by 
Μεταφέρω παρακάτω τα σχόλια που γράφτηκαν, στην ανάρτηση του Θοδωρή Παπασγουρίδη, πάνω στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, χωρίς απόσβεση, αφαιρώντας τα από εκεί, αφού δεν συνδέονται με την παρουσίαση.
Το θέμα μπαίνει για συζήτηση στο φόρουμ.
Ας συνεχιστεί η συζήτηση εδώ.
02/09/2017 at 12:12 πμ (Edit)
Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, στο σύστημα προσφέρεται συνεχώς ενέργεια με συχνότητα f μέσω της διεγείρουσας δύναμης. Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό.
Αγαπητοί συνάδελφοι, συνήθως δεν παρεμβαίνω σε συζητήσεις σχολικής φυσικής, έχω πολλά χρόνια να διδάξω φυσική λυκείου, αλλά τώρα, καθώς διάβαζα το ppt του Θοδωρή, βγήκα από τα ρούχα μου διαβάζοντας το κείμενο που παραθέτω παραπάνω. Έτσι μπήκα στον πειρασμό να κάνω την παρέμβαση και θα ήθελα να ξέρω ποιοί θα συμφωνήσουν με τη θέση μου.
Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα κάνει εξαναγκασμένες ταλαντώσεις όχι στη συχνότητα συντονισμού. Από το πείραμα ξέρουμε ότι το πλάτος θα είναι σταθερό.
Σύμφωνα με το συγγραφέα του βιβλίου, η σταθερότητα του πλάτους οφείλεται στις απώλειες, όπως ακριβώς συμβαίνει στη περίπτωση του συντονισμού. Σύμφωνα με τη φυσική που ξέρω εγώ αυτό είναι λάθος.
Όταν στο σώμα ασκείται αρμονική δύναμη όχι στη συχνότητα συντονισμού, το σώμα κάνει βέβαια αρμονική κίνηση. Υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στην αρμονική δύναμη και στην αρμονική κίνηση: έχουν διαφορά φάσης π/2. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα η μεν στιμιαία ισχύς να μην είναι μηδέν (είναι άλλωτε θετική και άλλωτε αρνητική) η δε μέση ισχύς στην περίοδο να είναι ακριβώς μηδέν. Αυτό είναι ο λόγος που η μέση τιμή της παρεχόμενης ενέργειας από τον φορέα της δύναμης στον ταλαντωτή είναι μηδέν.
Όταν ο ταλαντωτής έχει απώλειες και η συχνότητα της δύναμης πλησιάζει τη συχνότητα συντονισμού, η διαφορά φάσης δύναμης-κίνησης μικραίνει και τείνει στο 0 στη συχνότητα συντονισμού. Δηλαδή σε ένα μικρό μόνο διάστημα συχνοτήτων γύρω από το συντονισμό υπάρχει μεταφορά ενέργειας από τον φορέα της δύναμης στον ταλαντωτή.
02/09/2017 at 1:07 πμ (Edit)
Νίκο καλησπέρα, να σημειώσουμε ότι η φράση:
“Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, στο σύστημα προσφέρεται συνεχώς ενέργεια με συχνότητα f μέσω της διεγείρουσας δύναμης. Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό.”
προέρχεται από το σχολικό….
Μπορώ να επιβεβαιώσω ότι η αρμονική δύναμη ΔΕΝ μπορεί να είναι συμφασική με την
απομάκρυνση. Γιατί όμως πρέπει να έχουν διαφορά φάσης π/2;
Απ’ όσο θυμάμαι, αν η εξωτερική δύναμη είναι F=Fmaxημωt τότε η απομάκρυνση
θα δίνεται από τη σχέση: χ=Αημ(ωt-θ) όπου η διαφορά φάσης θ υπολογίζεται από τη σχέση:
02/09/2017 at 1:27 πμ (Edit)
Θοδωρή υποθέτω ότι ο τύπος που έγραψες για το θ, ισχύει στο συντονισμό σε ταλαντωτή με απόσβεση.
