Εξίσωση θέσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 2 Δεκέμβριος 2013 και ώρα 2:30

Σώμα εκτοξεύεται από την άκρη ταράτσας κτιρίου ύψους H, τη στιγμή t = 0,

με αρχική ταχύτητα μέτρου υο κατακόρυφα προς τα πάνω,

και φτάνει στο έδαφος τη στιγμή t = 7 s με ταχύτητα μέτρου 40 m/s.

Θεωρώντας ως αρχή του y άξονα τη βάση του κτιρίου και θετική φορά προς τα πάνω, να γράψετε την εξίσωση θέσης y(t) του σώματος.

(g = 10 m/s²)

 

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η εξίσωση που ζητάμε έχει γενική μορφή:

y = yo + υο(t–to) + ½α(t–to)²  (1)

όπου yo και υο η θέση και η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή to.

Επίσης α = – g = –10 m/.

 

αʹ τρόπος

Ο συνήθης τρόπος είναι να θεωρούμε ως to τη στιγμή έναρξης της κίνησης,

δηλαδή to = 0, οπότε yο = H και υο η αρχική ταχύτητα του σώματος.

Οι εξισώσεις θέσης και ταχύτητας είναι τότε:

y = Η + υοt – ½gt²   (2)   και   υ = υο gt   (3)

Το σώμα φτάνει στο έδαφος (y = 0) τη στιγμή t = 7 s με υ = – 40 m/s, οπότε,

από τη (3) βρίσκουμε:   – 40 = υο – 107   →   υο = 30 m/s

από την (2):   0 = Η + 307 – ½107²   →   Η = 35 m

και τελικά η ζητούμενη εξίσωση θέσης είναι:

y = 35 + 30t – 5

 

βʹ τρόπος

Η χρονική στιγμή αναφοράς δεν είναι υποχρεωτικό να είναι η στιγμή έναρξης της κίνησης, αλλά οποιαδήποτε άλλη στιγμή τ. Η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί γενικότερα:

y = yτ + υτ(t–τ) + ½α(t–τ)²   (4)

όπου τώρα yτ και υτ η θέση και η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή τ.

Αν τώρα επιλέξουμε τη στιγμή τ = 7 s για την οποία γνωρίζουμε ότι yτ = 0 και υτ = – 40 m/s

και αντικαταστήσουμε στην (4), η ζητούμενη εξίσωση προκύπτει όπως και πριν:

y = 0 – 40(t–7) – ½10(t–7)²   →  y = 35 + 30t – 5

(Visited 219 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
0 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια