by 
Ενα σώμα μικρών διαστάσεων καλυμμένο με ισχυρή κολλητική ουσία που μαζί με την κολλητική ουσία έχει μάζα m είναι αναρτημένο μέσω αβαρούς νήματος μήκους L σε ένα σημείο A ενός οριζόντιου άξονα. Στον ίδιο άξονα και στο ίδιο σημείο A είναι αναρτημένη από το ένα άκρο της λεπτή ράβδος μήκους επίσης L της οποίας η μάζα είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του σώματος (η μάζα του σώματος μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα συγκρινόμενη με τη μάζα της ράβδου). Ο άξονας αποτελεί άξονα περιστροφής τόσο για τη ράβδο όσο και για το σύστημα σώμα – νήμα. Η ράβδος παραμένει διαρκώς κάθετη στον άξονα και κατά την όποια κίνηση νήματος και ράβδου δε δημιουργούνται τριβές από τον άξονα στο νήμα ή στη ράβδο.Επίσης έχει ληφθεί πρόνοια ώστε κατά την κίνηση της ράβδου όσο αυτή δεν είναι σε επαφή με το σώμα το νήμα να μην έρχεται σε επαφή με τη ράβδο.
Αρχικά η ράβδος κρατείται στην οριζόντια θέση και κάποια στιγμή αφήνεται να κινηθεί. Στο κατώτερο σημείο της κίνησης της αυτή, η ράβδος, συγκρούεται με το σώμα και αυτό προσκολλάται πάνω στο άκρο της.
Με δεδομένα τα μεγέθη m, L και g (επιτάχυνση της βαρύτητας), βρείτε το εκλυόμενο ποσό θερμότητας
Θεωρήστε ως γνωστό (δεν απαιτείται απόδειξη) ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα διερχόμενο από το άκρο της και κάθετο σε αυτή ισούται με ML2/3, όπου M η μάζα της ράβδου.
Αφορμή για την ανάρτηση αυτή ήταν το πρόβλημα Πόση η θερμότητα όταν σηκώνω το βάρος; που έθεσε ο Γιάννης Κυριακόπουλος στο forum και η υποδειγματική λύση του προβλήματος αυτού από τον Σπύρο Χόρτη.
Η ανάρτηση αφιερώνεται στο Γιάννη και στο Σπύρο.
Ευχαριστώ Μανώλη.
Θα την διαβάσω τώρα.
Μανώλη και ωραία είναι και εντός πνεύματος.
Είχε πέσει θέμα στο οποίο μάλιστα δεν υπήρχε η πλαστική κρούση. Οπότε γιατί όχι;
Καλησπέρα Μανώλη και Γιάννη. Καλή. Δεν κατάλαβα προς το τέλος στην θέση του 3m βάζεις 0 . Θα το ξαναδώ.
Με την ευκαιρία συγχαρητήρια και για μια ανάρτηση σου στις εξαναγκασμένες. Με εντυπωσίασε ο τρόπος που απέφυγες διαφορικές!
Μπράβο Μανώλη
Δεν ξέρω βέβαια γιατί θεώρησε αναγκαία την προσέγγιση 3m<<M
διότι ο ακριβής τύπος είναι
Αλλά ναι είναι λογικό και αυτό
και το νήμα δεν προσφέρει τίποτα αφού η m ενσωματώνεται στη ράβδο
Θα μπορούσε να είναι κάτι παρόμοιο ως δύσκολο τελευταίο ερώτημα …
Μανώλη σ' ευχαριστώ πολύ για την τιμητική αφιέρωση.
Όμορφη παρουσίαση σε ένα ωραίο θέμα. Μια μικρή τροποποίηση θα πρότεινα στο τελικό αποτέλεσμα (πρίν την προσέγγιση) για λόγους αντιστοίχισης με την πλαστική κρουση. Q=(1/2)*(Iρ*Ισ/(Ιρ+Ισ))*ω0^2
Καλό μήνα Μανώλη.
