by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 4 Νοέμβριος 2010 και ώρα 12:30
Ένα όχημα μάζας m = 1tn εισέρχεται τη χρονική στιγμή t = 0 σε μακρύ ανώμαλο δρόμο (βλ. σχήμα) του οποίου το ύψος h μεταβάλλεται με την οριζόντια απομάκρυνση x σύμφωνα με τη σχέση: h=Hημ(2πx/λ), όπου H = 15 cm και λ = 3,14 m , ενώ η οριζόντια ταχύτητά του παραμένει σταθερή ίση με υο.
Θεωρούμε ότι τo σύστημα ανάρτησης του οχήματος ισοδυναμεί με ένα ελατήριο σταθεράς k=16.105N/m με μικρό συντελεστή απόσβεσης b και ότι η απόσταση μεταξύ των αξόνων περιστροφής των τροχών είναι λ .
α) Δείξτε ότι το αμάξωμα του οχήματος εκτελεί στον κατακόρυφο άξονα εξαναγκασμένη ταλάντωση ως προς την αρχική θέση ισορροπίας του.
β) Για ποια τιμή του μέτρου της οριζόντιας ταχύτητας υο του οχήματος έχουμε συντονισμό;
γ) Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή της σταθεράς b ώστε όταν το όχημα έχει οριζόντια ταχύτητα υο = 72 km/h το πλάτος ταλάντωσης του αμαξώματος να μην υπερβαίνει τα 20 cm ;
Θεωρείστε τη μάζα των τροχών αμελητέα και ότι οι τροχοί παραμένουν διαρκώς σε επαφή με το έδαφος. Δίνονται: π=3,14 , συν(α+β)=συνασυνβ – ημαημβ
Η συνέχεια στο blogspot
Νίκο Συγχαρητήρια, πολύ όμορφη άσκηση, με πολύ καλές ιδέες και άριστη επεξεργασία. Σε ευχαριστώ που την μοιράστηκες μαζί μας. Μια επισήμανση μόνο να κάνω. Προφανώς η άσκηση δεν απευθύνεται σε μαθητές και θα έλεγα να την μεταφέρεις στο Blog που είναι μόνο για καθηγητές, μην τυχόν και πέσει πάνω της κάποιος καλός μαθητής και του δημιουργηθεί…. ψυχολογικό πρόβλημα.
Ευχαριστώ Διονύση για τα καλά σου λόγια !
Σίγουρα είναι μια “δύσκολη” άσκηση αν και το (β) ερώτημα έχει τεθεί σε παραπλήσια άσκηση στις Παγκύπριες εξετάσεις το 2005. Το “τσιμπημένο” είναι το (γ) που θα γινόταν “χειρότερο” αν ζητούσα το b “έξω” από την κατάσταση συντονισμού.
Θα μεταφέρω όμως την άσκηση στο Blog μόνο για καθηγητές για … ψυχολογικούς λόγους!
Εξαιρετική άσκηση Νίκο,
για τους μεγάλους όπως λέει ο Διονύσης,
που οδηγούν κιόλας και θα πρέπει να ξέρουν
ότι συντονισμός, ανάλογα με τις διαστάσεις του αυτοκινήτου
και την ταχύτητά του, μπορεί να γίνει και με ένα μόνο “σαμαράκι”,
και το αυτοκίνητο να κοπεί σαν “αγγούρι”
(με την καλή έννοια βεβαίως-βεβαίως …)
Μπράβο. Ρίξε μια ματιά.
Βαγγέλη και Γιάννη χαίρομαι πολύ που σας άρεσε η άσκηση. Ο συντονισμός πλάτους όπως δείχνει και το ip δεν είναι στο ωo διότι υπάρχει η b. (Ο συντονισμός ταχύτητας είναι πάντα στο ωo ). Για το λόγο αυτό στα δύο πρώτα ερωτήματα έχω θεωρήσει b μικρό.
Η τιμή του b που πρoκύπτει από το (γ) ερώτημα είναι κάτω από την κρίσιμη αλλά όχι τόσο μικρή.
Γιάννη σ’ αυτό το ωραίο ip αρχείο που έφτιαξες πέρα από το σχήμα και τις γραφικές παραστάσεις έχεις προσθέσει κάτι ακόμα; γιατί η ανάλυση της οθόνης δεν μου επιτρέπει να το δω σε όλη του την έκταση (κάτω-κάτω έχει ένα γράμμα b).
Φτιάχτηκε σε ανάλυση 1280×1024. Σε αυτήν φαίνονται όλα. Έκανα όμως ένα λάθος έβαλα μάζα 250 kg (m/4) ενώ εννοείς 1000 kg. Κάνοντας την αλλαγή θα δεις μεγαλύτερο πλάτος. Πρέπει να αυξήσεις και τα όρια των γραφικών παραστάσεων.
Κι από μένα συγχαρητήρια Νίκο, πολύ ωραία ιδέα.
Δεν μπόρεσα να δώ και το IP του Γιάννη γιατί είμαι σχολείο, αλλά με εντυπωσιάζει το πόσο γρήγορα τα φτιάχνει !
Σ’ ευχαριστώ Διονύση ! Κοίταξε αν θέλεις το ip του Γιάννη στο οποίο το πλάτος για το ίδιο b οδηγεί σε Α=0,25m (αντί 0,20m).
