Ποιες ιδιότητες (σχήμα, δυναμικό, πίεση) έχει μια περιστρεφόμενη μάζα ιδανικού ρευστού που δεν περιορίζεται σε κάποιο δοχείο αλλά υπόκειται στην ίδια της τη βαρύτητα; Το κείμενο εδώ
1) Ο τρόπος που θα έλυνες το πρόβλημα είναι αυτός που θα ακολουθήσουμε, αφού όμως γίνει μια ουσιαστική επισήμανση .
2) Οι σχέσεις στο “αφορμή για συζήτηση 1.3” είναι ένα παράδειγμα πίεσης και δυναμικού. Μπορούμε να δούμε ότι η πίεση
P= (μ R^2/3)(2G π μ -ω^2)(R^2-ρ^2-z^2) μηδενίζεται όταν R^2 = ρ^2+z^2 δηλ στην επιφάνεια μιας σφαίρας ακτίνας R. Γενικότερα οι επιφάνειες σταθερής πίεσης σε αυτό το παράδειγμα (αν δεν έχω κάνει λάθος) είναι σφαιρικές, παρόλο που το ιδανικό ρευστό περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα. Μένει να προβληματιστούμε αν αυτό στέκει.
Έχουμε μία υδάτινη σφαίρα η οποία αρχίζει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = ωz πέριξ του καρτεσιανού άξονος z.Τότε καταλήγεις σωστά στην σχέση (1.4) που περιγράφει το πεδίο της πίεσης στις κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ, θ, z).
Αν δράσουμε με τον τελεστή grad στην παραπάνω εξίσωση προκύπτει η σχέση
Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στην επιφανειακή δύναμη ανά μονάδα όγκου λόγω πίεσης και ο δεύτερος όρος στην βαρυτική δύναμη ανά μονάδα όγκου που δέχεται ένα στοιχείο του ρευστού. Ο τρίτος όρος αναλογεί στην φαινόμενη φυγόκεντρο δύναμη ανά μονάδα όγκου λόγω της περιστροφής της σφαίρας. Η διεύθυνση της φυγοκέντρου είναι πάντα κάθετη στον άξονα περιστροφής, με φορά αντίθετη του ακτινικού μοναδιαίου διανύσματος ρ, δηλαδή προς τα «έξω» της σφαίρας. Το δε μέτρο της αυξάνει από τους πόλους (όπου είναι μηδέν) προς τον ισημερινό. Αυτό σημαίνει ότι το αρχικό σφαιρικό σχήμα της υδάτινης ποσότητας θα παραμορφωθεί σε ένα σφαιροειδές με μικρό άξονα μήκους c κατά μήκος του άξονα περιστροφής και ίσους μεγάλους άξονες, μήκους a στο επίπεδο του ισημερινού z=0, λόγω συμμετρίας ως προς την πολική γωνία θ. Ο μηχανισμός είναι παρόμοιος με αυτόν που δίνει το σχήμα στους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος. Η εκκεντρότητα του ελλειπτικού σφαιροειδούς θα ισούται με
και θα αυξάνει με την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.
Βάσει των παραπάνω η επιφάνεια του υγρού «πλανήτη» θα ικανοποιεί στις καρτεσιανές συντεταγμένες την εξίσωση
Πάμε τώρα στην συνάρτηση της πίεσης στο εσωτερικό του σφαιροειδούς: Αν έχω δίκιο στα παραπάνω θα πρέπει, καθαρά φαινομενολογικά, να λαμβάνει την μορφή
έτσι ώστε να μηδενίζεται στην επιφάνεια του σφαιροειδούς (υποθέτω ότι η αρχική σφαίρα αρχίζει να περιστρέφεται στο κενό). Προφανώς η σταθερά ποσότητα P0 θα εξαρτάται από την μάζα, την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, την εκκεντρότητα και την πυκνότητα του ρευστού και θα ισούται με την τιμή της πίεσης στο κέντρο μάζας του (αρχή των αξόνων).
Η πίεση στις κυλινδρικές συντεταγμένες x = ρ ημ(θ), y = ρ συν(θ), z =z, θα ισούται τότε με
Σε αυτό το σημείο διαφωνώ με την ισχύ της πρώτης εξίσωσης που δίνεις στην «αφορμή για συζήτηση 1.3». Στην εξίσωση πίεσης του 1.3, οι συνιστώσες ρ και z παραπέμπουν σε σφαιρική συμμετρία, την οποία δεν καταλαβαίνω πώς μπορεί να υλοποιηθεί στο συγκεκριμένο πρόβλημα.
