by 
Μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους l και μάζας Μ=4kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Τοποθετείται πάνω στη σανίδα, στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, το οποίο εμφανίζει με τη σανίδα συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4. Σε μια στιγμή t=0, το σώμα Σ δέχεται στιγμιαίο κατάλληλο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα υο=6m/s και να κινηθεί κατά μήκος της σανίδας, εγκαταλείποντάς την, μετά από λίγο, από το άκρο της Β, με ταχύτητα υ1=2m/s, όπως στο σχήμα.
- Να υπολογιστεί το μήκος της σανίδας.
- Αν το άκρο της σανίδας Α βρίσκεται αρχικά στη θέση x=0, να γίνει η γραφική παράσταση x=x(t) της θέσης του σε συνάρτηση με το χρόνο
Δίνεται π2≈10.
ή
Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση
Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση
Αφιερωμένη στο Στάθη Λεβέτα, αφού τα σχόλιά του εδώ, λειτούργησαν σαν ερέθισμα για την παραπάνω άσκηση.
Και με την ευκαιρία, για τη διάκριση μεταξύ αρμονικής ταλάντωσης και ΑΑΤ, μια διδακτική πρόταση που είχα κάνει το 2010!!! εδώ και το κείμενο σε pdf:
Περί κινηματικής ο λόγος.
Διονύση καλησπέρα
Ωραίο και δύσκολο το στησιμο της ασκησης που διαπραγματεύεσαι.
Καλησπέρα και από εδώ Χρήστο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Εξαιρετική η άσκησή Διονύση που αναδεικνύει ότι δεν πρέπει να ξεχνάμε της βασικές αρχές της θεωρητικής μηχανικής. Δεν μπορούμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια στην τριβή ούτε στατική ούτε ολίσθησης. Ακόμη και στις ασκήσεις που αναφέρουν τη στατική τριβή ως επαναφοράς,ξεχνάνε ότι τα σώμάτια που αναφέρονται απλά συμμετέχουν στην ταλάντωση του συστήματος που αποτελούν μέλος.
Καλησπέρα.
Διονύση μια αληθινή απορία.
Ένα σώμα την t=0 είναι στη θέση χ=0 με v = 0. Στο σώμα αρχίζει να δρα δύναμη F= F0 – Dx.
Μπορούμε να πούμε ότι το σώμα εκτελεί αατ?
Ένα πολύ δύσκολο θέμα με προεκτάσεις που αναδεικνύεις .Ναι υπάρχει διαφορά αρμονικής ταλάντωσης και αατ και φυσικά το σχολιάζεις με επιτυχία.
Επιχείρησα να λύσω την ανωτέρω άσκηση με ενεργειακά και μόνο επιχειρήματα αλλά για κάποιο λόγο βρίσκω ελλ(ε)ιπή τα δεδομένα … η ενεργειακή προσέγγιση είναι πολύ απλή … η ενέργεια που έχασε το σώμα Σ έγινε κατά ένα μέρος θερμότητα λόγω της σχετικής ολίσθησης των δύο σωμάτων, και κατά το υπόλοιπο χρησιμοποιήθηκε για να επιμηκυνθεί το ελατήριο που είναι δεμένο στη δοκό ΑΒ … όμως δεν γνωρίζουμε ούτε το μήκος της σανίδας ούτε την συνολική επιμήκυνση του ελατηρίου … η προσέγγιση του θέματος με ενεργειακά επιχειρήματα θα πρέπει όμως να μπορεί να δώσει εναλλακτικά μια λύση στο πρόβλημα.
