Έστω ότι συμβαίνει … άρα συμβαίνει;

Δημοσιεύτηκε από το χρήστη Διονύσης Μάργαρης στις 7 Μάρτιος 2013 στις 10:03 στην ομάδα Διδακτική και Διδασκαλία

Πριν λίγες μέρες έγινε μια μεγάλη συζήτηση στην ανάρτηση του Νίκου Ανδρεάδη «Με αφορμή το Δ1 του 2011». Στη συζήτηση αυτή είχα γράψει ένα σχόλιο: «Μελετώντας την, σε βλέπω να κάνεις κριτική στην ανάρτηση (και λύση), Μια δοκός ακουμπά σε κοντύτερο τοίχο.…»  και περίμενα μια τοποθέτηση που να αμφισβητεί τη λύση που είχα δώσει. Η τοποθέτηση δεν ήρθε, οπότε ας μιλήσουμε ξανά πάνω στον τρόπο μιας απόδειξης και κατά πόσο είναι αποδεκτή.

Ας πάρουμε το παρακάτω παράδειγμα.
Μια ομογενής δοκός μάζας Μ=10kg και μήκους ℓ=4m ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένη με νήμα, ενώ στηρίζεται στο έδαφος, σχηματίζοντας γωνία φ=60° με την οριζόντια διεύθυνση. Η δοκός παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστές τριβής μs=μ=0,5.  Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να βρεθούν η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο και η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος.

Δίνεται για τη δοκό Icm=1/12 Mℓ2 και g=10m/s2.

 

Απάντηση:

Μόλις κοπεί το νήμα η δοκός θα κινηθεί. Το ερώτημα που ανακύπτει είναι αν θα ολισθήσει ή όχι το άκρον της Β, αμέσως μόλις κόψουμε το νήμα. Αυτό δεν είναι δεδομένο και γνωστό, οπότε είμαστε υποχρεωμένοι να δουλέψουμε ξεκινώντας με μια υπόθεση. Ποια;

Υπάρχουν δυο εναλλακτικοί τρόποι να προχωρήσουμε:

Η συνέχεια σε pdf.

ή εδώ.

(Visited 282 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
2 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
admin
4 έτη πριν

Απαντήσεις σε αυτή τη συζήτηση

moiΑπάντηση από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 7 Μάρτιος 2013 στις 10:36

Ο Ναστρεντίν Χότζας

Αισθάνομαι όπως αυτός όταν μια φορά τον κάλεσαν να λύσει τη διαφορά μεταξύ δύο αντιδίκων.

Ακούει την ιστορία του ενός και… «-Δίκιο έχεις αποφαίνεται».

Ακούει την ιστορία του άλλου και ξαναλέει «-Έχεις δίκιο».

Του λέει ένας παριστάμενος.

-Χότζα μου δεν είναι δυνατόν να έχουν ταυτόχρονα δίκιο δύο που υποστηρίζουν αντίθετες θέσεις.

«-Και συ δίκιο έχεις»

Για να σοβαρολογήσω υποπτεύομαι ότι ο Διονύσης διάλεξε ένα παράδειγμα πονηρό. Όσο και αυτό με την ισοδύναμη ροπή αδράνειας. Έχει την ικανότητα αυτήν.

Η τριβή είναι δύναμη που παριστάνεται από κλαδική συνάρτηση και η πρόβλεψη αν ένα σώμα ολισθαίνει ή όχι δεν γίνεται εύκολα με αναλυτικό τρόπο αλλά με υπόθεση-επιβεβαίωση. Το έχω συναντήσει σε αναρτήσεις μου όπου όχι λείες μπάλες συγκρούονται μεταξύ τους ή με τοίχο. Μόνο με υπόθεση-επιβεβαίωση μπορείς να προχωρήσεις.

Σε πάρα πολλά προβλήματα με τριβή συμβαίνει το ίδιο.

«Κλέβει» λοιπόν ο Διονύσης; Διαλέγει αποστομωτικό παράδειγμα;

Έχω την αίσθηση ότι η λύση Νο1 ουσιαστικά χρησιμοποιεί ισοδυναμίες και όχι απλά συνεπαγωγές οπότε είναι ολόσωστη και τυπικά.

Η περίπτωση Του Δ1 όμως; Είναι το ίδιο;

Η περίπτωση της δικής μου ανάρτησης με τις δύο τροχαλίες είναι το ίδιο;

Φυσικά συζητάμε «επί του τυπικού» σαν να κάνουμε Μαθηματικά γιατί στη Φυσική μπορούμε να δουλεύουμε έτσι. Εκτός αν κάποιος βρει αντιπαράδειγμα.