Εν κατακλείδι νομίζω ότι οι επιφάνειες σταθερής πίεσης (αλλά και οι ισοδυναμικές επιφάνειες του βαρυτικού δυναμικού) πρέπει να προκύπτουν ελλειψοειδείς και όχι σφαιρικές.
Ό,τι γράφεις παραπάνω είναι σωστό. Όμως οι σχέσεις στο "αφορμή για συζήτηση 1.3" ικανοποιούν τις αρχικές εξισώσεις (1.4) και (1.5) όπου οι επιφάνειες σταθερής πίεσης είναι σφαίρες και όχι ελλειψοειδή. Οι εξισώσεις αυτές δέχονται και άλλες λύσεις εκτός εκείνων με την πίεση όπως η έκφραση που γράφεις.
Συμφωνώ ότι η εξίσωση Poisson δέχεται άπειρες δυνατές λύσεις οι οποίες αντιστοιχούν σε άπειρες δυνατές "γεωμετρίες" για το σχήμα της ποσότητας του ρευστού. Όμως σε κάθε σχήμα αναλογεί μία λύση.
Στο "αφορμή για συζήτηση 1.3", στην εξίσωση για το Uin έχει προστεθεί ένας όρος (ο δέυτερος με την γωνιακή ταχύτητα), κατάλληλα προσαρμοσμένος έτσι ώστε η Λαπλασιανή του να μηδενίζεται. Ο πρώτος όρος είναι το βαρυτικό δυναμικό στο εσωτερικό μίας σφαιρικής κατανομής μάζας. Όταν αυτό το Uin προστεθεί στην εξίσωση της (1.4) δίνει την πίεση.
Μπορεί κάποιος να βρεί άπειρους συνδυασμούς συναρτήσεων που ικανοποιούν τα παραπάνω. Δεν είναι δυνατόν όλοι να είναι σωστοί.
Για αυτό σε ρώτησα από την αρχή: Πώς προέκυψαν οι δύο εξισώσεις για την πίεση και το δυναμικό; Για παράδειγμα γιατί ω^2/6 στην εξίσωση του δυναμικού και όχι ω^2/120; Γιατί (ρ^2-2z^2+2R^2) και όχι (c1 x^2 + c2 y^2 -2 (c1+c2)z^2 + R^2);
Στάθη γεια σου και σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και τις παρατηρήσεις σου.
Οι δύο σχέσεις – δυναμικού και πίεσης – προέκυψαν από τη δική μου απαίτηση να βρω κάποια λύση που θα περιγράφει ιδανικό ρευστό περιστρεφόμενο ως στερεό όπου οι επιφάνειες σταθερής πίεσης να είναι σφαίρες, πράγμα μη αναμενόμενο.
Απαίτησα η πίεση να εξαρτάται από τον συνδυασμό (ρ^2+z^2) και το δυναμικό να είναι άθροισμα τετραγώνων των συντεταγμένων συν μια σταθερή. Αν δεν υπάρχει λάθος στις πράξεις, βρέθηκε η λύση αυτή του “αφορμή για συζήτηση 1.3”. Η πίεση μηδενίζεται στην επιφάνεια ρ^2+z^2=R^2. (το ω^2/120 για το δυναμικό που αναφέρεις π.χ δεν ικανοποιεί τις εξισώσεις)
To σώμα έχει σφαιρικό σχήμα. Σίγουρα κάτι δεν πάει καλά; Με ποια έννοια λες “δεν είναι δυνατόν να είναι όλοι σωστοί” ;
"…Οι δύο σχέσεις – δυναμικού και πίεσης – προέκυψαν από τη δική μου απαίτηση να βρω κάποια λύση που θα περιγράφει ιδανικό ρευστό περιστρεφόμενο ως στερεό όπου οι επιφάνειες σταθερής πίεσης να είναι σφαίρες, πράγμα μη αναμενόμενο…"
Δεν καταλαβαίνω πώς είναι δυνατόν ένα περιστρεφόμενο ιδανικό ρευστό να συμπεριφέρεται ως στερεό. Το ότι το εσωτερικό δυναμικό που δίνεις ικανοποιεί την εξίσωση Poisson δεν απαντά στο πρόβλημα και αυτό γιατί η εξίσωση ικανοποιείται για άπειρα γεωμετρικές κατανομές μάζας (κάθε μία από αυτές θα δημιουργεί ένα βαρυτικό δυναμικό στο εσωτερικό της). Μία όμως περιστρεφόμενη ποσότητα ιδανικού ρευστού θα λάβει ένα σχήμα, το οποίο μπορεί να είναι κατ' εμέ μόνον το ελλειψοειδές σφαιρικό, λόγω των συμμετριών της φυγοκέντρου δύναμης. Με λίγα λόγια η πλαστελίνη μπορεί να διατηρεί το σφαιρικό της σχήμα περιστρεφόμενη λόγω των δυνάμεων συνοχής στο εσωτερικό της, γιατί σε πολύ καλή προσέγγιση για μικρές γωνιακές ταχύτητες συμπεριφέρεται ως στερεό σώμα. Το νερό όμως αναγκαστικά θα παραμορφωθεί όντας καθαρά ρευστό, γιατί καμία εσωτερική δύναμη δεν μπορεί να αποτρέψει μία ποσότητα, στον ισημερινό του για παράδειγμα, να αυξήσει την ακτίνα της λόγω φυγοκέντρου.Η φυγόκεντρος ελαττώνεται έως το μηδέν από τον ισημερινό προς τους πόλους, οπότε η άυξηση της ακτίνας θα ελαττώνεται και θα μηδενίζεται στους πόλους. Μέσω αυτού του μηχανισμού δεν βλέπω άλλη δυνατή κατανομή από την ελλειψοειδή.
