by 
Σε πρόσφατη συζήτηση για τις φθίνουσες ταλαντώσεις έθεσα το εξής ερώτημα: Η απόσβεση οφείλεται στον αέρα ή στο υλικό του ελατηρίου; και εξήγησα πως ο βρόγχος υστέρησης στο διάγραμμα x-F οδηγεί σε απόσβεση. Το ερώτημα τώρα είναι: Η απόσβεση είναι εκθετική πάντα ή ο τύπος της απόσβεσης εξαρτάται από τη μορφή του βρόγχου υστέρησης;
Στην ανάλυση που κάνω εδώ δείχνω ότι η απόσβεση είναι πάντα εκθετική.
Διονύση δεν είχα επικολλήσει καλά το URL. Τώρα είναι ΟΚ.
Καλημέρα Νίκο.
Γράφεις:
Δεν καταλαβαίνω το συλλογισμό. Αν υπάρχει βρόχος υστέρησης και (εμείς) του αποδώσουμε ελλειπτική μορφή, πώς κάνουμε το επόμενο βήμα και προσθέτουμε το bυ;
Διονύση καλημέρα.
Στη φυσική, η απλή συλλογιστική με το μυαλό, δεν βοηθά πάντα για να καταλήξεις από τα δεδομένα στο ζητούμενο. Χρειάζεται ανάλυση. Και στο παρόν πρόβλημα, δηλ. το πως προκύπτει ο όρος bv από ένα βρόγχο υστέρησης, χρειάζεται βέβαια ανάλυση που κάποτε, πριν από καιρό, την είχα κάνει και την είχα δημοσιεύσει. Ίσως την ξανακάνω αν βρω τον καιρό. Το θέμα είναι ότι το πλάτος πέφτει εκθετικά ανεξάρτητα από τη μορφή του βρόγχου υστέρησης, αλλά πρέπει το μέγεθος του βρόγχου να είναι μικρό. Ακόμα κι αν τη μείωση του πλάτους την αποδίδαμε στον αέρα και ο νόμος που διέπει την αντίσταση του αέρα ήταν άλλος από το νόμο του Stokes, πάλι εκθετική μείωση θα είχαμε.
Καλημέρα παιδιά.
Βλέπω μια απλή συλλογιστική που καταλήγει στο ότι η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας.
Η απώλεια ενέργειας είναι ανάλογη του εμβαδού του βρόχου. Το εμβαδόν του βρόχου ανάλογο του Α^2.
Μια δύναμη αντίστασης -b.υ δίνει τέτοια απώλεια.
Καλό θέμα!
Α ναι. Το ότι η δύναμη -b.υ δίνει απώλεια ανάλογη του Α^2 αποδεικνύεται και μαθητικά με εμβαδόν ισχύος-χρόνου.
Καλημέρα Νίκο, καλημέρα Γιάννη.
Μήπως πίσω από αυτά κρύβεται κάτι άλλο;
Ότι η ενέργεια που χάνουμε είναι ανάλογη της ενέργειας που έχουμε;
Αυτή η λογική νομίζω ότι οδηγεί στην εκθετική μείωση και από κει και πέρα φτιάχνουμε μοντέλα.
Δεν υποστηρίζω ότι είναι έτσι, αλλά δίνω μια αίσθησή μου…
Διονύση βλέπω το εμβαδόν του βρόχου. Αν ήταν μηδενικό (δεν υπήρχε βρόχος) δεν θα είχαμε απώλεια.
Η ενεργειακή απώλεια (εμβαδόν) είναι ανάλογη της επιφάνειας. Δύο όμοιες επιφάνειες έχουν εμβαδά ανάλογα του τετραγώνου των γραμμικών τους διαστάσεων. Οι x διαστάσεις είναι τα πλάτη. Έτσι οι απώλειες ενέργειας είναι ανάλογες του τετραγώνου του πλάτους.
Μια δύναμη -b.υ δίνει τέτοια ενεργειακή απώλεια.
Καλησπέρα.
Λοιπόν, νομίζω ότι για να συζητάμε πιο άνετα, χρειαζόμαστε κάποιο λεξιλόγιο. Έτσι, ας ονομάσουμε Ελαστική δύναμη τη δύναμη που ασκείται από το ιδανικό ελατήριο στο σώμα. Ολική δύναμη το άθροισμα της ελαστικής δύναμης και της διαταραχής, όπου διαταραχή είναι η δύναμη που ασκείται στο σώμα πέραν της ελαστικής και υποδιαιρείται σε εσωτερική διαταραχή, αν η διαταραχή οφείλεται στη μη ιδανικότητα του ελατηρίου, και εξωτερική διαταραχή, αν οφείλεται σε εξωτερικό παράγοντα όπως το ιξώδες του αέρα. Ομοίως, ας ορίσουμε τον βρόγχο εσωτερικής υστέρησης που είναι η κλειστή καμπύλη που διαγράφει το σώμα στο διάγραμμα x-F στην οποία η διαταραχή είναι εσωτερικής φύσης και ας ορίσουμε τον βρόγχο εξωτερικής υστέρησης που είναι η κλειστή καμπύλη που διαγράφει το σώμα στο διάγραμμα x-F στην οποία η διαταραχή είναι εξωτερικής φύσης.
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουμε εκθετική μείωση του πλάτους είναι ο βρόγχος υστέρησης να έχει την ίδια μορφή για κάθε πλάτος ταλάντωσης και το εμβαδόν του να είναι ανάλογο του τετραγώνου του πλάτους. Πιστεύω (αλλά δεν είμαι σίγουρος: πρώτα το πείραμα) ότι αν η υστέρηση είναι εσωτερική θα ισχύει αυτή η συνθήκη.
Αν η υστέρηση είναι εξωτερική, θα ισχύει μόνο στην περίπτωση που η εξωτερική διαταραχή ικανοποιεί την εξίσωση δ=-bv. Ας πάρουμε για παράδειγμα την περίπτωση που η δ δεν εξαρτάται από το v, όπως όταν η δ είναι δύναμη τριβής από επαφή του σώματος με το δάπεδο. Το εμβαδόν του βρόγχου εξωτερική υστέρησης, τότε, δεν θα είναι ανάλογο του τετραγώνου του πλάτους αλλά θα είναι ανάλογο του πλάτους. Σε τέτοιες περιπτώσεις η ελάττωση του πλάτους δεν θα είναι εκθετική.
Στο συνημμένο, η ανάλυση που έκανα σ΄ αυτή την ανάρτηση παρουσιάζεται διορθωμένη αφού αποκαλύφθηκε κάποιο λάθος της. Επίσης πρόσθεσα ένα παράρτημα στο οποίο εξηγείται γιατί η προσθήκη του όρου -bv στην F μετασχηματίζει την ευθεία του διαγράμματος x-F σε έλλειψη,
Η νέα ανάλυση εδώ.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Δiαβάζοντας την παραπάνω συζήτηση και το αρχείο του Νίκου, μου γεννήθηκε μία απορία: Για ποιο λόγο εμφανίζεται υστέρηση σε ένα ελατήριο, υπάρχει κάποια θεωρητική εξήγηση; Διαφορετικά: Πώς και από ποιες παραμέτρους καθορίζεται η καμπύλη του βρόχου υστέρησης;