Αντιπαράδειγμα που μάλλον στα γυροσκόπια πρέπει να το ψάξει.

 

moi Απάντηση από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 7 Μάρτιος 2013 στις 16:03

Δημήτρη είναι θέμα άλλης τάξης.

Το engineering έχει άλλο πνεύμα. Κάνουμε έναν υπολογισμό για πρακτική χρήση. Εδώ όμως τίθεται το θέμα όχι φυσικά αν το συμπέρασμά μας είναι σωστό (γιατί είναι) αλλά αν η διαδικασία έχει “μαθηματικό βάρος”.

Είναι σαν να σου βάζω άσκηση να βρεις την εξίσωση εφαπτομένης κύκλου που περνάει από δοθέν σημείο και να το κάνεις με το Geogebra και να φαίνεται σε πινακάκι η εξίσωση.

Το engineering δεν κάνει Μαθηματικά αλλά τα χρησιμοποιεί.

 

moi Απάντηση από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 7 Μάρτιος 2013 στις 16:52

Βεβαίως κάνει σοβαρότατα Μαθηματικά. Βεβαίως είναι επιστήμονες επιπέδου και βεβαίως διυλίζουμε τον κόνωπα.

Δημήτρη είναι θέμα διαδικασίας. Είναι π.χ σαν να σου ζητώ να μου αποδείξεις ότι όταν μηδενίζεται η 1η παράγωγος έχουμε ακρότατο και να το κάνεις γραφικά επικαλούμενος την οριζοντίωση της εφαπτομένης.

Είναι λάθος;

Όχι.

Είναι απόδειξη;

Σου ζητώ να αποδείξεις ιδιότητα των συνόλων και το κάνεις με Βέννια διαγράμματα. Θα κάνεις λάθος; Όχι. Είναι απόδειξη; Όχι.

Το θέμα είναι το εξής:

Μου βάζουν να αποδείξω κάτι. Δέχομαι ότι ισχύει και καταλήγω σε κάτι σωστό. Δέχομαι την υπόθεση ως σωστή.

Η παραπάνω διαδικασία δεν οδηγεί ποτέ (μάλλον) σε λάθος στη Φυσική.

Είναι λογικά σωστή; Όχι παρά μόνο αν υπάρχει αλληλουχία ισοδυναμιών και όχι συνεπαγωγών.

Αυτή είναι (νομίζω) και η διαφορά της άσκησης του Διονύση από το Δ1 ή τη δική μου με τις 2 τροχαλίες.

Η πρώτη λύση νομίζω ότι είναι αλληλουχία ισοδυναμιών.

Το θέμα το ξεκίνησε ο Νίκος και λέει με δυο λόγια: “Είναι τυπικά σωστή μια διαδικασία κατά την οποία υποθέτω κάτι ως αληθές και αν βγάλω σωστό συμπέρασμα δέχομαι την υπόθεση;”

Δέχομαι π.χ. ότι 2=1. Πολλαπλασιάζω με μηδέν και έχω 0=0, σωστό. Θα δεχτώ ότι 2=1;;

Ο Νίκος δεν ρώτησε αν το συμπέρασμα είναι σωστό αλλά αν η διαδικασία είναι σωστή τυπικά. Η Φυσική των εξετάσεων έχει και μια μαθηματική χροιά. Αυτό θέλω να πω και όχι να υποτιμήσω τους Μηχανικούς και το engineering.

a1-6Απάντηση από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 8 Μάρτιος 2013 στις 14:43

Καλημέρα.

Να πω και εγώ μερικές σκέψεις

για το ωραίο θέμα που έθιξαν εδω και λίγες μέρες αρκετοί συνάδελφοι

( Ανδρεάδης, Κορφιάτης ,  …) και σήμερα προχώρησε αρκετά με την ανάρτηση του Μάργαρη.

ϊσως είναι βέβαι γνωστά και προφανή…

1) Έστω “Α τότε Β” και “Β Αληθής”.

α) Η πρόταση Α είναι αληθής αν και μόνο αν η Β είναι ικανή συνθήκη δηλαδή πρέπει να αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο Αν Β αληθής τότε και Α αληθής ( αυτό πρέπει να αποδεικνύεται )

β) Η πρόταση Α είναι υποθετική και μπορεί να είναι Αληθής ή Ψευδής αν η Β είναι απλά αναγκαία.