Είναι δυνατόν αν αποδειχτεί μαθηματικά ότι: στο ιδανικό σύστημα ελατήριο-μάζα και εκτός της συχνότητας συντονισμού υπάρχει διαφορά φάσης π/2 και -π/2 ανάλογα με το αν η συχνότητα είναι μικρότερη η μεγαλύτερη της συχνοτητας συντονισμού. Στη συχνότητα συντονισμού είναι 0. Που το βρήκα; δεν είμαι σίγουρος. Ίσως κάπου το διάβασα, ίσως το βρήκα μόνος μου. Ίσως καταφέρω να δώσω σύντομα μια απόδειξη.
Στο σύστημα με απόσβεση αυτές οι διαφορές φάσης έχουν απόλυτες τιμές λίγο μικρότερες του π/2.
Πιστεύω ότι ο συγγραφέας αυτής της παραγράφου του σχολικού βιβλίου δεν το έχει υπόψη του αυτό το πράγμα. Θα οδηγήση το μαθητή να αποκτήσει την λανθασμένη αντίληψη ότι στον ιδανικό ταλαντωτή ο φορέας της δύναμης παρέχει ενέργεια ακόμα και εκτός της συχνότητας συντονισμού. Αυτό μπορεί να συμβαίνει στον ταλαντωτή με απώλειες, αλλά όχι στον ιδανικό ταλαντωτή. Σ΄ αυτόν η διεγείρουσα δύναμη δεν αυξάνει το πλάτος της ταλάντωσης αυού η προσφερόμενη ενέργεια έχει μηδενική μέση τιμή.
Καλημέρα Νίκο.
Μάλλον έχεις στο μυαλό σου εξαναγκασμένη χωρίς b, χωρίς απώλειες.
Δεν μπορεί να έχουμε απώλειες και σταθερό πλάτος ταλάντωσης και η μέση ισχύς της διεγείρουσας δύναμης να είναι μηδενική.
Και το ερώτημα είναι:
Υπάρχει εξαναγκασμένη χωρίς απώλειες με σταθερό πλάτος, εκτός συντονισμού και πολύ περισσότερο σε συντονισμό;
02/09/2017 at 10:43 πμ (Edit)
Και το ερώτημα είναι:
Υπάρχει εξαναγκασμένη χωρίς απώλειες με σταθερό πλάτος, εκτός συντονισμού και πολύ περισσότερο σε συντονισμό;
Εμφανέστατα όχι.
Χωρίς ανάλυση, με μια προσομοίωση.
Βάλτε μηδενική απόσβεση και συχνότητα διαφορετική αυτής του συντονισμού. Θα φανεί καθαρά.
Η μικρή μου παρέμβαση γίνεται για όσους φίλους έχουν χάσει το τότε σήριαλ.
Η προσομοίωση είναι παλιά και μεγάλης ακρίβειας. Δεν είναι άποψη ή προϊόν προγραμματισμού.
02/09/2017 at 10:13 πμ (Edit)
Καλημέρα Διονύση, αφού “ρωτάς” πρέπει να σου απαντήσουμε και να θυμίσουμε άλλη
μια παρανόηση που επικρατεί , την οποία δεν συμπεριέλαβα για να μην δημιουργήσω
επιπλέον σύγχυση , όπως δεν συμπεριέλαβα την εκθετική μείωση του “πλάτους”
στη φθίνουσα….
Έχει αναλυθεί στο βιβλίο του Θρασύβουλου και έχει συζητηθεί εκτενώς στο υλικονετ,
πως όταν δεν υπάρχει απόσβεση, δηλαδή όταν b=0, η εξίσωση κίνησης προκύπτει
από τη σύνθεση δύο αρμονικών εξισώσεων, όπου η μία έχει συχνότητα ωο,
δηλαδή την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, ενώ η άλλη έχει ω, εκείνη του διεγέρτη.
