Σύγκρουση μικρού σώματος με έναν τοίχο…

Σώμα μάζας m έχει ορμή μέτρου P και συγκρούεται κάθετα και ελαστικά στην επιφάνεια ενός κατακόρυφου τοίχου πολύ μεγαλύτερης μάζας, Μ. Ο τοίχος αρχικά είναι ακίνητος. Το μέτρο της ορμής του τοίχου μετά την κρούση θα είναι:

α) 0      β) P      γ) 2∙P

 

Σημειώστε και δικαιολογήστε τη σωστή απάντηση.

 

Η λύση εδώ.

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
94 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Δημήτρης Γκενές
Αρχισυντάκτης
24/06/2017 11:19 ΜΜ

Προτείνω όμως ένα διάλειμμα  …

Αν γίνεται να συνεχίσουμε αύριο …

Διονύσης Μάργαρης
24/06/2017 11:26 ΜΜ

Σύμφωνοι Μήτσο.

Ελπίζω να βρω κάποια στιγμή χρόνο, αφού φεύγω για μια μικρή ανάπαυλα…

Καληνύχτα.

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Συνάδελφοι καλημέρα,

Δημήτρη γνωριζόμαστε χρόνια και ξέρεις την εκτίμηση που σου έχω. Το Υλικονέτ είναι για όλους μας σχολείο κι αυτή είναι η ομορφιά του, ότι λέμε τις απόψεις μας και μαθαίνουμε ο ένας απ’ τον άλλο. Ένα είδος συλλογικής εμπειρίας.

Πάντα διαβάζω όλες τις αναρτήσεις σου και τις απολαμβάνω!

Στην παρούσα συζήτηση μπήκα κάπως καθυστερημένα και το σχόλιό μου δεν απευθυνόταν ούτε προσωπικά σε σένα, ούτε σε κάποιον άλλο, ήταν απλά μια προσπάθεια να εστιάσω στην κεντρική ιδέα της διατήρησης της ορμής που είναι ουσιαστικά ο 3ος νόμος του Νεύτωνα (ας σταθούμε στο πλαίσιο της κλασσικής μηχανικής, για να μην ανοίξουμε άλλα θέματα).

Προφανώς δεν υπήρχε πρόθεση κάποιας αιχμής και απολογούμαι αν άθελά μου φάνηκε κάτι τέτοιο.

 

Γράφω λοιπόν λίγο πιο αναλυτικά τη σκέψη μου ώστε να φανεί αυτό που ήθελα να τονίσω και στο προηγούμενο σχόλιο.

Ο Διονύσης επισημαίνει το ίδιο σημείο στη σελ. 6 των σχολίων παραθέτοντας και το σχετικό σχήμα.

 

Συμφωνούμε πιστεύω ότι σε οποιαδήποτε κρούση (και γενικότερα αλληλεπίδραση), μέσω των ωθήσεων του ζεύγους δράσης – αντίδρασης συμβαίνουν αντίθετες μεταβολές ορμής στα δύο σώματα. Είτε επιλέξουμε το κέντρο μάζας των δύο σωμάτων ως σύστημα αναφοράς, είτε οποιοδήποτε άλλο σύστημα, τα δύο σώματα δέχονται αντίθετες ωθήσεις.

Επίσης ας μην βάλουμε στη συζήτηση αδρανειακές δυνάμεις.

 

Αν λοιπόν το σύστημα των δύο σωμάτων είναι μονωμένο, τότε θα διατηρηθεί η ορμή, κι αν οι κρουστικές δυνάμεις είναι συντηρητικές θα διατηρηθεί και η μηχανική ενέργεια.

Για τη μελέτη μιας τέτοιας κρούσης θεωρούμε ένα μοντέλο δύο υλικών σημείων που αποτελούν μονωμένο σύστημα και συγκρούονται μετωπικά.

Από τις παραδοχές του μοντέλου μόνο η 2η είναι αναγκαία για να διατηρηθεί η ορμή.

Την 3η τη βάζουμε για λόγους απλότητας (διατήρηση ορμής αλγεβρικά), ενώ την 1η για να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση Κ = ½mυ². Διαφορετικά, θα είχαμε και διατήρηση στροφορμής και στροφική κινητική ενέργεια και ότι άλλο.

Η διατήρηση της ορμής όμως έχει ως μόνη προϋπόθεση το μονωμένο σύστημα.

 

Οι σχέσεις λοιπόν υ₁' = υ₁·(λ–1)/(λ+1) και υ₂' = υ₁·(2λ) /(λ+1) με λ= m₁/m₂

που καταλήγουμε στην περίπτωση του κινούμενου – ακίνητου σώματος, ισχύουν όταν ικανοποιούνται οι πιο πάνω παραδοχές.

 

Και η περίπτωση m₁ << m₂ οπότε m₁/m₂ → 0 άρα υ₁' → –υ₁ και υ₂' → 0 είναι μια οριακή τιμή όπου θα πρέπει να ικανοποιούνται οι αρχικές παραδοχές.