Στη περίπτωσή μας η μ<=0,83 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή …συνεπώς δεν εξασφαλίζει την πρόταση Α:Το άκρο δεν ολισθαίνει.

2) Αντιστρόφως:

Έστω “Α τότε Β” και “Β Ψευδής”.

α) Η πρόταση Α είναι Ψευδής αν και μόνο αν η Β είναι αναγκαία συνθήκη  Αν η Β είναι απλά μια ικανή συνθήκη αυτό δεν σημαίνει ότι διαψεύδεται η Α

3) Έστω “Α τότε Β” και “Β είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη” τότε αν η Α ε΄χει την αληθοτιμή της Α

“Αν Β Αληθής είναι και Β Αληθής ” και “Αν Β Ψευδής τότε και Α Ψευδής”

Για όλους τους παραπάνω λόγους οι σύνθετες αποδείξεις ( π.χ. κατασκευές και γεωμετρικοί τόποι στην πάλαι ποτέ  γεωμετρία του 6τάξιου γυμνασίου) απαιτούσαν το ορθό και το αντίστροφο της αποδεικτικής διαδικασίας…παρόμοια υπήρχε στην Άλγεβρα και την Ανάλυση  η σαφής διάκριση του συνεπάγεται και του ισοδύναμου…

Τώρα τα πράγματα είναι πιο απλά …;!

a1-6Απάντηση από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 8 Μάρτιος 2013 στις 14:51

Ξαναγράφω κάτι που προφανώς διατυπώθηκε λάθος

3) Έστω “Α τότε Β” και “Β είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη” τότε η Α έχει την αληθοτιμή της Β

“Αν Β Αληθής είναι και Α Αληθής ” και “Αν Β Ψευδής τότε και Α Ψευδής”

%ce%ba%ce%b1%cf%84%ce%b1%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-30Απάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 8 Μάρτιος 2013 στις 18:18

Μετά από διακριτική παρέμβαση ενός φίλου, έγινε διόρθωση του αρχικού αρχείου, οπότε μπορείτε να διαβάσετε την νέα έκδοση. Υπήρχε λάθος στον υπολογισμό της επιτάχυνσης του άκρου Β. Η ουσία όμως της ανάρτησης δεν έχει αλλάξει.

Απάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 8 Μάρτιος 2013 στις 20:42

Γιάννη με καταλαβαίνεις 100%, γι’ αυτό αντιγράφω:

“Είναι τυπικά σωστή μια διαδικασία κατά την οποία υποθέτω κάτι ως αληθές και αν βγάλω σωστό συμπέρασμα δέχομαι την υπόθεση;”

Φυσικά συμφωνώ με το Ναστρεντίν Χότζα 🙂

Συμφωνώ επίσης και με το Δημήτρη που μου θύμισε ότι κάποτε προσέχαμε τις διπλές συνεπαγωγές. Για να το γράψω απλά Δημήτρη, για μένα η μέθοδος του “έστω ισορροπεί… ” με οδηγεί σε “υποψία” και όχι σε “βεβαιότητα”, γι’ αυτό επιλέγω άλλο τρόπο λύσης.

Από τη συζήτηση που έγινε με αφορμή το σχετικό θέμα, για μένα προέκυψε ωφέλεια διαβάζοντας με προσοχή όλες τις απόψεις των συναδέλφων, είτε συμφωνούσα είτε διαφωνούσα.
Κατά τη γνώμη μου το “Έστω ότι συμβαίνει … άρα συμβαίνει” στη περίπτωση του Δ1 του 2011 και στην άσκηση με τη δοκό του Διονύση, ενώ καταλήγει σε σωστό αποτέλεσμα πάσχει από λογική.

Χαρακτηρίζω τη λύση “προβληματική” αποφεύγοντας τη λέξη “εσφαλμένη” διότι δεν έχω γνώσεις από θεωρία λογικής. Κάποιος με τις απαραίτητες γνώσεις, μπορεί να τη χαρακτηρίσει “εσφαλμένη” ή “σωστή”.

Στο νέο παράδειγμα που ανέβασε ο Διονύσης και καταλήγει σε σωστά αποτελέσματα και έχει λογική.

Εδώ κάνουμε την υπόθεση και στη συνέχεια ελέγχουμε αν η τριβή που έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση και συγκεκριμένα όρια μέτρου μπορεί να ικανοποιήσει την υπόθεση.

