από 
Συχνά συναντάμε ασκήσεις στα διακροτήματα, όπου ζητείται η εξίσωση της ταχύτητας υ(t) του κινούμενου σώματος.
Έχοντας περιγράψει την κίνηση ως μια “σχεδόν αρμονική ταλάντωση” με εξίσωση:
x = A’·ημ(ωμέση·t)
όπου όμως το πλάτος |Α’| μεταβάλλεται αργά, περιοδικά, κλπ.,
μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση:
υ = A’·ωμέση·συν(ωμέση·t) ;
Πώς προκύπτει κάτι τέτοιο και πόσο ακριβές είναι;
(Visited 1,544 times, 1 visits today)
Καλημέρα Διονύση και σε ευχαριστώ για την όμορφη δουλειά σου, που μοιράστηκες.
Σε κάθε ανάλογη περίπτωση, θέλοντας να αναδείξουμε κάποια δύσκολα σημεία, χρησιμοποιούμε μικρές συχνότητες, όπως έκανες παραπάνω δουλεύοντας με 4 και 5 Hz. Θα είχαμε εμφανείς διαφοροποιήσει αν είχαμε 50 και 60 Hz όπου και πάλι θα είχαμε διαφορά 20%;
Και ένα δεύτερο. Στο σχήμα 3 που δείχνει τις ταχύτητες βλέπουμε σημαντική διαφοροποίηση μεταξύ της 7 και των 6,9, στην περιοχή των μικρών ταχυτήτων, ενώ στις μεγαλύτερες ταχύτητες, σχεδόν οι δυο καμπύλες ταυτίζονται. Υπάρχει κάποια "φυσική" ερμηνεία;
Διονύση, καλημέρα. Πολύ καλή η ανάλυσή σου και πολύ περισσότερο οι επισημάνσεις σου. Συμφωνώ απολύτως με το τελευταίο (για τις εξετάσεις). Με την ίδια λογική μπορούν να ζητήσουν και την επιτάχυνση, κοκ. Και οι προσεγγίσεις έχουν τα όριά τους.
Είχα δείξει παλιότερα σε κάποια ανάρτησή μου στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης ότι και η προσέγγιση της ισότητας της γωνιακής ιδιοσυχνότητας με τη συχνότητα συντονισμού μετατόπισης (για τα b που υπάρχει ο προηγούμενος συντονισμός) δεν είναι σωστή, αφού αυξανόμενου του b (μέσα στα προηγούμενα όρια) η απόκλιση των δύο συχνοτήτων είναι σημαντικότατη.
Η αναλογία κάποιων της απλής αρμονικής ταλάντωσης με την εξίσωση που αποδίδει το διακρότημα για τον προσδιορισμό της ταχύτητας δεν έχει μαθηματική βάση, αφού το «πλάτος» στο 2ο μεταβάλλεται με το χρόνο, έστω και αργά.
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση δεν περίμενα ότι η διαφορά ταχυτήτων θα ήταν τόσο μικρή. Τι θα γίνει αν παρά την παραίνεσή σου πέσει τέτοια ερώτηση;
Καλημέρα σε όλους,
Διονύση, Κωνσταντίνε, Γιάννη σας ευχαριστώ για τα σχόλια
Συμφωνώ Κωνσταντίνε, ότι προσεγγίσεις κάνουμε πρέπει να είναι τεκμηριωμένες, και όχι … «κατ’ αναλογίαν»!
Διονύση για το 1ο ζήτημα που θέτεις, νομίζω ότι η «εικόνα» που θα έχουμε εξαρτάται από το πλήθος Ν πλήρων παλινδρομήσεων που θα γίνουν σε μια περίοδο Τδ. Δηλαδή τελικά από το λόγο λ των δύο συχνοτήτων:
Ν = fμέση·Τδ = ½(f1+f2)/|f1–f2| = ½(λ+1)/|λ–1|
Στο παράδειγμά μας π.χ. το Ν προκύπτει ίδιο (Ν=4,5), είτε για τις τιμές 4Hz / 5Hz, είτε για 40Hz / 50Hz.
Αν μιλάμε για % διαφορά, για να βγαίνει το ίδιο Ν θα πρέπει να χρησιμοποιούμε την ίδια συχνότητα ως συχνότητα αναφοράς, π.χ. τη μεγαλύτερη.
Με 40Hz / 50Hz η μία είναι 20% μικρότερη από την άλλη, ενώ με 50Hz / 60Hz η μία είναι 16,66% μικρότερη από την άλλη.
Με τις δύο τελευταίες έχουμε άλλο λόγο λ=5/6 και βγαίνει Ν=5,5. Παραπλήσια εικόνα βέβαια αλλά λίγο διαφορετική.