Μια κρούση ράβδου με υλικό σημείο είναι πάντα "θέμα", είτε κινείται όπως εδώ η ράβδος, είτε το σώμα στο άκρο του νήματος.
Άλλωστε με βάση την (κακή) απόδοση της θεωρίας του σχολικού, είναι και η περίπτωση που "επιτρέπεται"…
Δημητρη συμφωνω με αυτο που λες .Μαλλον ο Μανωλης θελει να αναδείξει οτι αυτες οι πολυ μικρες στην ουσια απωλειες οφειλονται στην μαζα m της σφαιρουλας . Να προσθεσω εδω οτι :
Kπριν = Κ = (L^2)/ 2I και Κμετα = Κ' = (L^2)/ 2I' ===> Κ/Κ' = Ι' / Ι = 1 + 3*(m/M) οπου για m<<M => K / K' περιπου ισο με την μοναδα . Εκτιμω λοιπον οτι ο Μανωλης μαλλον θελει να αναδείξει αυτο που ειπα αρχικα .
Καλησπέρα
Γιάννη
Πράγματι είναι «εντός πνεύματος» και χαίρομαι που το βρήκες ενδιαφέρον
Γιώργο
Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.
Σχετικά με τον προβληματισμό που έθεσες:
Ο ακριβής τύπος που αναφέρει πιο κάτω ο Δημήτρης γράφεται Q(M)=1,5mgl/(1+m/M) που είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς M και για M → ∞ Q(M) →1,5mgl.
Δημήτρη
Το σκεπτικό ήταν ότι τα φαινομενικώς λίγα δεδομένα είναι αρκετά για τη λύση. Όπως είπα και πιο πάνω στο Γιώργο για M → ∞ Q(M) →1,5mgl.
Κώστα
Πράγματι η προσέγγιση πρέπει να γίνεται επί του τελικού ακριβούς τύπου.
Σπύρο
Χαίρομαι που σου άρεσε. Η αντιστοίχηση που λες είναι χαρακτηριστική στην προκειμένη περίπτωση. Θα κάνω σχετική προσθήκη.
Διονύση
Πράγματι το νήμα που πολλές φορές δε χρειάζεται «νομιμοποιεί» παρόμοια θέματα που όπως λες είναι επίκαιρα.
Διόρθωση
Ο ακριβής τύπος γράφεται Q(M)=1,5mgl/(1+3m/M) που είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς M και για M → ∞ Q(M) →1,5mgl.
Μανώλη καλημέρα
Ωραίο θέμα το οποίο θα μπορούσε να αποτελέσει θέμα εξετάσεων. Τώρα πολλοί μπορεί να έχουν ενστάσεις σχετικά με τη στροφορμή περι σημείου αλλά εδώ πιστεύω ότι κανείς τέχνασμα με το να δέσεις το σφαιρίδιο σε νήμα και να είσαι και τυπικά σωστός. Στην περίπτωση που ήταν ελεύθερο το μπαλάκι θα μπορούσε να ισχυριστεί καποιος ότι δεν αναφέρεται η στροφορμή περί σημείου.
Καλημέρα Μανώλη. Ωραίο, προσιτό και πάντα επίκαιρο θέμα.
Ωραία εφαρμογή Μανώλη και νομιμότατη
Καλησπέρα
Χρήστο, Απόστολε, Τάσο
Χαίρομαι που βρήκατε το θέμα ενδιαφέρον και επίκαιρο. Το νήμα πρόσδεσης το έβαλα για να μην υπάρχει "συμφωνία" με το βιβλίο και έτσι να μην δημιουργήσει "πρόβλημα νομιμότητας".
Διόρθωση: Το νήμα πρόσδεσης το έβαλα για να υπάρχει "συμφωνία" με το βιβλίο και έτσι να μην δημιουργείται "θέμα νομιμότητας".