Ας υποθέσουμε ότι κάποιος δεν συμφωνεί με το παραπάνω σκεπτικό. Τότε το σημείο το οποίο δεν κατανοώ αναπτύσσεται ακολούθως:
Μπορεί κανείς να φανταστεί την κίνηση της δοκού ως εξής: Αρχικά η δύναμη του ελατηρίου είναι πολύ μικρή κατά μέτρο σε σχέση με την αντίδραση της τριβής ολίσθησης, οπότε η δοκός (αλλά και το όλο σύστημα) θα κινηθεί προς τα δεξιά. Επειδή όμως το ελατήριο επιμηκύνεται στη φάση αυτή, θα έρθει κάποια στιγμή κατά την οποία η δύναμη του ελατηρίου θα εξισορροπήσει ακριβώς την αντίδραση της τριβής ολίσθησης. Από 'κει και πέρα η δύναμη του ελατηρίου υπερβαίνει την αντίδραση της τριβής ολίσθησης, και η δοκός θα πρέπει να αρχίσει να επιβραδύνεται μέχρι ότου να σταματήσει στιγμιαία την προς τα δεξιά κίνησή της. Τώρα όσον αφορά στο σώμα Σ, γενικά μιλώντας, υπάρχουν διάφορες περιπτώσεις … (α) μπορεί να έχει σταματήσει τη σχετική ολίσθηση του ως προς τη δοκό πριν σταματήσει στιγμιαία η δοκός την προς τα δεξιά κίνησή της, (β) μπορεί να ΜΗΝ έχει σταματήσει τη σχετική ολίσθηση του ως προς τη δοκό πριν σταματήσει στιγμιαία η δοκός την προς τα δεξιά κίνησή της οπότε … ίσως για την πιο λεπτομερή εξέταση των περιπτώσεων αυτών να χρειάζονται κάποια επιπλέον δεδομένα.
Στη λύση που δίνεται, από κάπου συνάγεται ότι το σώμα Σ εγκαταλείπει τη δοκό όταν αυτή σταματάει στιγμιαία την προς τα δεξιά κινησή της … πέρα αυτού όμως … καθόλη την παραπάνω κίνηση της δοκού, αφαιρείται ενέργεια από το σώμα Σ μετατρεπόμενη σε θερμότητα και συγχρόνως μεταφέρεται και ενέργεια προς τη δοκό ΑΒ, που δαπανάται για την επιμήκυνση του ελατηρίου στο οποίο είναι δεμένη. Πώς μπορεί να γνωρίζει κανείς ποιο "τελικά" τμήμα της ενέργειας που αφαιρέθηκε από το σώμα Σ καθόλη τη σχετική ολίσθηση των δύο σωμάτων αξιοποιήθηκε για την συνολική επιμήκυνση του ελατηρίου με βάση τα δεδομένα της άσκησης και μόνον; Επιπλέον, αν το σώμα Σ δεν εγκαταλείψει τη δοκό πριν σταματήσει στιγμιαία η προς τα δεξιά κίνησή της, τότε το σύστημα είναι δυνατό να πισωγυρίσει, με το ελατήριο να παρασύρει κάποια στιγμή προς τα πίσω αμφότερα τα σώματα … . Υπόψη ότι κατά την παραπάνω κίνηση, το ελατήριο "βλέπει" και τα δύο σώματα αφού ο μεταξύ τους σύνδεσμος είναι η εμφανιζόμενη τριβή ολίσθησης. … για να το πω κι αλλιώς (πέραν του δεδομένου που συνάγεται από κάπου και προανέφερα πιο πάνω) … θα μου φαινόταν πιο λογικό να περιγράψω την κίνηση της δοκού ΑΒ ως επιταχυνόμενη-επιβραδυνόμενη κίνηση (ή ότι άλλο περαιτέρω) για όσο υπάρχει επαφή με το σώμα Σ … ενώ όταν τα σώματα αποχωρίζονται είναι ξεκάθαρο ότι θα ακολουθήσει απλή αρμονική ταλάντωση αφού η κίνηση γίνεται σε λείο δάπεδο και ότι ενέργεια ήταν να πάρει η δοκός την πήρε (κι αυτή περαιτέρω δεν αλλάζει).
Διονύση καλημέρα και σε ευχαριστώ για την αφιέρωση. Βρισκομαι σε διακοπές και η πρόσβαση στο Internet δύσκολη.