Για το 2ο ζήτημα τώρα Διονύση, νομίζω ότι μπορούμε να δώσουμε την εξής ερμηνεία:
Ας αναπαραστήσουμε τις υ1 = Αω1συν(ω1t) και υ2 = Αω2συν(ω2t) με στρεφόμενα διανύσματα.
Η συνισταμένη V των δύο πλατών μεταβάλλεται αργά λόγω της διαφοράς φάσης Δφ = (ω1–ω2)t.
Όταν η Δφ είναι γύρω στο 2κπ (δηλαδή στις περιοχές μεγιστοποίησης του πλάτους κίνησης), η V πλησιάζει την τιμή: V = Αω1+Αω2 = Α(ω1+ω2) = 2Αωμέση.
Όταν η Δφ είναι γύρω στο (2κ+1)π (δηλαδή στις περιοχές μηδενισμού του πλάτους κίνησης), τότε η V πλησιάζει την τιμή: V = Αω1–Αω2 = Α(ω1–ω2) = Αωδ.
Η προσέγγιση ω1 ≈ ω2 δεν επηρεάζει την V στην περίπτωση Δφ = 2κπ, την αλλάζει όμως ριζικά, την μηδενίζει, στην περίπτωση Δφ = (2κ+1)π.
Οπότε, λογικά η γραφική παράσταση της (7) που είναι χωρίς προσέγγιση, θα πρέπει να διαφοροποιείται από αυτή της (6) ή της (9), στις περιοχές που η περιβάλλουσα της x(t) πλησιάζει το μηδέν.
Γιάννη γράφω συνέχεια.
… Γιάννη ας δούμε τη σχέση (10) που είναι άθροισμα δύο «διακροτημάτων»:
Παρόλο που τα μέγιστά τους είναι πολύ διαφορετικά όταν οι δύο συχνότητες είναι παραπλήσιες, ο 1ος όρος έχει ημ(½ωδt), ενώ ο 2ος έχει συν(½ωδt). Ο πρώτος δηλαδή μεγιστοποιείται στις περιοχές που ο 2ος μηδενίζεται. Στις περιοχές αυτές, εκεί δηλαδή που μηδενίζεται η περιβάλλουσα της x(t), δεν μπορείς πια να αγνοήσεις τον 1ο όρο!
Αν ζητηθεί π.χ. να υπολογιστεί η υ κάποια στιγμή πολύ κοντά στην t = (2κ+1)Τδ/2, τότε οι προσεγγιστικές σχέσεις (6), (9) ή (14) θα βγάλουν διαφορετικό αποτέλεσμα από τις (7) ή (10).
Στη γραφική παράσταση με διαφορά συχνοτήτων 2% δεν φαίνεται αυτό στην κλίμακα σχεδίασης, αν όμως μεγεθύνεις την περιοχή γύρω στο Τδ/2, η διαφορά φαίνεται.
Η προσεγγιστική σχέση δεν είναι επομένως ισοδύναμη σε μια μικρή περιοχή γύρω στο (2κ+1)Τδ/2.
Θεωρώ επομένως άστοχο να ζητήσουν κάτι σχετικό με τη υ(t).
… Η περιοχή γύρω στο Τδ/2 σε μεγένθυση (με διαφορά συχνοτήτων 2%):
Άστοχο μεν αλλά……
Η αρχή της επαλληλίας λέει ότι η ταχύτητα είναι το άθροισμα των δύο ταχυτήτων. Έτσι βρίσκουμε κάθε ταχύτητα και προσθέτουμε.
Η εύρεση ταχύτητας αρμονικού ταλαντωτή έχει διδαχθεί. Α.ω1.συνω1.t και Α.ω2.συνω2.t. Προσθέτουμε και …..
Τι θα σχολιάζαμε τότε εμείς;
Με πρόσθεση υ = υ1 + υ2 ναι κανένα πρόβλημα.
Αλλά η σχέση υ = 2Αωμέση συν(ωμέσηt) έχει … πρόβλημα
Ακριβώς αυτό είναι το θέμα. Αν πέσει τέτοιο πρόβλημα θα υπάρξουν δύο λύσεις. Μία σωστή και μία προσεγγιστικά σωστή.
Τι θα σχολιάζουμε τότε;
Διονυση διεξοδική η αναλυση σου που δημιουργει προβληματισμους οσον αφορα το θεμα των προσεγγισεων !
Εκτιμω μετα απο αυτα που διαβασα οτι ειναι προτιμοτερο να βρει κανεις την ταχυτητα μεσα απο την αρχη της επαλληλιας υ=υ1+υ2 ==> ….. αν και εφοσον ζητηθει κατι τετοιο !
Καλησπέρα σε όλη την παρέα
Διονύση πολύ ωραία ανάλυση όπως άλλωστε μας έχεις συνηθίσει.
Κάνεις πιστεύω δεν θα ήθελε τέτοιο ερώτημα σε πανελληνιες. Και εγώ πιστεύω σωστή θα ήταν μια λύση όπου υ=υ1+υ2