Διακροτήματα – Υλικό Φυσικής

Δημοσιεύτηκε από το χρήστη Διονύσης Μάργαρης στις 14 Νοέμβριος 2010 στις 12:45 στην ομάδα Φυσική Γ΄Λυκείου

Με αφορμή διάφορα σχόλια πάνω στη σύνθεση ταλαντώσεων με διαφορετικές συχνότητες, που έγιναν κάτω από τις αναρτήσεις:

Θα ήθελα να εκφράσω κάποιες ιδέες και να τις θέσω υπό την κρίση σας..

Ας μιλήσουμε πρώτα για λίγο τη γλώσσα των Μαθηματικών.

Έστω μια συνάρτηση f(x) = 2t∙ημ4πt

Ποια είναι η γραφική της παράσταση; Η παραπάνω συνάρτηση περιέχει δύο συναρτήσεις-παράγοντες. Ο ένας (2t) μεταβάλλεται αργά με το χρόνο, ενώ ο δεύτερος (ημ4πt) μεταβάλλεται γρήγορα. Τότε ο πρώτος καθορίζει την περιβάλλουσα, ορίζει δηλαδή την περιοχή του χώρου, εντός του οποίου θα μεταβληθεί το ημίτονο. Δείτε την παρακάτω εικόνα και θα καταλάβετε για ποιο πράγμα μιλάω. (στο αρχείο 1 i.p. μπορείτε να πειραματιστείτε και με άλλες τιμές)

Ας δούμε ένα δεύτερο παράδειγμα.

Έστω η συνάρτηση f(x) = (2-t²)∙ ημ(4πt) Ποια η γραφική της παράσταση;

Ο παράγοντας (2-t²) καθορίζει τις περιβάλλουσες, εντός των οποίων περιορίζεται η μεταβολή του ημιτόνου.

(στο αρχείο 2 i.p. μπορείτε να πειραματιστείτε και με άλλες τιμές)

Έστω ότι έχουμε τις εξισώσεις x₁=0,1∙ημ(202πt) και x₂=0,1ημ(198πt) (μονάδες στο S.Ι.) η σύνθεση των οποίων οδηγεί στην εξίσωση

x= 0,2∙συν2πt∙ημ200πt

Ποιο είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης;

Και εδώ ισχύουν όσα είπαμε προηγουμένως. Ο παράγοντας (0,2συνπt) καθορίζει τις περιβάλλουσες, οριοθετώντας το χώρο εντός του οποίου μεταβάλλεται το ημίτονο.

Η αντίστοιχη εικόνα είναι αυτή του σχήματος.

Δείτε και το αρχείο διακρότημα i.p. για επιβεβαίωση.

…………………………………………………………………………..

Και τώρα ας μιλήσουμε λίγο σαν Φυσικοί.

Μας δίνουν την παραπάνω γραφική παράσταση και μας ρωτάνε, τι βλέπετε; Περιγράψτε την κίνηση. Τι θα απαντήσουμε;

Νομίζω μια «λογική» απάντηση θα ήταν να πούμε, ότι βλέπουμε μια ιδιόμορφη ταλάντωση, το πλάτος της οποίας μεταβάλλεται περιοδικά μεταξύ των τιμών 0 και 0,2m. Δηλαδή να πούμε λίγο πολύ, αυτό που λέει το σχολικό μας βιβλίο ή αυτό που σε προηγούμενες αναρτήσεις είχα αναφέρει. ( π.χ. Δύο ήχοι και ένα διακρότημα.)

Μα θα πει ο Θοδωρής απέδειξα ότι τη στιγμή που το συνημίτονο γίνεται μέγιστο, το ημίτονο είναι μηδέν. Και είναι πολύ σωστό αυτό που γράφει. Αλλά για να δούμε όταν το σώμα βρίσκεται σε μέγιστη απομάκρυνση, πόσο είναι το λεγόμενο «πλάτος»;

Έχουμε λοιπόν:

x= 0,2∙συν2πt∙ημ200πt

ημ200πt=±1 → 200πt= (2k+1) π/2 ή

t=(2k+1)/400

Αλλά τώρα ας υπολογίσουμε σε αυτές τις στιγμές, τι τιμή παίρνει η παράσταση Α΄= 0,2∙συν2πt:

Α΄= 0,2∙συν(2k+1)2π/400

Έτσι για t=0 έχουμε:

Α΄=0,2∙συν(π/200)=0,2∙0,999876632!!!!!!!

Τι λέτε αυτό δεν είναι 0,2m;

Και κάτι τελευταίο. Ο όρος διακρότημα προέρχεται από φαινόμενα συμβολής σε ήχους, έτσι δεν είναι; Εκεί οι συχνότητες είναι μεγάλες, ας πούμε 10.000Ηz, οπότε μπορείτε να υπολογίσετε το σφάλμα που κάνουμε όταν μιλάμε για πλάτος; Στην παραπάνω ανάρτηση που ανέφερα πάντως, είχα δώσει τέτοια συχνότητα και δεν νομίζω ότι υπάρχει κανένα ουσιαστικό σφάλμα. Μπορεί το διάγραμμα που δίνει ο Νίκος στην ανάρτησή του«ταυτόχρονες ΑΑΤ και διακροτήματα» να δείχνει σοβαρό σφάλμα και ασυμμετρίες στις καμπύλες, αλλά οι συχνότητες είναι πολύ μικρές (0,55Ηz και 0,45Ηz) άρα Νίκο αναφέρεσαι σε «υπόηχους»!!! συνεπώς έτσι και αλλιώς δεν θα ακούσεις τίποτα.

Τα σχόλια