Σου έχω κατ επανάληψη πει ότι έχεις την ικανότητα να μετατρεπεις δύσκολες ερωτήσεις σε απλές ασκήσεις.
Καλημέρα και καλή Κυριακή σε όλους.
Στάθη, Νίκο, Γιώργο, Τάσο και Παντελεήμονα σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γιώργο στο ερώτημά σου. Το σώμα θα εκτελέσει μια αρμονική ταλάντωση (μπορούμε να την ονομάσουμε και γραμμική αρμονική ταλάντωση, γ.α.τ.), αλλά δεν ξέρουμε αν αυτή η δύναμη είναι ή όχι συντηρητική για να μπορούμε να θεωρήσουμε την κίνηση ως ΑΑΤ.
Για να την πούμε ΑΑΤ, πρέπει με κάποιο τρόπο να μας δίνεται η συντηρητικότητα της συνισταμένης δύναμης.
Παντελεήμονα… στο επόμενο σχόλιο.
Παντελεήμονα, έχεις δίκιο για τις ενεργειακές μετατροπές που έχουμε στη διάρκεια της πρώτης ταλάντωσης της ράβδου.
(Για κάποιο λόγο αρνείσαι την ταλάντωση αυτή, ψάχνοντας εναλλακτικές λύσεις και δεν καταλαβαίνω την άρνηση αυτή…)
Προφανώς αν έδινα ως δεδομένο το μήκος της ράβδου, το πρόβλημα θα λυνόταν ΚΑΙ ενεργειακά. Αλλά ποιο μέρος της ενέργειας που χάνει το σώμα Σ θα γίνει θερμική ενέργεια και ποιο θα μεταφερθεί στη σανίδα (και στη συνέχεια στο ελατήριο) εξαρτάται από τη μάζα και το μήκος της σανίδας. Μια μικρή μάζα θα έχει ως αποτέλεσμα να μετακινηθεί περισσότερο, συνεπώς το μήκος της ράβδου θα έπρεπε να ήταν μικρότερο, αφού τη στιγμή του αποχωρισμού των σωμάτων, το μήκος σανίδας +η μετατόπισή της, θα πρέπει να μας δίνει τη μετατόπιση του σώματος Σ.
Από κει και πέρα:
"Στη λύση που δίνεται, από κάπου συνάγεται ότι το σώμα Σ εγκαταλείπει τη δοκό όταν αυτή σταματάει στιγμιαία την προς τα δεξιά κινησή της … "
Τι ακριβώς εννοείς λέγοντας " από κάπου συνάγεται"; Συνάγεται από την ισότητα των χρονικών διαστημάτων! Δεν είναι φανερό;
Προφανώς με άλλα δεδομένα (μήκος, ταχύτητες, μάζες, αρχική ταχύτητα) θα μπορούσε το Σ να μην εγκαταλείψει ποτέ τη σανίδα, η θα μπορούσε τη στιγμή αυτή η σανίδα να έχει μέγιστη ταχύτητα ή να βρίσκεται στη θέση x=+0,1m ή οπουδήποτε αλλού.
Ο σκοπός δεν ήταν να διερευνήσουμε το τι συμβαίνει, αλλά να αναδειχθούν δυο γραμμικές ταλαντώσεις με διαφορετικά χαρακτηριστικά.
Καλήμερα στο … θερινό τμήμα του ylikonet. Πολύ καλή άσκηση. Το ότι εκτελεί ένα σώμα αρμονική ταλάντωση όταν δρα δύναμη της μορφής F=Fo-kx , μαθηματικά αποδεικνύεται (μια απάντηση και στον Γιώργο Κόμη) ως εξής:
Η λύση της διαφορικής εξίσωσης md2x/dt2=-kx είναι αρμονική ταλάντωση x=Asin(ωt+φ0)
Η διαφορική md2x/dt2=-kx +Fo με αλλαγή μεταβλητής x=y+Fo/k γίνεται
md2y/dt2=-ky και επομένως είναι y=Asin(ωt+φο) άρα είναι αρμονική ταλάντωση γύρω από το σημείο x=Fo/k.