Δεν υπάρχει μεταβατικό στάδιο και δεν εκτελούνται ταλαντώσεις με σταθερό πλάτος
Ελπίζοντας ότι δεν κάνω κατάχρηση δικαιώματος, δίνω στον επόμενο σύνδεσμο,
τις διαφάνειες από την παρουσίαση του Θρασύβουλου στο Βόλο
02/09/2017 at 10:39 πμ (Edit)
Καλημέρα Διονύση.
Στο σχολικό βιβλίο υποθέτω εννοούμε ότι έχουμε “εξαναγκασμένη ταλάντωση στον ιδανικό ταλαντωτή”. Όταν πρόκειται για ταλαντωτή με απόσβεση πρέπει να διευκρινίζεται. Και κανονικά, για να μην μπερδεύεται ο μαθητής, πρέπει σε κάθε πρόταση που γίνεται πάνω στην εξαναγκασμένη ταλάντωση να διευκρινίζεται αν η πρόταση αφορά τον ιδανικό ταλαντωτή ή αυτόν με απώλειες. Για τη συγκεκριμένη πρόταση που με έκανε να γράψω αυτά τα σχόλια, υπέθεσα ότι αφορά τον ιδανικό ταλαντωτή. Ενδεχομένως να έκανα λάθος και ο συγγραφέας να εννοούσε τον ταλαντωτή με απώλειες.
Πάντως, επειδή τα θέματα της παρεχόμενης ισχύος από την πηγή στον ταλαντωτή καθώς και της διαφοράς φάσεως μεταξύ της διεγείρουσας δύναμης και της ταχύτητας δεν είναι καλά γνωστά, έκανα μια σχετική ανάλυση και την παραθέτω.
02/09/2017 at 9:19 μμ (Edit)
Συνάδελφοι, έπρεπε να διαβάσω το κείμενο του Θοδωρή για να καταλάβω ότι είμαι λίγο "εκτός". Διαπιστώνω ότι η εξαναγκασμένη ταλάντωση διδάσκεται για ταλαντωτή με απόσβεση. Κι αυτό με εκπλήσσει δεδομένου ότι η ΑΑΤ διδάσκεται για ιδανικό ταλαντωτή.
Θα ήθελα να συζητήσουμε γιατί να μην διδάσκεται η εξαναγκασμένη ταλάντωση για ιδανικό ταλαντωτή. Όταν η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης είνιαι διαφορετική από τη συχνότητα συντονισμού δεν χρειάζεται να θεωρήσουμε την απόσβεση γιατί, είτε υπάρχει απόσβεση είτε δεν υπάρχει, ο ταλαντωτής κάνει ταλαντώσεις σταθερού πλάτους. Ο τύπος που δίνει το πλάτος είναι απλούστερος όταν δεν υπάρχει απόσβεση.
Στη συχνότητα συντονισμού είναι διαφορετικά τα πράγματα. Όταν δεν υπάρχει απόσβεση υπάρχει μια συνεχής αύξηση του πλάτους. Η απόσβεση εδώ είναι κρίσιμη γιατί δρά σαν σταθεροποιητής του πλάτους. Η "ειδοποιός διαφορά" του ταλαντωτή με απόσβεση και αυτού χωρίς φαίνεται μόνο στη συχνότητα συντονισμού.
Επίσης θεωρώ ουσιαστικό να διδαχθεί ο μαθητής ότι στον ιδανικό ταλαντωτή και σε συχνότητα διαφορετική αυτής του συντονισμού, ο ταλαντωτής κάνει ταλαντώσεις σταθερού πλάτους γιατί η μέση παρεχόμενη ενέργεια είναι μηδέν. (από τα γραφόμενα στο βιβλίο ίσως θεωρήσει ότι και εκτός συχνότητας συντονισμού ο ιδανικός ταλαντωτής απορροφάει συνεχώς ενέργεια από τον διεγέρτη).
