by 
Έστω ότι σε ένα ελαστικό μέσο, μια χορδή, έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα με εξίσωση:
Όπως αυτό που μελετά το σχολικό βιβλίο.
Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής θα έχει κινητική ενέργεια, εξαιτίας της ταχύτητας ταλάντωσης και μια δυναμική ενέργεια, εξαιτίας της παραμόρφωσης που υπόκειται.
Με βάση την αντίστοιχη μελέτη πάνω σε ένα τρέχον κύμα, που έγινε στην ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα», για τις ενέργειες αυτές θα έχουμε:
Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής μήκους dx και μάζας m1=dm=μdx έχει κινητική ενέργεια:
Διαβάστε τη συνέχεια...
ή
Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.
Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.
Διονύση καλημέρα. Έχεις δίκιο. Το ζήτημα όμως είναι το εξής. Πως αντιμετωπίζουμε τέτοιες ασκήσεις στο σχολείο?Λέμε παιδιά αυτή ειναι η σωστή λύση αυτή η λάθος αλλά αν σας ζητηθεί κάτι τέτοιο γράψτε την λάθος? Κάθε φορά που διδάσκω φθίνουσες ,διακρότημα κλπ έχω ένα κόμπο στο λαιμό. Να μη πώ για εκθετική μείωση ενέργειας? Να μην πω για περίοδο ταλάντωσης στο διακρότημα? Πως θα καλύψω τους μαθητές μου σε περίπτωση ατοπήματος από την εξεταστική?
Αγαπητέ Διονύση,
αν με τη "σχεδιαστική σχολή" αναφέρεσαι στη μια από τις δυο κατηγορίες στις οποίες έχω χωρίσει τους φυσικούς του δικτύου, σου υπενθυμίζω ότι αυτές είναι η "Μαθηματική σχολή" και η "Σχηματική σχολή". Οφείλουμε να τηρούμε τις ονοματολογίες στο ακέραιο
.
Επίσης παρατηρώ περιχαρής ότι με τον "ορθό δρόμο" τα πας πολύ καλά, παίρνεις δε άριστα στον ολοκληρωτικό λογισμό.
Και σαν τελική παρατήρηση: εγώ εξέφρασα ένα σκεπτικισμό και όχι ολοκληρωτική απόρριψη του μοντέλου που προτείνεις. Περίμενα ότι θα έδινε έναυσμα για συζητήσεις με επιχειρήματα υπερ της μιας ή της άλλης άποψης και απογοητεύτηκα που αυτό δεν έγινε.
Καλησπέρα Γιώργο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Το θέμα είναι να αναδειχτεί το σωστό και το λάθος και να γίνει κτήμα των διδασκόντων, που όπως αποδείχτηκε με τα θέματα των τελευταίων εξετάσεων, δεν ισχύει….
Δεν είναι δυνατόν να υπάρχει ολόκληρη ΚΕΕ και να μην βρίσκεται ΕΝΑΣ άνθρωπος να κτυπήσει καμπανάκι και να πει, εδώ υπάρχει πρόβλημα!
Προφανώς οι πρόσφατες αναρτήσεις μου στα κύματα, δεν αποτελούν διδακτικές προτάσεις
, αλλά μια προσπάθεια να υποστηριχθούν κάποια πράγματα, σε αντιδιαστολή με την περιρρέουσα ατμόσφαιρα. Αν αυτό γίνει ίσως στο μέλλον αποφύγουμε να διδάσκουμε και να εξετάζουμε το λάθος…
Όταν δίδασκα, πάντα τόνιζα ότι η ΑΑΤ τελειώνει στη σελίδα με τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις και όλα τα υπόλοιπα δεν είναι ΑΑΤ. Πάντα πίεζα να χρησιμοποιούν τις εξισώσεις x, υ και α και όχι ΑΔΕΤ
! σε κάθε άλλη περίπτωση (και στα κύματα).