Πολύ ευρηματική άσκηση ιδιαίτερα στο α. ερώτημα.Συγχαρητήρια και από μένα.Θα μου άρεσε να προστεθεί και το εξής ερώτημα.δ) “Να βρεθεί η εξίσωση τροχιάς του αμαξώματος όταν η οριζόντια ταχύτητα του οχήματος είναι υ0 =72Km/h και το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι A=20cm”.
Από y=0,2ημ(40t+3π/2) (S.I) και x=72000t(S.I) προκύπτει y=0,2ημ(x/1800 +3π/2).
Γιάννη ήταν καθοριστικής σημασίας το ΙΡ που έφτιαξες! Το λάθος που είχα κάνει το βρήκα με τη βοήθεια του σχήματος (στο ΙΡ). Η σύνδεση ελατηρίου αποσβεστήρα είναι παράλληλη στην ανάρτηση του αυτοκινήτου. Επομένως η ταχύτητα υy που χρησιμοποιούσα έπρεπε να είναι η σχετική ταχύτητα αμαξώματος-ρόδας. Στο αρχείο εδώ έχω περισσότερες λεπτομέρειες.
Σ΄ευχαριστώ Ξενοφών για τα καλά σου λόγια και τις προτάσεις σου. Μετά τη διόρθωση, η φάση δεν είναι πλέον π/2 (όπως άλλωστε έδειχνε ότι δεν ίσχυε και το ΙΡ του Γιάννη).
Στο Blog έχω αναρτήσει εκ νέου την άσκηση και ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.
Για να πω την αμαρτία μου δεν το είχα προσέξει. Είχα θεωρήσει την προσέγγιση του ω υπεύθυνη.
Γιάννη, αν δεις τώρα μια μικρή απόκλιση – μετατόπιση προς τα κάτω είναι γιατί όταν θεωρήσεις ως φυσικό μήκος το 1.5m ,θα πρέπει να βάλεις ως “τρέχον μήκος” το 1.5-(1/160) m, λόγω της αρχικής συσπείρωσης του ελατηρίου.
Σ’ ευχαριστώ πολύ για τον κόπο σου και τη συμμετοχή σου.
Συγχαρητήρια Νίκο (και Γιάννη).
Η αλήθεια είναι ότι η τιμή του k είναι μικρή ( φανταστείτε για κάθε 1τονο φορτίου να έχω συσπείρωση μεγαλύτερη των 6 cm).
Και βέβαια η τιμή του b είναι πολύ μικρή για ανάρτηση αφού αυτές φτιάχνονται για να μην έχουμε συντονισμό μάλλον για να μην έχουμε ταλάντωση )
Οι τιμές όμως είναι πολύ προσεγμένες από πολλές άλλες απόψεις και όχι μόνο από άποψη εύλκολων αριθμητικών πράξεων (Πρέπει να ταλαιπωρήθηκες πολύ Νίκο γι’ αυτό). Για παράδειγμα η απόκλιση της συχνότητας συντονισμού από την ιδιοσυχνότητα είναι εντυπωσιακά μικρή ( αν δεν κάνω λάθος ω=19,74 rad/s).
Ήταν και μια καλή ευκαιρία να ξεσκονίσουμε λίγο τις αναμνήσεις μας από τριγωνομετρία (Ζήβας;)
Και πάλι μπράβο.
Σ’ ευχαριστώ πολύ Δημήτρη για τα καλά σου λόγια και τις παρατηρήσεις σου.
Για το k: η συσπείρωση στη ΘΙ είναι λίγο μεγαλύτερη από 6mm (όχι cm). Θα έλεγα ότι είναι η k λίγο μεγαλούτσικη! (όταν μπαίνω στο αυτοκίνητο παρατηρώ τουλάχιστον την ίδια συσπείρωση κι ας μην είμαι ελέφαντας και βάλε !. Το έχω παρατηρήσει σε ψηλά πεζοδρόμια που “βρίσκει” η πόρτα του αυτοκινήτου στο πεζοδρόμιο)
Για το β: Στην εκφώνηση έχω θεωρήσει μικρό b για να μπορούμε να θεωρήσουμε στο (β) ερώτημα ότι η ω συντονισμού είναι η ω0.
Στο τρίτο ερώτημα (μετά τη διόρθωση) αν και η απάντηση-λύση είναι ακριβής, η ταχύτητα 72km/h=20m/s δεν αντιστοιχεί στον συντονισμό αφού όπως αποδεικνύεται εδώ, η ταχύτητα που αντιστοιχεί στον συντονισμό είναι 12m/s (για τη τιμή του b που υπολογίστηκε προηγουμένως).
Δυστυχώς το b δεν προέκυψε τόσο μικρό όσο θα ‘θελα! (Ευτυχώς για τους επιβάτες!)
Συγνώμη Νίκο.
Καλά, ξανακοιτάω τις πράξεις μου.
και δεν πιστεύω στα μάτια μου ,
λάθος αντκαταστάσεις, λάθος απλοποιήσεις , για να μην πώ ότι η ρίζα του 1600 είναι 20 !
Τις χαρακτήρισα και εύκολες αριθμητικές πράξεις αν θυμάμαι ε;