Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:

y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ)

Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση υ=√F/m.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

  Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

(Visited 4,615 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
66 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Νίκος Παναγιωτίδης

Καλημέρα Διονύση

Θέλω κατ΄ αρχήν να σ΄ ευχαριστήσω για το σχήμα που υποθέτω ότι εσύ έβαλες στη χθεσινή μου δημοσίευση. Εγώ βέβαια δεν παρέλειψα να βάλω σχήμα, έβαλα την σχήμα που ζωγραφισα στην πρώτη σελίδα, αλλά για κάποιο λόγο δεν εμφανίστηκε.

Σ΄ αυτή τη δημοσίευση, αντίθετα με τις προηγούμενες, επιχείρησα να υπολογίσω τη δυναμική και την κινητική ενέργεια για όλη τη χορδή όταν το κύμα είαι εγκάρσιο. Στις προηγούμενες δημοσιεύσεις υπολόγιζα τη ροή ενέργειας από τυχαία διατομή.

Ο τύπος για την κινητική ενέργεια συμφωνεί και με τη δική σου ανάλυση, και με του καθηγητή μου Ευταξία (φαίνεται πως διδάσκει ακόμα!) και με του Γιάννη. Αλλά υπολογίζουμε διαφορετικά τη δυναμική ενέργεια.

Κατ΄ αρχήν εγώ υποθέτω ότι η τάση κατά μήκος μιας χορδής είναι ανεξάρτητη του x όταν το κύμα είναι εγκάρσιο. Αυτό σημαίνει ότι και η ποσοστιαία επιμήκυνση οποιουδήποτε τμήματός της είναι ίδια σ΄ όλο το μήκος της χορδής. Στη δική σου ανάλυση, και στις άλλες, δεν υπάρχει αυτή η παραδοχή. Όμως θέλω να εστιάσω σε ένα διαφορετικό σημείο:

Γιατί η U ενός στοιχειώδους τμήματος είναι το γινόμενο δύναμης επί επιμήκυνση; Κανονικά η U οποιουδήποτε τμήματος της χορδής θα έπρεπε να είναι ανάλογη του τετραγώνου της επιμήκυνσής του. Για τη δυναμική ενέργεια ενός σύρματος που επιμηκύνεται δεν ισχύει ότι και γι΄ αυτή ενός ελατηρίου που επιμηκύνεται;

Ελευθερία Νασίκα
Αρχισυντάκτης

Διονύση, αυτοί που πηγαινοέρχονται μεταξύ θάλασσας και σπιτιού συγκαταλέγονται σε αυτούς που μένουν ή σε αυτούς που φεύγουν;

Και τίθεται πάλι το ερώτημα: Πώς πέρασε το θέμα από τον πανεπιστημιακό-μέλος της επιτροπής; Γιατί το έβαλαν; Για να συνεχίσουμε να το διδάσκουμε λάθος και για τα επόμενα 15 χρόνια;

Καλημέρα και καλό ΣΚ σε όλους τους φίλους, από μια συννεφιασμένη και αρκετά δροσερή …πρωτεύουσα του κάμπου (ένας είναι Ο κάμπος)!

Νίκος Παναγιωτίδης

Η επιμήκυνση, Διονύση, είναι αυτή που προκαλεί το εγκάρσιο κύμα. Υποτίθεται ότι το φυσικό μήκος είναι αυτό που έχει η χορδή σε ηρεμία. Το αρχικό τέντωμα θεωρείται μικρό. Αλλιώς προσθέτουμε το αρχικό τέντωμα με αυτό που προκαλεί το κύμα. Στην εξίσωση που δίνω για το Δl, εκείνη με το ολοκλήρωμα, φαίνεται καθαρά ότι το Δl είναι συνάρτηση του t.

Έχω αμφιβολίες αν η δυναμική ενέργεια είναι το γινόμενο της επιμήκυνσης επί μια σταθερή δύναμη. Τη στιγμή που άρχισε η χορδή να επιμηκύνεται η δύναμη ήταν ή ίδια με αυτή που ασκούταν όταν ολοκληρώθηκε η επιμήκυνση;

 

 

Νίκος Παναγιωτίδης

Δε θα επιμείνω στη θέση μου. Όταν η χορδή είναι σε κατάσταση ηρεμίας και είναι καλά τεντωμένη, το επιπλέον τέντωμα που προκαλεί το εγκάρσιο κύμα είναι μικρό. Σ΄ αυτή την περίπτωση η τάση θεωρείται σταθερή και η ενέργεια του κύματος (η δυναμική) είναι το γινόμενο της τάσης επί την επιμήκυνση.

Αλλά θέλω να κάνω κάποιες άλλες παρατηρήσεις στο τρόπο που υπολογίζετε τη δυναμική ενέργεια:

Δεν είναι σωστό να κάνουμε τη δυναμική ενέργεια στοιχειωδών τμημάτων της χορδής να εξαρτάται από την κλίση (την παράγωγο dy/dx). Η σωστή τακτική κατά τη γνώμη μου είναι η εξής: για κάθε στοιχειώδες τμήμα υπολογίζουμε την επιμήκυνση από την παράγωγο, ολοκληρώνουμε τις επιμηκύνσεις σ΄ όλη τη χορδή ώστε να βρούμε τη συνολική επιμήκυνση της χορδής, από τη συνολική επιμήκυνση της χορδής βρίσκουμε τη δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης όλης της χορδής και θεωρούμε ότι αυτή η ενέργεια κατανέμεται ισότιμα σε όλα τα τμήματα της χορδής (δηλ. η μεταβολή της U σε ένα τμήμα της χορδής να είναι ανάλογη του μήκους του).

Επίσης καλό είναι να γενικεύουμε όσο είναι δυνατό. Εγκάρσια μετατόπιση σημαίνει ότι κάθε σημείο της χορδής κινείται κάθετα στο x-άξονα. Αυτό δε σημαίνει κατ΄ ανάγκη ότι κινείται κατά την y κατεύθυνση.

Τέλος, εγκάρσιο κύμα σημαίνει εγκάρσια παραμόρφωση της χορδής που δεν είναι κατ΄ ανάγκη τριγωνομετρικής μορφής. Εν γένει κύμα είναι άθροισμα δυο συναρτήσεων: μια με όρισμα vt-x (οδεύον) και μια με όρισμα vt+x (επιστρέφον ή ανακλώμενο).