Σωλήνας με υγρό, έμβολο και διπλή τροχαλία

Ο κατακόρυφος κυλινδρικός σωλήνας του διπλανού σχήματος έχει διατομή Α₀ = 40 cm², και είναι στερεωμένος στο δάπεδο.

33Στη βάση και στη μέση του, σε ύψος h = 0,8 m, έχει προσαρμοσμένες δύο οριζόντιες διακλαδώσεις (λεπτούς σωλήνες μικρού μήκους), που είναι κλεισμένες με τάπες (πώματα) π₁, π₂.

Γεμίζουμε τον σωλήνα μέχρι τη μέση με νερό, δηλαδή μέχρι την τάπα π₁ και στη συνέχεια τον κλείνουμε με κυλινδρικό έμβολο Σ₁, μάζας m₁ = 3 kg, που μπορεί να κινείται στεγανά και χωρίς τριβές κατά μήκος του σωλήνα.

Φροντίζουμε ώστε να μην υπάρχει αποκλεισμένος αέρας κάτω από το έμβολο ή σε κάποια από τις διακλαδώσεις.

Πάνω από τον σωλήνα υπάρχει στερεωμένη διπλή τροχαλία Σ, που μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά της και έχει ως προς αυτόν ροπή αδράνειας Ι = 0,89 kg·.

Οι ακτίνες των δύο δίσκων της τροχαλίας είναι r₂ = 2·r₁ και r₁ = 0,1 m.

Δύο νήματα είναι τυλιγμένα πολλές φορές στον κάθε δίσκο ώστε να μην ολισθαίνουν και τα άλλα τους άκρα είναι δεμένα αντίστοιχα, το πρώτο με το κέντρο του εμβόλου Σ₁, και το δεύτερο με σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 2 kg που διαθέτει και αβαρή γάντζο Γ.

Το σύστημα αρχικά ισορροπεί με το Σ₂ να κρέμεται. Τα νήματα είναι κατακόρυφα.

1)   Να υπολογίσετε την πίεση στον πυθμένα του κυλινδρικού σωλήνα.

Στη συνέχεια, αφαιρούμε ταυτόχρονα τις τάπες π₁ και π₂, οπότε το έμβολο αρχίζει να ανεβαίνει και το νερό να τρέχει από το κάτω άνοιγμα.

2)   Να υπολογίσετε την ταχύτητα του εμβόλου Σ₁ τη στιγμή που εξέρχεται από το επάνω στόμιο του κυλινδρικού σωλήνα, καθώς και τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται την ίδια στιγμή η κινητική ενέργεια της τροχαλίας Σ.

3)   (i)     Με ποια ταχύτητα αρχίζει να ρέει το νερό από το κάτω άνοιγμα;

      (ii)    Αν η ταχύτητα εκροής μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο και η διατομή του κάτω ανοίγματος είναι Α = 1 cm², να υπολογίσετε τον όγκο νερού που έχει χυθεί από το άνοιγμα μέχρι τη στιγμή που το έμβολο Σ₁ εξέρχεται από τον σωλήνα.

4)   Επαναφέρουμε το σύστημα στην αρχική του κατάσταση ισορροπίας και στη συνέχεια κρεμάμε στον γάντζο χωρίς αρχική ταχύτητα και ένα τρίτο σώμα Σ₃ μάζας m₃, οπότε το έμβολο αρχίζει πάλι να ανεβαίνει και εξέρχεται από το πάνω άκρο του σωλήνα στον ίδιο όπως και πριν χρόνο.

(i)     Να υπολογίσετε τη μάζα m₃.

(ii)    Να υπολογίσετε την ελάττωση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος μέχρι να εξέλθει το έμβολο από τον σωλήνα.