Στη περίπτωση της “δοκού που ακουμπά σε κοντύτερο τοίχο” ανεβάζω ένα αρχείο με διαφορετική λύση στο iii) ερώτημα. Κατά τη γνώμη μου η λύση αυτή έχει λογική και δεν δημιουργεί αμφισβήτηση..

Τέλος δεν είναι υποχρεωτικό να συμφωνούμε όλοι σε όλα 🙂

Απάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 8 Μάρτιος 2013 στις 21:24

Δημήτρη καλησπέρα.

Φυσικά συμφωνώ με τις λύσεις που αναφέρεις.

Απλά δεν σε προλαβαίνω 🙂

moiΑπάντηση από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 9 Μάρτιος 2013 στις 15:13

Επιχειρώντας παιγνίδια με τη λογική.

Η συνέχεια.

%ce%ba%ce%b1%cf%84%ce%b1%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-30Απάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 19 Μάρτιος 2013 στις 12:30

Ξεκινώντας την παραπάνω συζήτηση, άφησα «μια μπηχτή» εναντίον του Νίκου Ανδρεάδη, για αργοπορημένη απάντηση σε προηγούμενη ανάρτηση, στην οποία είχε πει ότι θα δώσει άλλη λύση.

Οπότε τώρα, θα έχει δίκιο να διαμαρτύρεται ο ίδιος, αφού εγώ έχω αφήσει να περάσουν μέρες και μέρες, χωρίς απάντηση.  Το έκανα, γιατί είχα «ακούσει» ότι φίλος ετοίμαζε ένα κείμενο αναλυτικής απάντησης που ξεκινούσε από τις αρχές της λογικής και κατέληγε στα δικά μας. Αλλά ο σχολιασμός, δεν ήρθε, οπότε ας πάρω το λόγο.

Η ιστορία ξεκίνησε με την ανάρτησή μου «Μια δοκός ακουμπά σε κοντύτερο τοίχο.», όπου αμφισβητήθηκε η λύση που πρότεινα, η οποία στηριζόταν στη λογική, «έστω ότι … άρα ισχύει»

Έτσι επέστρεψα μετά την συζήτηση που έγινε, κάτω από την ανάρτηση «Με αφορμή το Δ1 του 2011», δίνοντας μια λύση, που στηριζόταν στην «εις άτοπον απαγωγή» Νομίζω ότι από κανέναν δεν αμφισβητήθηκε, η λύση που δόθηκε και ελπίζω να μην υποστηρίζει κάποιος συνάδελφος, ότι πρέπει να πάμε υποχρεωτικά στην «εις άτοπον απαγωγή», αφού ο δρόμος είναι πολύ δύσβατος. Έτσι παρότι δεν στέκει στην λογική το «έστω ότι συμβαίνει …άρα συμβαίνει», είναι ίσως ο μόνος τρόπος να πούμε μερικά πράγματα.

Στο παραπάνω σχόλιό του ο Γιάννης, έδωσε έξυπνα παραδείγματα ανιχνεύοντας τα όρια του σωστού και του λάθους.

Έτσι ας επανέλθω στην αρχική μου ανάρτηση. Έχω την αίσθηση ότι οι αντιρρήσεις εστιάζονται επειδή έχουμε δύο σώματα και όχι ένα. Αν ήταν μόνο η ράβδος και όχι το σώμα βάρους w1 νομίζω δεν θα υπήρχε αντίρρηση. Αλλά στην πραγματικότητα τοποθετώντας το σώμα, ήταν σαν να ασκούσα μια κατακόρυφη δύναμη και αυτό που ήθελα να δείξω ήταν ότι η εξάσκηση μιας τέτοιας δύναμης δεν μεταβάλλει την ισορροπία. Και ο τρόπος που επέλεξα, ήταν να αποδείξω ότι η τριβή είναι στατική και πάνω σε αυτό υποστήριξα ότι η υπόθεση ισχύει. Μα, το ίδιο έκανα και στο παραπάνω παράδειγμα! Γιατί λοιπόν στο παράδειγμα αυτό στέκει και όχι στην αρχική ανάρτηση;

Ο Νίκος έδωσε μια λύση με την εξής λογική:

Θέλω να δω αν ισορροπεί. Υποθέτω ότι δεν θα ισορροπήσει, οπότε για να εξασφαλίσω την ισορροπία, ασκώ μια δύναμη στη ράβδο. Έτσι εξασφαλίζω την πολυπόθητη ισορροπία, μέσω της οποίας υπολογίζω την απαιτούμενη δύναμη. Αν δε, προκύψει F=0, τότε δεν απαιτείται καμιά δύναμη και το σύστημα ισορροπεί.