Όμως πάντα τόνιζα επίσης, ότι το σχολικό ονομάζει ΑΑΤ και την εξαναγκασμένη και την κίνηση υλικού σημείου στα κύματα και αν ζητηθεί στις εξετάσεις να μην έχουν κανένα πρόβλημα και να το αντιμετωπίσουν σαν ΑΑΤ.
Καλησπέρα Νίκο.
Δεν διεκδίκησα ποτέ δάφνες θεωρητικού φυσικού, άλλωστε πάντα δήλωνα ότι "στην Πλάτωνος και Αριστοτέλους γωνία" εγώ στεκόμουν στο πεζοδρόμιο της Αριστοτέλους…
"Σχεδιαστική σχολή" ή "Σχηματική σχολή" δεν είναι δικές μου κατατάξεις, αλλά δεν νιώθω "ριγμένος" με τον χαρακτηρισμό.
Το αν στην παραπάνω ανάρτηση προχώρησα σε μαθηματικές αποδείξεις, το έκανα, αφού τα ίδια πράγματα έχω γράψει "σχηματικά" από τον Ιανουάριο του 2011, αλλά δεν βλέπω να άλλαξε και κάτι.
Είπα λοιπόν να κάνω ένα βήμα προς την "Πλάτωνος" και να "φωνάξω" και από εκεί, αφού υπάρχουν πολλοί, που δεν ακούνε ότι έχει προέλευση από "Αριστοτέλους"…
Άλλωστε και τότε, αν ρίξετε μια ματιά εδώ, θα δείτε να υπάρχει υστερόγραφο με την μαθηματική απόδειξη, που στηρίζεται στο βιβλίο του OXANIAN.
Τώρα αφορμή στάθηκαν οι παραδόσεις του Κώστα Ευταξία στο ΕΚΠΑ.
ΥΓ.
Την είδα τώρα, αφού στην αντίστοιχη ανάρτηση στο δίκτυο, δεν υπάρχει…
Προς επιβεβαίωση των παραπάνω:
"«Στην διασταύρωση Πλάτωνος και Αριστοτέλους πάντα κάθομαι από την μεριά της Πλάτωνος.»
Οπότε για να μιλήσουμε και με ανοικτά χαρτιά, αυτά που θα γράψω, προέρχονται από κάποιον που κάθεται από τη μεριά της Αριστοτέλους!
Έτσι μπορούμε να έχουμε και κάποια ισορροπία στην κουβέντα μας:-)!!!"
Από ανταλλαγή επιχειρημάτων με το Βαγγέλη Κορφιάτη, εδώ.
Κάθε νέος φυσικός, Διονύση, χρειάζεται τα σχήματα γιατί πρέπει να πατάει κάπου. Αλλά η φυσική αυτού του είδους δεν είναι τόσο καλή γιατί δεν οδηγεί σε ασφαλή συμπεράσματα. Αντίθετα, αν κάνουμε μαθηματική φυσική η οποία να βασίζεται σε κάποιες σίγουρες αρχές τις φυσικής, θα καταλήξουμε σε ασφαλή συμπεράσματα έστω κι αν χρησιμοποιήσουμε προσεγγίσεις.
Ασφαλές συμπέρασμα είναι όταν αυτό που προβλέπεις πραγματοποιείται στη φύση. Όταν χρησιμοποιείς μοντέλα, επειδή δεν ξέρεις πόσο καλά εκφράζει την πραγματικότητα το συγκεκριμένο μοντέλο που έχεις στο μυαλό σου, υπάρχει ο κίνδυνος η πρόβλεψή σου να ξεφύγει από την πραγματικότητα. Γι΄ αυτό κάθε πρόβλεψη που γίνεται στη βάση κάθε μοντέλου, πρέπει να ζητά πειραματική επαλήθευση. Ακόμα κι αν το πείραμα πετύχει, δεν μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι έχουμε το σωστό μοντέλο. Αλλά, αν αποτύχει, το μοντέλο είναι λάθος.