03/09/2017 at 1:30 πμ (Edit)
Το κίνητρο να μπω στη συζήτηση που άνοιξες ήταν αυτή η πρόταση του βιβλίου:
Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, στο σύστημα προσφέρεται συνεχώς ενέργεια με συχνότητα f μέσω της διεγείρουσας δύναμης. Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό.
Διαβάζοντάς τη κάποιος συμπεραίνει ότι όταν η ενέργεια προσφέρεται σε σύστημα χωρίς απώλειες δεν αντισταθμίζεται. Αυτό θα οδηγούσε σε συνεχή αύξηση της ενέργειας του συστήματος. Όμως αυτό δεν ισχύει (εκτός αν είμαστε στη συχνότητα συντονισμού).
Διάβασα την παρουσίαση του Θρασύβουλου. Ο Θρασύβουλος τονίζει συνεχώς τις ανακρίβειες του σχολικού και δεν τον κατηγορώ γι΄ αυτό γιατί το ίδιο επάγγελμα κάνω και γω. Ο Θρασύβουλος πρόσθεσε στην απομάκρυνση του ταλαντωτή για b=0 τη λύση της ομογενούς ΔΕ (δηλ. τη λύση με συχνότητα ω) και πολύ καλά έκανε. Όμως οι υπόλοιποι όροι είναι λανθασμένοι. Ακόμα χειρότερα δεν γνωρίζει ότι η λύση για συχνότητα διεγέρτη ίση με τη συχνότητα συντονισμού είναι διαφορετική από αυτή για διαφορετική συχνότητα. Σ΄ αυτή την περίπτωση η κίνηση είναι καθαρά αρμονική. Στην προηγούμενη η κίνηση είναι το γινόμενο αρμονικού όρου επί t επί σταθερά.
Στη συχνότητα συντονισμού για b=0 δεν έχουμε άπειρο πλάτος. Έχουμε πλάτος γραμμικά αυξανόμενο με το χρόνο.
03/09/2017 at 8:35 πμ (Edit)
Καλημέρα Νίκο.
Δηλαδή λες ότι ο Θρασύβουλος έχει λάθος μαθηματική λύση;
Γράφοντας ότι στην εξαναγκασμένη χωρίς απόσβεση ισχύει η εξίσωση:
Κάνει λάθος;
Στο ότι για συχνότητα ω=ω0, πράγματι δεν είναι άπειρη, αλλά αυξάνεται ανάλογα το χρόνου, έχεις δίκιο. Αλλά σε αυτό που είχαμε συμφωνήσει παλιότερα ήταν ότι αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ποτέ κάποια σταθεροποίηση του πλάτος και μια ταλάντωση, όπως αυτή που όλοι έχουμε στο μυαλό μας, μια αρμονική ταλάντωση. Αν όμως περιμένουμε άπειρο χρόνο, να σταθεροποιηθεί το πλάτος, θα δούμε ότι αυτό …τείνει στο άπειρο (προφανώς αυτό δεν πρόκειται να γίνει στην πράξη, αφού πολύ πιο πριν το σύστημα θα έχει καταστραφεί. Ένα ελατήριο, πόσο μήκος να αποκτήσει;)
03/09/2017 at 9:03 πμ (Edit)
Επανέρχομαι Νίκο, αφού πρωί-πρωί κυριακάτικα
με βάζεις να ψάχνω.
Ο Θρασύβουλος, δεν είναι μέλος του δικτύου μας, αλλά δεν είμαστε και εχθροί
Δεν μου σκότωσε τον πατέρα, ούτε καν τον «παππού»!!!
Μπορεί να διαφωνήσαμε σε πολλά πράγματα, αλλά στο θέμα «μαθηματικές γνώσεις» νομίζω ότι ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ να κάνει λάθος.