Θα ξεκινούσα λοιπόν την λύση του προβλήματος απ' ευθείας με ένα δυναμικό, όπως αυτό που περιγράφεις στο δεύτερο μέρος (μόλις ξεκίνησα να το διαβάζω).
by 
Δημήτρη καλησπέρα.
Ξανά ανέβηκε η ανάρτηση σου;
Είχα ένα σχόλιο στην παλαιά εκδοχή της, το οποίο δεν βρίσκω.
Στάθη σ’ ευχαριστώ για την προσοχή στη δημοσίευση
1) Ο τρόπος που θα έλυνες το πρόβλημα είναι αυτός που θα ακολουθήσουμε, αφού όμως γίνει μια ουσιαστική επισήμανση .
2) Οι σχέσεις στο “αφορμή για συζήτηση 1.3” είναι ένα παράδειγμα πίεσης και δυναμικού. Μπορούμε να δούμε ότι η πίεση
P= (μ R^2/3)(2G π μ -ω^2)(R^2-ρ^2-z^2) μηδενίζεται όταν R^2 = ρ^2+z^2 δηλ στην επιφάνεια μιας σφαίρας ακτίνας R. Γενικότερα οι επιφάνειες σταθερής πίεσης σε αυτό το παράδειγμα (αν δεν έχω κάνει λάθος) είναι σφαιρικές, παρόλο που το ιδανικό ρευστό περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα. Μένει να προβληματιστούμε αν αυτό στέκει.
Καλησπέρα Δημήτρη και Στάθη.
Δημήτρη, δεν ξέρω αν έσβησες εσύ το προοηγούμενο άρθρο, αλλά μετά το σχόλιο του Στάθη, το βρήκα στα διεγραμμένα.
Το επανέφερα.
Διονύση το είχα διαγράψει αλλά καλά έκανες και το επανέφερες
Δημήτρη καλημέρα.
Φαντάζομαι ότι ήθελες να κάνεις κάποιες διορθώσεις ή αναθεωρήσεις στην αρχική ανάρτηση.
Θα μπορούσες να το κάνεις, χωρίς να την σβήσεις, με την επιλογή "επεξεργασία άρθρου".
Καλημέρα Δημήτρη και λοιποί συνάδελφοι.
Μερικές σκέψεις στο πρόβλημα:
Έχουμε μία υδάτινη σφαίρα η οποία αρχίζει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = ωz πέριξ του καρτεσιανού άξονος z.Τότε καταλήγεις σωστά στην σχέση (1.4) που περιγράφει το πεδίο της πίεσης στις κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ, θ, z).