Το συγκεκριμένο σύστημα που μελετάμε, τα εγκάρσια κύματα σε χορδή, θα μπορούσαμε να το μελετήσουμε χωρίς μοντέλο. Οι μέθοδοι της μαθηματικής φυσικής δείχνουν το δρόμο για να προβλέψουμε τις κινήσεις των σημείων της χορδής δοσμένης κάποιας αρχικής συνθήκης και δυο οριακών συνθηκών. Μαθηματικά το πρόβλημα είναι πολύ δύσκολο. Αν όμως το λύναμε θα μπορούσαμε να προβλέψουμε την κίνηση κάθε στοιχείου dx της χορδής, θα μπορούσαμε επομένως να προβλέψουμε τη συνάρτηση της δυναμικης του ενέργειας με το χρόνο. Προσωπικά πιστεύω ότι δεν θα καταλήγαμε στα ίδια συμπεράσματα με αυτά της απλής μεθόδου που εισηγείσαι.
Καλησπέρα Νίκο.
Το εκλαμβάνω ως φιλοφρόνηση, αφού με θεωρείς "νέο φυσικό" που στηρίζεται στα σχήματα
Μακάρι να ήμουν καμιά 30ρια χρόνια νεώτερος και ας μην μπορούσα να υπολογίσω την ενέργεια με ολοκλήρωμα
Στα σοβαρά τώρα.
Χρησιμοποιούμε πρότυπα, πάνω στα οποία καταστρώνουμε τις εξισώσεις μας. Πάντα αυτό κάνουμε.
Κάθε πρότυπο, έχει τα υπέρ και τα κατά του. Κάποιους παράγοντες τους θεωρούμε βασικούς, λαμβάνοντάς τους υπόψη μας, κάποιους άλλους τους θεωρούμε αμελητέους και τους αγνοούμε. Μόνο έτσι μπορούμε να δουλέψουμε με μαθηματικά. Αλλιώς οι εξισώσεις δεν λύνονται…
Μπορεί ένα πρότυπο, όπως αυτό που (το έκαναν άλλοι, πολύ πριν από μένα…) "προτείνω", να ερμηνεύει ικανοποιητικά κάποιες περιπτώσεις και σε κάποιες άλλες να αποτυγχάνει. Όπου αποτύχει, εκεί προφανώς θα χρειαστεί ένα τροποποιημένο πρότυπο, που με άλλες εξισώσεις, θα περιγράψει την πραγματικότητα.
Για παράδειγμα, στη χορδή που μελετάμε τα κύματα, προφανώς μπορούμε να έχουμε και ταχύτητες στη διεύθυνση της χορδής. Ή για να θυμηθώ μια πειραματική διάταξη, που μας είχε μοιράσει το ΕΚΦΕ Αργυρούπολης, πριν 5-6 χρόνια, τα στάσιμα ήταν "κυκλικά" με την έννοια ότι η χορδή περιστρεφόταν από δύο κινητηράκια και βέβαια δεν είχαμε καμιά ταλάντωση σε ένα επίπεδο, όπως αυτό που μελετάμε στη θεωρία…
ή καλύτερα υπάρχει στα σχόλια.
Κάποια στιγμή την έγραψα σε σχόλιο…
Τελικά Διονύση είχε μεγάλη συνέχεια η ιστορία με τη χορδή…
πολύ καλό όμως
Διονύση
Παραλλαγές στο ίδιο θέμα μεν…
εξαιρετικής αισθητικής δε , η νέα παραλλαγή, και απόλυτης σαφήνειας.