Σαν προέκταση αυτής της άσκησης μπορούμε να θεωρήσουμε την μελέτη της κίνησης μόνο της σανίδας, προσδίδοντας σε αυτή μια αρχική ταχύτητα και θεωρώντας ότι το οριζόντιο επίπεδο δεν είναι λείο. Η σανίδα να παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ και στατικής τριβής μορ. Να ζητείται πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι να σταματήσει και πιο δύσκολα (θέλει κατάλληλα δεδομένα) το ΄συνολικό χρόνο κίνησης.
Διονύση ειλικρινά είχα κάνει περίπου την ίδια σε ένα τμήμα Θετικής που τους είχα την περασμένη χρονιά.
Καλησπέρα σε όλους
Διονύση όντως δεν μπορούμε να συνδέσουμε το έργο της τριβής που ασκείται στην σανίδα με μία δυναμική ενέργεια, αλλά τι μας εμποδίζει να ορίσουμε μια συνάρτηση οιωνεί δυναμικής ενέργειας για την συνισταμένη δύναμη T+Fελ που ασκείται σε αυτήν; "Δυναμική" ενέργεια U = 0.5 k y^2 με μετβλητή αυτήν που αναφέρει ως "y" ο Ν. Διαμαντής, δηλαδή άυτην που μετράται από την θέση ισορροπίας της σανίδας όταν η τριβή είναι παρούσα, στην ανάρτησή σου.
Διονύση συγχαρητήρια, όμορφη άσκηση!
Καλησπέρα Τάσο, καλησπέρα Νίκο, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Συμφωνώ Νίκο με την αλλαγή μεταβλητής, αυτό άλλωστε κάνουμε στην πράξη, σε κάθε τέτοια περίπτωση.
Ενώ η σανίδα ηρεμεί στη θέση x=0, στην παρούσα άσκηση, βρίσκουμε μια ταλάντωση γύρω από μια νέα θέση ισορροπίας στη θέση x1=T/k, οπότε, για την ταλάντωση αυτή, η απομάκρυνση πλέον, από τη νέα θέση ισορροπίας, είναι η x΄=x-x1…
Καλησπέρα Στάθη.
Για αυτήν την "οιωνεί δυναμική" έγραψα δίπλα:
"Και στα ερωτήματα αυτά υπάρχουν μόνο προσωπικές απόψεις…"
Η προσωπική μου άποψη είναι να μην το κάνουμε. Θολώνουμε το φυσικό περιεχόμενο, αποδίδοντας ενέργειες που δεν υπάρχουν, για να ταυτίσουμε τις δύο παραπάνω ταλαντώσεις, τις οποίες θεωρώ ότι μάλλον το αντίθετο πρέπει να είναι ο στόχος μας.
Να αναδείξουμε τις διαφορές τους.
Το σύστημα σανίδα-ελατήριο αρχικά δεν έχει ενέργεια, ούτε δυναμική, ούτε κινητική. Παίρνει ενέργεια από το σώμα Σ, σε όλη τη διάρκεια της ημιπεριόδου, που διαρκεί η συγκεκριμένη ταλάντωση, με αποτέλεσμα η μηχανική του ενέργεια να είναι μέγιστη τη στιγμή που φτάνει στην ακραία δεξιά θέση του.
Σε κάθε θέση υπάρχει ένας ρυθμός μεταβολής της ολικής του ενέργειας dE/dt, μη μηδενικός, με μέγιστη τιμή τη στιγμή που περνά από τη θέση ισορροπίας του…
Όλα αυτά γιατί θα πρέπει να τα "κρύψουμε" και να μιλήσουμε για μια οιωνεί δυναμική που μετατρέπεται σε κινητική και αντίστροφα;