Λάθος λύση-Σωστό αποτέλεσμα

Μελετώντας το πρόβλημα με τις 4 ράβδους του Μανώλη Λαμπράκη στην περίπτωση που ασκούμε στο Γ σταθερή δύναμη F.

Το έργο της F γίνεται κινητική ενέργεια του συστήματος των 4 ράβδων. Τι κίνηση όμως κάνουν οι ράβδοι;; οι δύο  ΑΓ και ΑΔ  κάνουν περιστροφική και οι άλλες δύο ΒΓ και ΔΓ κάνουν σύνθετη κίνηση ..Σκέφτηκα να ύπολογίσω την κινητική ενέργεια ωσάν όλες οι ράβδοι να περιστρέφονται ως προς το ακίνητο σημείο Α. Αν και ήξερα πως αυτό είναι λάθος σκέφτηκα να κάνω τον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας θεωρώντας πως είναι μόνο περιστροφική κίνηση ως προς το Α. Υπολόγισα την ροπή αδράνειας του τετραγώνου ως προς το κέντρο του Κ με Steiner και στη συνέχεια υπολόγισα το Ι του συστήματος ως προς το Α ..Έκανα τους υπολογισμούς και ήμουν σίγουρος πως θα βρώ κάτι τελείως λάθος..Για μεγάλη μου έκπληξη το αποτέλεσμα που βρήκα ήταν σωστό ..

Από εκεί και πέρα άρχισαν τα δύσκολα , γιατί έπρεπε να εξηγήσω για πιο λόγο ένας τελείως λάθος τρόπος έδωσε σωστό αποτέλεσμα .

ΕΔΩ Η ΛΑΘΟΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΟΥ ΔΙΝΕΙ ΣΩΣΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

 

(Visited 723 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
15 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα Γιάννη,

Η ράβδος ΒΓ έχει στιγμιαίο άξονα περιστροφής το σημείο Ο που απέχει από το μέσο της:

x = α (5)/2.

Η ροπή αδράνειάς της ως προς Ο είναι:

Ιο = mα²/12 + mx² = 4mα²/3

και η κινητική της ενέργεια:

Κ = ½(4mα²/3)ω²

Έτσι η συνολική κινητική ενέργεια είναι:

Κολ = ½(4mα²/3)ω² + ½(4mα²/3)ω² + ½(mα²/3)ω² + ½(mα²/3)ω²    ή

Κολ = ½(10mα²/3)ω²

Τυχαίνει δηλαδή και βγαίνει ίδια με αυτή που υπολόγισες εσύ.

 

Γιάννης Μπατσαούρας
Γιάννης Μπατσαούρας
3 έτη πριν

Καλησπέρα Διονύση και σε ευχαριστώ για την πολύ αξιόλογη και κατανοητή εργασία σου. Δεν σκέφτηκα τον στιγμιαίο άξονα αλλά προσπάθησα κάπως διαφορετικά . Θα αναφέρω και την δική μου εργασία αν και δεν έχει την κομψότητα της δικής σου Διονύση.

Υπολόγισα την ταχύτητα ενός τυχαίου σημείου του συστήματος των 4 ράβδων και παρατήρησα πως το μέτρο της ταχύτητας  οποιουδήποτε σημείου Ζ του συστήματος που απέχει από το Α κατά ΖΑ=r  είναι  υ=ωr  όπου ω η γωνιακή ταχύτητα που είναι ίδια για όλες τις ράβδους..

Χώρισα το σύστημα σε στοιχειώδη τμήματα μαζών m1,m2, ….mν και υπολόγισα την κινητική του ενέργεια του συστήματος που βγήκε ..

Κ=Κ1+Κ2+….+Κν= 1/2Ι(Α)ωω

 

 

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα Γιάννη,

Μια ερώτηση:

Αν μας ζητούσαν τη στροφορμή του συστήματος των ράβδων ως προς Α θα μπορούσαμε να γράψουμε L=IAω;

Γιάννης Μπατσαούρας
Γιάννης Μπατσαούρας
3 έτη πριν

Καλημέρα Διονύση

Για το συγκεκριμένο σύστημα η στροφορμή είναι συνέχεια μηδέν (ΑΔΣ)

Ως προς το ερώτημα σου θεωρώ πως αναφέρεσαι στο σύστημα των ράβδων ΑΒ και ΒΓ.

Θεωρώ πως δεν ισχύει διότι για το μέτρο της ταχύτητας κάθε σημείου ισχύει υ=rω Tο διάνυσμα υ του τυχαίου σημείου Ζ (της ΒΓ) δεν είναι κάθετο στην ΑΖ.

Όμως από περιέργεια αν βρώ χρόνο θα κάνω τον υπολογισμό .

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα Γιάννη,

Αναφέρομαι στο σύστημα των 4 ράβδων του οποίου η στροφορμή ως προς Α είναι πράγματι μηδενική.