Ομολογώ ότι η απόδειξη αυτή, δεν παρουσιάζει κανένα λογικό κενό. Να πω ότι μου αρέσει περισσότερο από την δική μου; Είναι πράγματι πολύ όμορφη.

Το ερώτημα που απλά παραμένει είναι κατά πόσον μια τέτοια λογική μπορεί να επιβληθεί, σαν μοναδική λογική που πρέπει να εφαρμόζεται στο εξής σε κάθε ανάλογη περίπτωση…

Απάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 19 Μάρτιος 2013 στις 20:50

Διονύση συμφωνώ ότι το δεύτερο σώμα δημιουργεί το “πρόβλημα”. Aν η άσκηση έλεγε ότι ασκούμε μια δύναμη τότε δεν θα υπήρχε διαφωνία με το “έστω…” διότι η πορεία έχει λογική.

Να τονίσω ότι απόλαυσα το κείμενο του Γιάννη Κυριακόπουλου που έχει μοναδικό τρόπο να αναλύει δύσκολες καταστάσεις.

Διονύση δεν επιβάλει κανείς τίποτα, απλά είναι θέμα οπτικής. Ο καθένας επιλέγει το δρόμο που νομίζει καλύτερο ή ευκολότερο. Άλλωστε κι εγώ ξεκινώ με ένα “έστω…” και με λογικά βήματα καταλήγω στο αποτέλεσμα.

Εγώ επιλέγω το δρόμο που δείχνει ο Γιάννης στο κείμενό του ή ο Βαγγέλης Κορφιάτης ή ο Δημήτρης Γκενές στις τοποθετήσεις που έκαναν.

Το ερώτημα που θέτεις στο τέλος, είναι “φιλοσοφικό” και δεν είμαι σε θέση να σου δώσω απάντηση.

Υπάρχουν στο δίκτυο πιο έμπειροι συνάδελφοι για να δώσουν πειστική απάντηση.

Να γράψω πάλι ότι από τη συζήτηση που έγινε με αφορμή το σχετικό θέμα, για μένα προέκυψε ωφέλεια διαβάζοντας με προσοχή όλες τις απόψεις των συναδέλφων, είτε συμφωνούσα είτε διαφωνούσα.

ΥΓ.

Τη “μπηχτή” δεν την είχα προσέξει, τώρα που το ανέφερες την είδα 🙂

moi Απάντηση από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 19 Μάρτιος 2013 στις 22:16

Έστω ότι συμβαίνει άρα συμβαίνει.

Σε καλούν να αποδείξεις ότι αν σε μια γέφυρα WHEATSTONE R1/R3=R/R4 τότε ισορροπεί.

Λες: υποθέτω ότι ισοροπεί και ….. R1/R3=R/R4 που ισχύει (πανεύκολη πορεία). Άρα ισορροπεί. Στέκει;

Φυσικά ως συμπέρασμα στέκει αλλά η διαδικασία;

Πως πείθεις ότι δεν υπάρχει γέφυρα στην οποία και R1/R3=R/R4 και κυκλοφορεί ρεύμα στο γαλβανόμετρο;

admin
4 έτη πριν

moiΑπάντηση από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 20 Μάρτιος 2013 στις 0:27

Ένα πρόβλημα λυμένο λανθασμένα:

untitled1

Η λύση αυτή θα μπορούσε να γίνει δεκτή ως λύση ενός προβλήματος με άλλη διατύπωση την:

Η μπάλα κινείται ανοδικά στο λείο παγόβουνο έχοντας στη θέση Α ταχύτητα μέτρου υ . Δείξτε ότι αν φτάσει στη θέση Β θα έχει ταχύτητα ίδιου μέτρου.

Απάντηση από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 20 Μάρτιος 2013 στις 0:41

Γιάννη είσαι ανεξάντλητος!!!

Πρόσεχε όμως γιατί μπορεί να σε διαγράψει ο… Διαχειριστής 🙂

%ce%ba%ce%b1%cf%84%ce%b1%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%ae-30Απάντηση από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 20 Μάρτιος 2013 στις 11:43

Ποιον διαχειριστή έχεις στο μυαλό σου Νίκο;