(Το να θέσουμε για τις οριακές τιμές υ₁' ≈ –υ₁ και υ₂' ≈ 0 είναι απλά μια προσέγγιση που η ακρίβειά της εξαρτάται από το πόσο μικρότερη είναι η m₁ από τη m₂).

 

Όταν λοιπόν μελετάμε την ελαστική κρούση μπάλας σε ακλόνητο τοίχωμα τότε έχουμε δύο τρόπους:

 

1) Να θεωρήσουμε τον τοίχο ακλόνητο.

Στην περίπτωση αυτή δεν νοείται να μιλάμε για άπειρη μάζα τοίχου. Έχει άπειρη μάζα και είναι πακτωμένος σε ένα σώμα μεγαλύτερης μάζας;

Στην πραγματικότητα δεν χρειάζεται καν να μιλάμε για τοίχο. Η μπάλα δεν συγκρούστηκε με τον τοίχο. Με κάποιο πλακάκι συγκρούστηκε που ήταν κολλημένο στον τοίχο και προφανώς η ορμή μπάλας – πλακακίου δεν διατηρήθηκε.

 

Το πλακάκι απόκτησε μετά την κρούση μηδενική ταχύτητα αφού ήταν πακτωμένο (και μηδενική ορμή και μηδενική κινητική ενέργεια, αφού η μάζα του είναι πεπερασμένη) και η μπάλα αναπήδησε με αντίθετη ταχύτητα γιατί έπρεπε να διατηρηθεί η μηχανική ενέργεια.

 

2) Να προσεγγίσουμε το πρόβλημα αντιμετωπίζοντάς το ως «ελαστική κρούση κινούμενου – ακίνητου σώματος».

Μα τώρα, για να χρησιμοποιήσουμε τις πιο πάνω έτοιμες σχέσεις, θα πρέπει πρώτα να εξασφαλίσουμε ότι ικανοποιούνται οι παραδοχές υπό τις οποίες ισχύουν.

 

Οι σχέσεις αυτές ισχύουν για ένα μονωμένο σύστημα δύο σωμάτων με m₁/m₂ → 0.

Και επειδή η μάζα της μπάλας δεν τείνει στο μηδέν, άρα η μάζα του τοίχου τείνει στο άπειρο. Δεν πρόκειται λοιπόν για τοίχο, αλλά για «τοίχο» – μοντέλο, ο οποίος είναι ελεύθερος να κινηθεί και έχει άπειρη μάζα.

Στην περίπτωση αυτή όμως διατηρείται και η ορμή και η μηχανική ενέργεια του συστήματος!

Ο ελεύθερος τοίχος – μοντέλο αποκτά μετά την κρούση ταχύτητα:

υ₂' = υ₁·(2λ) /(λ+1) = 0 όχι επειδή είναι πακτωμένος αλλά επειδή έχει άπειρη μάζα.

Αποκτά επίσης ορμή P₂' = m₂·υ₂' = …∞·0 (!) = –2·m₁·υ₁

και κινητική ενέργεια Κ₂' = P₂'/(2·m₂) = 0

ενώ η μπάλα αναπηδά με υ₁' = –υ₁.

 

Και οι δύο λύσεις ορθές είναι.

 

Απλά, αν μιλάμε για τοίχο «πακτωμένο», τότε δεν μπορούμε ταυτόχρονα να λέμε ότι έχει άπειρη μάζα, ενώ αν θέλουμε να μιλάμε για μοντέλο τοίχου άπειρης μάζας και να χρησιμοποιούμε τη θεωρία της ελαστικής κρούσης κινούμενου – ακίνητου σώματος τότε θα πρέπει να τον θεωρούμε και ελεύθερο να κινηθεί.

 

Διονύσης Μάργαρης
26/06/2017 8:39 ΠΜ

Καλημέρα παιδιά.

Μήτσο θα περιμένεις απάντησή μου στο  ερώτημα για τον παρατηρητή, αφού σταματήσαμε κάπου εκεί.

Ο παρατηρητής μας είναι εικονικός, όπως όλοι οι "υποτιθέμενοι" παρατηρητές που χρησιμοποιούμε. Δεν πατάει στη Γη, δεν στέκεται πάνω στον τοίχο, είναι κάπου εκεί και δεν  συμμετέχει σε καμιά κίνηση, ούτε του βλήματος, που το βλέπει να κινείται, ούτε της Γης την οποία θεωρεί ακίνητη πριν την κρούση…

Και μετά την κρούση; Μα, η ταχύτητα που θα αποκτήσει ο τοίχος ή αν θέλουμε ο τοίχος και η Γη, τείνει στο μηδέν, οπότε και μετά την κρούση "δεν μετράει" καμιά ταχύτητα της Γης…

Όπως σε όλα τα  νοητικά πειράματα, δεν περιμένω ο παρατηρητής να έχει όργανα μέτρησης της ταχύτητας του τοίχου.

Μεταφυσικό παρατηρητή θυμίζει, θα μπορούσες να πεις, αλλά να θυμίσω κάποιους παρατηρητές που έβαζε ο Αλβέρτος που εκινούντο με ταχύτητα 0,9c;

Καλημέρα και καλή βδομάδα.