Έχεις ένα σύστημα 4 στερεών που δεν αποτελούν ενιαίο στερεό.

Εντούτοις υπολόγιζεις και χρησιμοποιείς τη ροπή αδράνειας I(A) του συστήματος αυτού ως προς Α.

Αν ο υπολογισμός που κάνεις είναι σωστός, τότε γιατί να μην ισχύει και η σχέση L = I(A)ω;

Πού είναι το λάθος;

Γιάννης Μπατσαούρας
Γιάννης Μπατσαούρας
3 έτη πριν

Καλησπέρα Διονύση 

Το πρόβλημα εστιάζεται στο τμήμα  ΒΓ και το συμμετρικό του.

Το Α δεν είναι άξονας περιστροφής για την ΒΓ .

Ωστόσο έχω δικαίωμα να υπολογίσω αθροιστικά την Κινητική Ενέργεια της ράβδου και το άθροισμα Σmrr αποτελεί το Ι(Α) .

Παρόλο που το Α δεν είναι άξονας περιστροφής το μέτρο της ταχύτητας κάθε σημείου Ζ της ΒΓ είναι ω(ΑΖ) χωρίς το διάνυσμα της ταχύτητας να είναι κάθετο στην ΑΖ..

Στην κινητική ενέργεια χρειάζομαι μόνο το μέτρο της ταχύτητας το οποίο είναι ω(ΑΖ)

Για τον υπολογισμό της στροφορμής χρειάζομαι και την διεύθυνση της ταχύτητας κάθε σημείου(ως εξωτερικό γινόμενο) οπότε ο υπολογισμός δεν οδηγεί σε κάτι αντίστοιχο..

 

 

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα Γιάννη,

Γράφεις ότι υπολόγισες τη "ροπή αδράνειας του συστήματος" ως προς τον άξονα που διέρχεται από Α.

Έχει νόημα να μιλάμε για ροπή αδράνειας συστήματος 4 σωμάτων που δεν αποτελούν ενιαίο στερεό, δεν στρέφονται ως ένα σώμα και κάνουν διαφορετικές κινήσεις;

Τί είδους ροπή αδράνειας είναι αυτή που μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε μόνο για την κινητική ενέργεια και όχι για τη στροφορμή; Γιατί την ονομάζεις "ροπή αδράνειας";

 

Γιάννης Μπατσαούρας
Γιάννης Μπατσαούρας
3 έτη πριν

Καλησπέρα Διονύση . 

Η Κινητική ενέργεια του συστήματος των 2 ράβδων  ΑΒ και ΒΓ μπορεί να υπολογιστεί ως άθροισμα των κινητικών ενεργειών των στοιχειωδών μαζών των ράβδων ..

Οι 2 ράβδοι έχουν αντίθετες γωνιακές ταχύτητες (ίσα μέτρα)

Κ(ΒΓ) =miriri)ωω  όπου ri η απόσταση τυχαίας  στοιχειώδους μάζας  από το Α

Η  ποσότητα εντός της παρένθεσης  ισούται με την Ι(Α) και αυτό δικαιολογεί γιατί προέκυψε σωστό αποτέλεσμα .

Ας θεωρήσουμε το στερεό των 2 ράβδων όταν είναι κάθετες . Οι δύο ράβδοι έχουν αντίθετες γωνιακές ταχύτητες και μπορούμε να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια με τον ίδιο τρόπο . διότι δεν μας ενδιαφέρει η φορά της ω αφού έχουμε ω^2.

Στον υπολογισμό της στροφορμής θα πρέπει να λάβουμε υπ όψιν και την φορά των γωνιακών ταχυτήτων οι οποίες είναι αντίθετες ..

Ελπίζω να απάντησα σε αυτό που ρωτάς ..προσπάθησα τουλάχιστον.

 

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα Γιάννη,

Σχολίασα την ανάρτησή σου για να απαντήσω στο ερώτημα που έθεσες:

«Από εκεί και πέρα άρχισαν τα δύσκολα, γιατί έπρεπε να εξηγήσω για ποιο λόγο ένας τελείως λάθος τρόπος έδωσε σωστό αποτέλεσμα …».

Επιμένεις όμως να αναφέρεσαι στη «ροπή αδράνειας της ράβδου ΒΓ, και γενικότερα του συστήματος των 4 ράβδων, ως προς τον άξονα που διέρχεται από το Α».

Έχω ήδη εξηγήσει από το πρώτο μου σχόλιο ότι για τη ράβδο ΒΓ ο στιγμιαίος άξονας περιστροφής διέρχεται από το σημείο Ο (και για τη ΓΔ αντίστοιχα από το Ο').

Το αποτέλεσμα που βρήκες ήταν κατά σύμπτωση σωστό διότι, τη στιγμή που ο ρόμβος των 4 ράβδων γίνεται τετράγωνο, τυχαίνει να εξισώνονται οι αποστάσεις ΜΟ και ΜΑ του μέσου Μ της ράβδου από τα σημεία Ο και Α αντίστοιχα (βλέπε αριστερό σχήμα).