Σε ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ
Υ.γ. Το 2ο σχόλιο σου είναι …"όλα τα λεφτά" … Το να βλέπει κανείς το ολοκλήρωμα ως συνάρτηση ή ως εμβαδό είναι καλό και ακόμα καλύτερο να βλέπει και τα δυο πίσω από το "όρθιο σκουλικάκι" … Και ακόμα καλύτερα να έχει την "αίσθηση του μέτρου", σε κάθε διδακτικτική προσέγγιση μαθηματικής ή γεωμετρικής περιγραφής φυσικών φαινομένων ( ή και των ιδεων για τη φύση ) … και εδώ ακριβώς υποκλίνομαι, Διονύση , στις δεξιότητές σου
Διονύση έχεις απόλυτο δίκιο σε αυτό που λες. Πολύ συχνά απλοποιούμε ένα φυσικό σύστημα με ένα πρότυπο. Το πρότυπο κρατάει αυτό που είναι ουσιαστικό, που είναι πρωτεύον για το σύστημα που μελετάμε και πετάει έξω το δευτερεύον. Καταλήγουμε έτσι σε εξισώσεις που δουλεύονται και μέσω αυτών μελετάμε το σύστημα. Όμως πρέπει να γίνει και το πείραμα για να επαληθευτεί το πρότυπο.
Ας μελετήσουμε λίγο το δικό σου πρότυπο. Οι γραμμικές εξισώσεις που ξέρουμε για το εγκάρσιο κύμα σε χορδή είναι σωστές υπό την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση y(x,t) που περιγράφει έχει μικρές κλίσεις. Έστω ότι σε ένα δεδομένο εγκάρσιο κύμα, οι κλίσεις αυτές είναι της τάξεως της 1 μοίρας.
Αφού δέχεσαι ότι το πρότυπό σου είναι προσέγγιση, σε ρωτάω το εξής: ποιάς τάξεως μεγέθους είναι οι αποκλίσεις της μετατόπισης από την καθετότητα;
Αν είναι πολύ μικρότερες της 1 μοίρας, έχεις καλό πρότυπο. Αλλά, υπέθεσε ότι ένα δεδομένο τμήμα dx έχει μια δεδομένη χρονική στιγμή κλίση +1 μοίρα και κινήθηκε από την αρχική θέση που είχε στον άξονα των x, όχι σε κατεύθυνση 90 μοίρων ως προς τον άξονα, όπως είναι στο πρότυπο, αλλά 91 μοιρών. Λοιπόν αυτό το κομμάτι αντί για επιμήκυνση θα έχει επιβράχυνση!
Η θεωρία λέει ότι η στοιχειώδες δύναμη που ασκείται σε κάθε στοιχειώδες τμήμα και το κάνει να κινείται εγκάρσια, είναι συνέχεια κάθετη στην εφαπτόμενη διεύθυνση στο τμήμα. Πρέπει λοιπόν να περιμένουμε ότι το διάνυσμα μετατόπισης του τμήματος σχηματίζει με τον y-άξονα μια γωνία της τάξεως της γωνίας που σχηματίζει το κινούμενο στοιχειώδες τμήμα με τον x-άξονα. Αν αυτό ισχύει, το πρότυπό σου δεν αποτελεί καλή προσέγγιση.
Καλημέρα Τάσο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό. Να είσαι καλά.
Καλημέρα Μήτσο και σε ευχαριστώ για τον καλό σου λόγο. Ναι, παραλλαγή, αλλά όχι ακριβώς στο ίδιο θέμα. Πήγαμε στο στάσιμο, μήπως και γίνει πιο καθαρό το τοπίο…
Καλημέρα Νίκο.
Πάλι βλέπω να μην σου αρέσει το "πρότυπό μου"
Βρε Νίκο, ποιος είμαι εγώ που θα προτείνω πρότυπο;
Το πρότυπο αυτό διδάσκεται σε όλα τα Πανεπιστήμια, δεν το προτείνω εγώ, εγώ απλά προσπάθησα με τη βοήθειά του να αναδείξω κάποια πράγματα…
Όσον αφορά τα περί μιας μοίρας, δεν κατάλαβα που το πας και γιατί ισχύει για κάτω από τη 1° και όχι μετά…
Η προσέγγιση που κάναμε είναι στη σειρά Taylor. Εκεί κρατήσαμε το μέρος 1+ 1/2 (dy/dx)^2. Ο επόμενος είναι το 1/8 (dy/dx)^4!