Αν δράσουμε με τον τελεστή grad στην παραπάνω εξίσωση προκύπτει η σχέση
Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στην επιφανειακή δύναμη ανά μονάδα όγκου λόγω πίεσης και ο δεύτερος όρος στην βαρυτική δύναμη ανά μονάδα όγκου που δέχεται ένα στοιχείο του ρευστού. Ο τρίτος όρος αναλογεί στην φαινόμενη φυγόκεντρο δύναμη ανά μονάδα όγκου λόγω της περιστροφής της σφαίρας. Η διεύθυνση της φυγοκέντρου είναι πάντα κάθετη στον άξονα περιστροφής, με φορά αντίθετη του ακτινικού μοναδιαίου διανύσματος ρ, δηλαδή προς τα «έξω» της σφαίρας. Το δε μέτρο της αυξάνει από τους πόλους (όπου είναι μηδέν) προς τον ισημερινό. Αυτό σημαίνει ότι το αρχικό σφαιρικό σχήμα της υδάτινης ποσότητας θα παραμορφωθεί σε ένα σφαιροειδές με μικρό άξονα μήκους c κατά μήκος του άξονα περιστροφής και ίσους μεγάλους άξονες, μήκους a στο επίπεδο του ισημερινού z=0, λόγω συμμετρίας ως προς την πολική γωνία θ. Ο μηχανισμός είναι παρόμοιος με αυτόν που δίνει το σχήμα στους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος. Η εκκεντρότητα του ελλειπτικού σφαιροειδούς θα ισούται με
και θα αυξάνει με την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.
Βάσει των παραπάνω η επιφάνεια του υγρού «πλανήτη» θα ικανοποιεί στις καρτεσιανές συντεταγμένες την εξίσωση
Πάμε τώρα στην συνάρτηση της πίεσης στο εσωτερικό του σφαιροειδούς: Αν έχω δίκιο στα παραπάνω θα πρέπει, καθαρά φαινομενολογικά, να λαμβάνει την μορφή
έτσι ώστε να μηδενίζεται στην επιφάνεια του σφαιροειδούς (υποθέτω ότι η αρχική σφαίρα αρχίζει να περιστρέφεται στο κενό). Προφανώς η σταθερά ποσότητα P0 θα εξαρτάται από την μάζα, την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, την εκκεντρότητα και την πυκνότητα του ρευστού και θα ισούται με την τιμή της πίεσης στο κέντρο μάζας του (αρχή των αξόνων).
Η πίεση στις κυλινδρικές συντεταγμένες x = ρ ημ(θ), y = ρ συν(θ), z =z, θα ισούται τότε με
Σε αυτό το σημείο διαφωνώ με την ισχύ της πρώτης εξίσωσης που δίνεις στην «αφορμή για συζήτηση 1.3». Στην εξίσωση πίεσης του 1.3, οι συνιστώσες ρ και z παραπέμπουν σε σφαιρική συμμετρία, την οποία δεν καταλαβαίνω πώς μπορεί να υλοποιηθεί στο συγκεκριμένο πρόβλημα.
Εν κατακλείδι νομίζω ότι οι επιφάνειες σταθερής πίεσης (αλλά και οι ισοδυναμικές επιφάνειες του βαρυτικού δυναμικού) πρέπει να προκύπτουν ελλειψοειδείς και όχι σφαιρικές.
Γεια σου Στάθη
Ό,τι γράφεις παραπάνω είναι σωστό. Όμως οι σχέσεις στο "αφορμή για συζήτηση 1.3" ικανοποιούν τις αρχικές εξισώσεις (1.4) και (1.5) όπου οι επιφάνειες σταθερής πίεσης είναι σφαίρες και όχι ελλειψοειδή. Οι εξισώσεις αυτές δέχονται και άλλες λύσεις εκτός εκείνων με την πίεση όπως η έκφραση που γράφεις.
Διονύση καλημέρα, συγγνώμη για την εμφάνιση της προηγούμενμης ανάρτησης, τα είχα όλα Arial 12, κάτι πήγε πολύ σταρβά…
Καλημέρα Στάθη.
Ήταν όλο σε calibri!
Μάλλον όταν έκανες εισαγωγή των εξισώσεων, σαν εικόνες, κάπου κράτησε την αρχική γραμματοσειρά.
Δημήτρη καλησπέρα.
Συμφωνώ ότι η εξίσωση Poisson δέχεται άπειρες δυνατές λύσεις οι οποίες αντιστοιχούν σε άπειρες δυνατές "γεωμετρίες" για το σχήμα της ποσότητας του ρευστού. Όμως σε κάθε σχήμα αναλογεί μία λύση.
Στο "αφορμή για συζήτηση 1.3", στην εξίσωση για το Uin έχει προστεθεί ένας όρος (ο δέυτερος με την γωνιακή ταχύτητα), κατάλληλα προσαρμοσμένος έτσι ώστε η Λαπλασιανή του να μηδενίζεται. Ο πρώτος όρος είναι το βαρυτικό δυναμικό στο εσωτερικό μίας σφαιρικής κατανομής μάζας. Όταν αυτό το Uin προστεθεί στην εξίσωση της (1.4) δίνει την πίεση.