(iii)   Με ποιό ρυθμό μεταβάλλεται η στροφορμή του συστήματος των σωμάτων, ως προς τον άξονα της τροχαλίας, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την έξοδο του εμβόλου από τον σωλήνα;

Τα νήματα είναι αβαρή και μη εκτατά. Το νερό θεωρείται ιδανικό υγρό, δεν εξατμίζεται και έχει πυκνότητα ρ = 10³ kg/. Η πίεση της ατμόσφαιρας είναι Pₐₜₘ = 10⁵ Pa και g = 10 m/.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ …   (Διορθωμένο)

(Visited 1,891 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
9 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής

Καλημέρα Διονύση και συγχαρητήρια!

Τελικά κατάφερες να τα "δέσεις", όλα σε έναsurprise

Βαγγέλης Κουντούρης

εξαιρετική πολυάσκηση Διονύση, μπράβο!

προβλέπω “κλοπή” τμήματός της στις Πανελλήνιες…

 

(μερικά “ψιλά”

εκφώνηση: 6η γραμμή: τάπα π1 ,

  1. “…και χωρίς να αφαιρέσουμε τις δύο τάπες”:θα μπορούσε να λείπει διότι “επαναφέρουμε το σύστημα στην αρχική του κατάσταση”, όπως θα μπορούσε και να γίνει: και ένα τρίτο σώμα

απάντηση: 2: καλύτερα τα σύμβολα των τάσεων να είναι διαφορετικά π.χ. με τόνους

3: καλύτερα να φαινόταν και το “τραπέζιο”

4. δεύτερη σειρά: η οποία)

 

Αποστόλης Παπάζογλου
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα Διονύση. Εξαιρετικό θέμα για επανάληψη. Το ερώτημα 4iii) χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή. Θα το χρησιμοποιήσω!

Βαγγέλης Κουντούρης

να ξαναγράψεις Διονύση, να ξαναγράψεις

διότι άλλο νύχτα και άλλο "νύχτα"…

 

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής

Διονύση προφανώς πρέπει να ξαναγράψειςlaugh

Αν δεν γράψεις νύχτα, σημαίνει ότι δεν θα γράψεις…ποτέwink

Άλλωστε έχουμε τον Κώστα. Θα πρέπει να τον αφήσουμε …χωρίς δουλειά;

Εγώ που γράφω μέρα και όμως πάντα προσπαθώ!  να μην τον αφήσω σε αναδουλειές…

Κώστας Ψυλάκος
Αρχισυντάκτης
3 έτη πριν

Kαλημερα !

Διονυση ειχες μια πολυ ομορφη ιδεα !

Οι συνδυασμοι που εμφανιζονται στην ασκηση σου εχουν ενδιαφερον !

Ο χειρισμος με τις ταπες Π1, Π2 διαφοροποιει την εξελιξη του προβληματος . Την πρωτη φορα η αφαιρεση της Π1 εχεις ως αποτελεσμα την δημιουργια ατμοσφαιρικης κατω απο το εμβολο . Την δευτερη ομως φορα που παραμενουν στην θεση τους και εμεις θελουμε να ανεβασουμε το εμβολο μεταξυ του εμβολου και της ελευθερης επιφανειας το νερου δημιουργειται κενο ! Οποτε θελουμε μια αρκετα μεγαλη δυναμη για να ανεβασουμε το εμβολο , ετσι η προσθετη μαζα που απαιτειται ειναι 20 kgr περιπου . Αξιζει να σημειωθει οτι αν δεν ειχες "δεσει" το δοχειο στο εδαφος θα σηκώνονταν και αυτο smiley ! 

(Στην λυση προσπαθησα να αποδειξω και αυτην την γραμμικη ελαττωση της παροχης ) 

Ξενοφών Στεργιάδης

Καλό μεσημέρι, Διονύση έδωσες ένα πολύ ωραίο συνδυαστικό θέμα που μας επαναφέρει σε παλαιότερες αναρτήσεις σου.Μένει να δούμε αν το επίπεδο εξέτασης θα είναι ανάλογο της εποχής που διανύουμε (Know thou this: that men Are as the time is.  King Lear, Act 5, Scene 3).smiley