Έτσι δοκίμασα με ένα i.p. Με τιμές ω0=10r/s και ω=8r/s παίρνουμε την εικόνα:
Η εικόνα δείχνει διακρότημα και επιβεβαιώνει πλήρως το Θρασύβουλο Μαχαίρα.
Το αρχείο i.p.
Απάντηση
03/09/2017 at 9:33 πμ (Edit)
Διονύση ρίξε μια ματιά εδώ.
Τώρα είμαι βιαστικός γιατί πρέπει να φύγω. Θα επανέλθω με περισσότερα.
03/09/2017 at 10:43 πμ (Edit)
Καλημέρα Νίκο, θα συμφωνήσω με το Διονύση, πως είμαι απόλυτα βέβαιος ότι
τα μαθηματικά του Θρασύβουλου είναι σωστά.
Έψαξα στα αρχεία μου και βρήκα ένα απόσπασμα από το βιβλίο του Θρασύβουλου
Νομίζω βοηθά τη συζήτηση
Επιπλέον ο Θρασύβουλος στην ιστοσελίδα του παρέχει τη δυνατότητα σε όποιον θέλει
να κατεβάσει το βιβλίο του και να βρει ότι θέλει
Νομίζω όμως ότι έχουμε ξεφύγει από το σχολιασμό της δικής μου παρουσίασης
και ασχολούμαστε με κάτι που εγώ επέλεξα να μην αναφέρω στην παρουσίαση
Αν λοιπόν Νίκο επιθυμείς να συνεχιστεί η συζήτηση, άνοιξε μια νέα όπου εκεί
όποιος θέλει μπορεί να τοποθετηθεί
03/09/2017 at 11:35 πμ (Edit)
Οι γραμμικές ΔΕ χωρίζονται σε ομογενείς και μη ομογενείς. Οι ομογενείς έχουν 0 στο δεξί μέλος ενώ οι μη ομογενείς έχουν μια συνάρτηση. Η ΔΕ των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων είναι μη ομογενής ενώ αυτή της ΑΑΤ ομογενής.
Αν έχουμε στο χέρι μας μια λύση μιας μη ομογενούς ΔΕ, αυτή λέγεται μερική λύση. Αν έχουμε επίσης και μια λύση της αντίστοιχης ομογενούς και την προσθέσουμε στην προηγούμενη, αυτό που προκύπτει είναι επίσης λύση της μη ομογενούς.
Οι συντελεστές της λύσης της ομογενούς προκύπτουν από αρχικές συνθήκες. Οι συντελεστές της λύσης της μη ομογενούς από τους συντελεστές της εξίσωσης.
Ο Θρασύβουλος έδωσε μια λύση της οποίας οι δυο πρώτοι όροι είναι λύση της ομογενούς για κάποιες άγνωστες αρχικές συνθήκες και ο τρίτος είναι μερική λύση. Φυσικα η συνάρτηση αυτή είναι λύση της εξίσωσης εξαναγκασμένων ταλαντώσεων για b=0 και συχνότητα διαφορετική της συχνότητας συντονισμού. Στη δική μου την ανάλυση έδωσα μόνο τη μερική λύση.
Επειδή οι δύο πρώτοι όροι στη λύση του Θρασύβουλου έχουν αρμονικές συναρτήσεις συχνότητας ω0 και ο τρίτος ένα ημίτονο στη συχνότητα ω, η συνύπαρξη των τριών αυτών όρων δημιουργεί διακρότημα.
Αυτό που παρέλειψε ο Θρασύβουλος είναι να κάνει μνεία της εξίσωσης που ισχύει για ω=ω0. Γιατί για ω=ω0 κάποιοι συντελεστές απειρίζονται επομένως απειρίζεται και η απομάκρυνση. Εκεί είναι το λάθος. Γιατί για ω=ω0 η εξίσωση έχει άλλη λύση που τη δίνω στην ανάλυσή μου. Η λύση είναι το γινόμενο μιας σταθεράς επί t επί το ημίτονο του ωt. Δηλαδή το πλάτος είναι ανάλογο του χρόνου.