Ακόμη και αν dy/dx=0,1 (όπως έκανα στη ανάρτηση με τον τριγωνικό παλμό) δεν βλέπω να υπεισέρχεται μεγάλο σφάλμα στην προσέγγιση…
Αλλά για να μην χαθούμε στα σφάλματα, κοιτάζοντας το δέντρο και χάνοντας το δάσος.
Το πρότυπο της χορδής προτείνεται για να μελετηθεί η διάδοση μιας ήπιας διαταραχής κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, χωρίς αλλαγή στη μορφή της διαταραχής. Μιας διαταραχής που προβλέπει εγκάρσια απομάκρυνση, κάθετη στη διεύθυνση του μέσου. Και νομίζω ότι οδηγεί μια χαρά στη διαφορική εξίσωση που πρέπει να ικανοποιεί, ενώ διαπραγματεύεται επίσης πολύ καλά το τι συμβαίνει με τις ενέργειες.
Διαθέτουμε έτσι ένα (για μένα πολύ καλό) πρότυπο για να κατανοήσουμε τι συμβαίνει κατά την διάδοση ενός εγκάρσιου κύματος
Από κει και πέρα το να ψάχνουμε να βρούμε τις αδυναμίες του μου θυμίζει σαν να προσπαθούμε να απαντήσουμε πόσοι άγγελοι χωράνε στο κεφάλι μιας καρφίτσας
Διονύση, αν δεν μπορώ να σε πείσω με τα επιχειρήματά μου είναι γιατί δεν καταλαβαίνεις τι λέω. Πχ εσύ θεωρείς ότι λέω πως το πρότυπο είναι καλό για κάτω από 1 μοίρα και όχι για πάνω. Αλλά δε λέω αυτό. Αυτό που λέω είναι το εξής: Έστω ότι οι κλίσεις των τμημάτων της χορδής είναι της τάξεως της 1 μοίρας. Καθώς τα σημεία της χορδής κινούνται εγκάρσια, οι κινήσεις τους περιμένουμε να έχουν μια μικρή διαφορά από τις 90 μοίρες. Αν αυτή η διαφορά είναι πολύ μικρότερη από τη 1 μοίρα, το πρότυπο δουλεύει καλά. Όμως αν δεν διαφέρει πολύ από τη 1 μοίρα, δεν δουλεύει καλά. Για παράδειγμα, έστω ένα κομμάτι dx που μια δεδομένη χρονική στιγμή έχει κλίση 1 μοίρα. Αν η μετακίνηση αυτού του κομματιού από τον άξονα έγινε όχι σε γωνία 90 μοίρες ως προς αυτόν αλλά σε γωνία 91 μοίρες, τότε αντί για την επιμήκυνση που προτείνεις υπάρχει επιβράχυνση.
Αυτά που γράφω μπορείς να τα καταλάβεις με σχηματικές μεθόδους.
Δεν θα γράψω άλλα σήμερα ούτε και τις επόμενες 8 μέρες. Αλλά σκέψου αυτά που σου έγραψα και ίσως καταλάβεις ότι κάπου έχω δίκιο.
Καλό μήνα Νίκο.
Από ότι καταλαβαίνω, φεύγεις για διακοπές.
Καλά να περάσεις
Λοιπόν, Θωμάς Ακινάτης δεν φιλοδοξώ να γίνω, ούτε να ασχοληθώ με τον αριθμό των αγγέλων (όπως έγραψα παραπάνω), που χωράνε στη μύτη ή στο κεφάλι μιας καρφίτσας