Μπορεί κάποιος να βρεί άπειρους συνδυασμούς συναρτήσεων που ικανοποιούν τα παραπάνω. Δεν είναι δυνατόν όλοι να είναι σωστοί.
Για αυτό σε ρώτησα από την αρχή: Πώς προέκυψαν οι δύο εξισώσεις για την πίεση και το δυναμικό; Για παράδειγμα γιατί ω^2/6 στην εξίσωση του δυναμικού και όχι ω^2/120; Γιατί (ρ^2-2z^2+2R^2) και όχι (c1 x^2 + c2 y^2 -2 (c1+c2)z^2 + R^2);
Στάθη γεια σου και σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και τις παρατηρήσεις σου.
Οι δύο σχέσεις – δυναμικού και πίεσης – προέκυψαν από τη δική μου απαίτηση να βρω κάποια λύση που θα περιγράφει ιδανικό ρευστό περιστρεφόμενο ως στερεό όπου οι επιφάνειες σταθερής πίεσης να είναι σφαίρες, πράγμα μη αναμενόμενο.
Απαίτησα η πίεση να εξαρτάται από τον συνδυασμό (ρ^2+z^2) και το δυναμικό να είναι άθροισμα τετραγώνων των συντεταγμένων συν μια σταθερή. Αν δεν υπάρχει λάθος στις πράξεις, βρέθηκε η λύση αυτή του “αφορμή για συζήτηση 1.3”. Η πίεση μηδενίζεται στην επιφάνεια ρ^2+z^2=R^2. (το ω^2/120 για το δυναμικό που αναφέρεις π.χ δεν ικανοποιεί τις εξισώσεις)
To σώμα έχει σφαιρικό σχήμα. Σίγουρα κάτι δεν πάει καλά; Με ποια έννοια λες “δεν είναι δυνατόν να είναι όλοι σωστοί” ;
Καλημέρα Δημήτρη.
Γράφεις,
"…Οι δύο σχέσεις – δυναμικού και πίεσης – προέκυψαν από τη δική μου απαίτηση να βρω κάποια λύση που θα περιγράφει ιδανικό ρευστό περιστρεφόμενο ως στερεό όπου οι επιφάνειες σταθερής πίεσης να είναι σφαίρες, πράγμα μη αναμενόμενο…"
Δεν καταλαβαίνω πώς είναι δυνατόν ένα περιστρεφόμενο ιδανικό ρευστό να συμπεριφέρεται ως στερεό. Το ότι το εσωτερικό δυναμικό που δίνεις ικανοποιεί την εξίσωση Poisson δεν απαντά στο πρόβλημα και αυτό γιατί η εξίσωση ικανοποιείται για άπειρα γεωμετρικές κατανομές μάζας (κάθε μία από αυτές θα δημιουργεί ένα βαρυτικό δυναμικό στο εσωτερικό της). Μία όμως περιστρεφόμενη ποσότητα ιδανικού ρευστού θα λάβει ένα σχήμα, το οποίο μπορεί να είναι κατ' εμέ μόνον το ελλειψοειδές σφαιρικό, λόγω των συμμετριών της φυγοκέντρου δύναμης. Με λίγα λόγια η πλαστελίνη μπορεί να διατηρεί το σφαιρικό της σχήμα περιστρεφόμενη λόγω των δυνάμεων συνοχής στο εσωτερικό της, γιατί σε πολύ καλή προσέγγιση για μικρές γωνιακές ταχύτητες συμπεριφέρεται ως στερεό σώμα. Το νερό όμως αναγκαστικά θα παραμορφωθεί όντας καθαρά ρευστό, γιατί καμία εσωτερική δύναμη δεν μπορεί να αποτρέψει μία ποσότητα, στον ισημερινό του για παράδειγμα, να αυξήσει την ακτίνα της λόγω φυγοκέντρου.Η φυγόκεντρος ελαττώνεται έως το μηδέν από τον ισημερινό προς τους πόλους, οπότε η άυξηση της ακτίνας θα ελαττώνεται και θα μηδενίζεται στους πόλους. Μέσω αυτού του μηχανισμού δεν βλέπω άλλη δυνατή κατανομή από την ελλειψοειδή.
Θα ξεκινούσα λοιπόν την λύση του προβλήματος απ' ευθείας με ένα δυναμικό, όπως αυτό που περιγράφεις στο δεύτερο μέρος (μόλις ξεκίνησα να το διαβάζω).