Δεν σε προβληματίζει το γεγονός ότι η ταχύτητα του μέσου Μ (αλλά και κάθε άλλου σημείου) της ράβδου ΒΓ δεν είναι κάθετη στην ΜΑ, αλλά στη ΜΟ;

Στο δεξιό σχήμα απεικονίζεται ο ρόμβος μια τυχαία στιγμή.

Οι ράβδοι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ στρέφονται γύρω από άξονες που διέρχονται αντίστοιχα από τα σημεία Α, Ο, Ο' και Α, με αντίθετες εναλλάξ γωνιακές ταχύτητες ίδιου μέτρου ω.

Οι κινητικές τους ενέργειες είναι:

Κ1 = Κ4 = ½·ΙΑ·ω² = ½·(mα²/3)·ω²

Κ2 = Κ3 = ½·ΙΟ·ω² = ½·[ mα²/12 + m(MO)² ]·ω²

Πιστεύεις ότι είναι το ίδιο να χρησιμοποιήσεις τη «ροπή αδράνειας ως προς Α», αντί της ΙΟ , για τις ράβδους ΒΓ και ΓΔ;

 

 

Γιάννης Μπατσαούρας
Γιάννης Μπατσαούρας
3 έτη πριν

Καλημέρα Διονύση δεν διαφωνώ σε κάτι απ όσα λες .Και εγώ προσπαθώ να εξηγήσω "λογιστικά" το από σύμπτωση σωστό αποτέλεσμα .

Φυσικά και το διάνυσμα της ταχύτητα κανενός σημείου της ΒΓ δεν είναι κάθετο στην απόσταση του από το Α , ωστόσο το μέτρο της ταχύτητας κάθε τυχαίου σημείου Ζ  ισούται με υZ=ω(ΑΖ) , έχω κάνει σχετική απόδειξη αλλά δεν την έχω επισυνάψει .

Για την στροφορμή η σύμπτωση δεν εκδηλώνεται διότι στον υπολογισμό της στροφορμής παίρνει μέρος το διάνυσμα ω που είναι αντίθετο για τις ράβδους ΑΒ και ΒΓ.

Η μόνη ίσως διαφωνία είναι πως δεν βλέπω κάποιο λόγο που να απαγορεύει να μιλάει κάποιος για Ι ως προς το Α και στο αν έχω δικαίωμα να υπολογίσω αθροιστικά την κινητική ενέργεια του συστήματος και το άθροισμα Σmiriri να το ονομάσω ροπή αδράνειας ως προς Α. ;Όπου ri η απόσταση τυχαίου σημείου από το Α.

Γιάννης Μπατσαούρας
Γιάννης Μπατσαούρας
3 έτη πριν

Διονύση πάρε ένα τυχαίο σημείο Ζ της ΒΓ και υπολόγισε το μέτρο της ταχύτητας του . Προκύπτει υZ=ω(ΑΖ) .  

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα Γιάννη,

Η "λογιστική εξήγηση" που ζητάς είναι όπως σου έγραψα και πριν ότι,

τη στιγμή που ο ρόμβος γίνεται τετράγωνο, κάθε σημείο της ράβδου ΒΓ τυχαίνει να ισαπέχει από τα σημεία Α και Ο.

Η ταχύτητα ενός τυχαίου σημείου Ζ της ράβδου έχει μέτρο υZ = ω·(ΟΖ)

και το ΟΖ είναι εν γένει διάφορο από το ΑΖ.

Γιάννης Μπατσαούρας
Γιάννης Μπατσαούρας
3 έτη πριν

Προφανώς αναφέρεσαι στο τμήμα ΒΓ. Εγώ αναφέρομαι στο σύστημα (ΑΒ, ΒΓ) και υπολόγισα το μέτρο της ταχύτητας τυχαίου σημείου Ζ (την  υZ )  και βρήκα ότι ισχύει  υZ = ω·(AΖ)  .Στην απόδειξη πήρα τυχαίο σημείο Ζ της ΒΓ αφού για την ΑΒ ισχύει .  Εκτός και αν έχω κάνει λάθος απόδειξη . Την ταχύτητα του Ζ της ΒΓ τη θεώρησα ως τη συνισταμένη 2 ταχυτήτων που έχουν μέτρα ω(ΓΖ) και της ταχύτητας V του άκρου Γ.

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γιάννη προσπάθησε αν θέλεις να κάνεις την απόδειξη της σχέσης υZ = ω·(AΖ), για σημείο Ζ της ΒΓ, στη γενική περίπτωση που ο ρόμβος των 4 ράβδων δεν είναι τετράγωνο. Οι ράβδοι δηλαδή να μην είναι κάθετες μεταξύ τους.