι και εμείς σαν καλοί Φυσικοί:-) , της δίνουμε φυσικό νόημα, βάζοντας πηγές, όρια κλπ, που επιβάλλονται από τη φυσική πραγματικότητα. Διερωτώμαι όμως: Γιατί σώνει και καλά να δώσουμε αρχική φάση π. Αν, ας πούμε κάποιος βάλει τη θετική φορά προς τα κάτω, είναι μια χαρά. Ακόμη, γιατί η φάση 2π(t/T-x/λ) σημαίνει διάδοση προς τα θετικά, γιατί να μην λέμε δηλαδή 2π(t/T+x/λ) με το x<0 σημαίνει ότι και το παραπάνω. M’ άλλα λόγια συμβάσεις κάνουμε. Αρα: Ας ορίσουμε τις θετικές φορές πρώτα και μετά να γράφουμε εξισώσεις. Απαράβατο, για μένα σε μια άσκηση, εκφώνηση και λύση. Να μην ξανασυζητήσουμε πάλι το θέμα με την πηγή και πού είναι, τα είπαμε πέρυσι το καλοκαίρι.