by 
Άλλο ένα πρόβλημα για καθηγητές.
Δίνεται μια ποσότητα εύπλαστου υλικού μάζας Μ και σταθερής πυκνότητας ρ και ένα σημείο Σ του χώρου.
Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του μέτρου της έντασης του βαρυτικού πεδίου που μπορεί να δημιουργήσει η μάζα Μ στο σημείο Σ.
Καλημέρα Σπύρο.
Πολύ λίγα δεδομένα βλέπω
Μήπως να διευκρίνιζες λίγο περισσότερο την κατάσταση;
Ποιο είναι το σημείο Σ; Ένα οποιοδήποτε σημείο; Ποια η σχετική θέση του ως προς το κ.μ. του υλικού;
Καλημέρα Διονύση.
Το Σ είναι ένα οποιδήποτε σημείο του χώρου. Το ερώτημα είναι, έχοντας τη δυνατότητα να διαμορφώσουμε το σχήμα της εύπλαστης μάζας όπως θέλουμε και να την τοποθετήσουμε όπως θέλουμε σε σχέση με το Σ, να υπολογίσουμε τη μέγιστη δυνατή βαρύτητα στο Σ.
… αυτό το πρόβλημα, εάν και εφόσον όλα τα δεδομένα είναι επαρκή, μπορεί να προσεγγιστεί από τη θεωρία του λογισμού των μεταβολών αλλά τα ακριβή βήματα θέλουν ψάξιμο (δεν χρειάζονται ούτε πολυπολικά αναπτύγματα και τέτοια)
… επίσης να αναφερθεί και το εξής … όταν λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις στις οποίες καταλήγει η εφαρμογή του λογισμού μεταβολών με δεσμό … πρέπει πάντα στο τέλος να γίνει ένα ακόμη βήμα … αφού βρεθεί η απάντηση πρέπει να μελετηθεί αν μια διαταραχή περί την απάντηση συνεχίζει να μεγιστοποιεί την ένταση του πεδίου … αν διαπιστωθεί ότι η ένταση μεγάλωσε υπό την προαναφερθείσα διαταραχή τότε δεν είναι σωστή η απάντηση που βρήκαμε ψάχνουμε για άλλη λύση …
… μάλλον τα δεδομένα είναι επαρκή … υπάρχει ο δεσμός της σταθερής πυκνότητας, το σημείο Σ δεν έχει σημασία που είναι μπορεί να είναι μέσα ή έξω από την κατανομή … και το σχήμα της επιφάνειας δεν έχει σημασία γιατί θα βρεθεί από τη συνθήκη μεγιστοποιήσης του πεδίου που αναφέρει η άσκηση … επειδή μιλάμε για 3 διαστάσεις ίσως είναι βολικό να χει κανείς κατά νου σφαιρικές συντεταγμένες για να δει πιο εύκολα τη λύση και να δουλέψει με τη θεωρία του βαρυτικού δυναμικού αφού η συνθήκη μεγιστοποιήσης σχετίζεται με το grad του βαρυτικού δυναμικού … χρειαζόμαστε μάλλον (γιατί δεν το σκέφτηκα με κάθε λεπτομέρεια) το grad του βαρυτικού δυναμικού γραμμένο ως συνάρτηση της μορφής της κατανομής μάζας …
Καλησπέρα Σπύρο.
Υποθέτω ότι μπορούμε να βάλουμε το Σ και πάνω στο σώμα.
Καλημέρα σε όλους,
Διαισθητικά, μου φαίνεται ότι θα έπρεπε να κάνουμε μια σφαίρα μάζας Μ, πυκνότητας ρ, οπότε βρίσκουμε την ακτίνα της R και το Σ να είναι ένα σημείο της επιφάνειας της. Δεν ξέρω όμως πώς να δείξω ότι η F θα είναι τότε μέγιστη.
Μήπως ενεργειακά; Έχουμε τότε ελαχιστοποίηση της U;
Καλησπέρα.
Θα φτιάξουμε με το υλικό μια ράβδο άπειρου μήκους. Με χρήση του νόμου του Gauss αποδεικνύεται ότι
g = 2Gρ/r όπου r απόσταση από ράβδο. Για r πολύ μικρό η g γίνεται πολύ μεγάλη. Αυτό είναι εύκολο να αποδειχθεί. Το δύσκολο είναι να φτιάξουμε ράβδο άπειρου μήκους. Αλλά εκεί θα κολλήσουμε?
Καλησπέρα σε όλους.
Στάθη η σχετική θέση Σ και σώματος μπορεί να είναι όποια θέλουμε. Είναι όμως προφανές ότι το Σ πρέπει μα είναι σημείο της επιφάνειας του σώματος αφού θέλουμε μεγιστοποίηση της βαρύτητας.
Θα συμφωνήσω με το Διονύση το Μητρόπουλο. Μία πιθανή λύση είναι η εις άτοπο απαγωγή. Δηλαδή έστω ότι το σχήμα που μεγιστοποιεί τη βαρύτητα στο Σ είναι μία σφαίρα με Σ ένα σημείο της επιφάνειάς της. Αν η υπόθεση αυτή δεν είναι σωστή τότε θα είχαμε τη δυνατότητα να μετακινήσουμε μία στοιχειώδη μάζα σε κάποιο άλλο σημείο και να πετύχουμε μεγαλύτερη τιμή από αυτή που επικρατεί Έστω ότι αφαιρούμε μία στοιχειώδη μάζα dm από σημείο της περιφέρειας που απέχει απόσταση r από το Σ. τοποθετούμε αυτή τη μάζα από κάτω αφού δεν έχουμε τη δυνατότητα να την τοποθετήσουμε κάπου αλλού έτσι ώστε να αυξάνεται η δύναμη. Τότε θα πρέπει F1<F2–> C/4R^2<Cσυνφ/r^2 –> 1/4R^2<συνφ/(2Rσυνφ)^2–> συνφ<1 ο.ε.δ
Πάνο καλησπέρα.
Γιατί λές ότι "δεν μπορούμε να την τοποθετήσουμε κάπου αλλού ώστε να αυξάνεται η δύναμη"; Δεν κατάλαβα και αυτό που γράφεις στο τέλος.
Σκέφτομαι το εξής: Η σφαιρα είναι σαν ένα υλικό σημείο στο κέντρο της. Αν επιπλέον είχα δύο υλικά σημεία πηγές πάνω και κάτω, η βαρύτητα αυξάνει. Το σχήμα πρέπει να είναι σαν οριζόντιο υ.