Αυτό που συμβαίνει στο συντονισμό είναι ότι το πλάτος αυξάνει διαρκώς και είναι λάθος να λέμε ότι απειρίζεται.
03/09/2017 at 11:39 πμ (Edit)
Έχεις δίκιο Θοδωρή και νομίζω ότι αξίζει τον κόπο να ανοίξω καινούργια συζήτηση. Το κεφάλαιο των ταλαντώσεων βρίθει από παρανοήσεις και με τα κατάλληλα μαθηματικά θα μπορέσουμε να τις ξεδιαλύνουμε.
Καλημέρα παιδιά.
Ο Θρασύβουλος δεν κάνει λάθος. Και στην συνεχή αύξηση του πλάτους στον συντονισμό επιβεβαιώνεται και στην περίπτωση διακροτήματος.
Νίκο δες το βιβλίο του. Το προσφέρει πλέον δωρεάν στο διαδίκτυο. Έχει αυστηρή μαθηματική δομή.
Όλα όσα γράφει επιβεβαιώνονται από κάθε προσομοίωση. Δεν έχει (μάλλον) ούτε ορθογραφικά λάθη.
Γιάννη έκανα λάθος που με μια βιαστική ματιά θεώρησα ότι Θρασύβουλος έγραψε λάθος την εξίσωση. Άλλωστε, δίνοντας κάποιες αρχικές συνθήκες καταλήγει στο αποτέλεσμα που κατέληξα και γω στην ανάλυσή μου. Με μπέρδεψε ο συμβολισμός του (πχ δεν καταλάβαινα τι είναι εκείνο το ρ0 που τελικά είναι το πλάτος της δύναμης).
Το λάθος του Θρασύβουλου είναι ότι θεωρεί ότι η εξίσωση αυτή ισχύει και για ω διαφορετικό του ω0 και για ω=ω0. Αλλά δεν είναι έτσι.
Ετοιμάζω πλήρη ανάλυση του προβλήματος.
Όχι δεν θεωρεί κάτι τέτοιο. Δηλώνει σαφώς την διαφορά.
Έχει δώσει την εξίσωση όταν είναι ίδιες οι συχνότητες.
Σε συζήτηση του 2009 δόθηκε και η γραφική παράσταση.
Ο Σταύρος Λέτης την παραθέτει στο CD που συνοδεύει το βιβλίο.
Δες καλύτερα το βιβλίο. Έχει μεγάλη έκταση το θέμα.
Παρουσιαζω εδώ την ανάλυση των ενεργειακών προβλημάτων της εξαναγκασμένης ταλάντωσης που μόλις ολοκλήρωσα. Παρακαλώ να μου επισημάνετε τυχόν λάθη και παραλείψεις.
Η ανάλυση εδώ.
Καλημέρα Νίκο.
Γράφεις:
Τι ακριβώς λες; Ποιο το νόημα του συμπεράσματος;
Καλημέρα Διονύση
Ας πάρουμε άλλο παράδειγμα: σπρώχνεις ένα καρότσι σε οριζόντιο δρόμο κι αυτό επιταχύνεται. Λόγω των τριβών η αύξηση της ενέργειας του καροτσιού είναι μικρότερη απο την παρεχόμενη ενέργεια. Ομοίως και στο πρόβλημα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με απόσβεση.
Καλημέρα Νίκο.
Δεν λέει αυτό το συμπέρασμα που έχεις βάλει!
Και για να το ξεκαθαρίσουμε. Μιλάς μετά την αποκατάσταση μόνιμης κατάστασης και σταθερού πλάτους ή στη διάρκεια των μεταβατικών φαινομένων;