by 
Η ανάρτηση του Διονύση “Δυο κύματα που διαδίδονται αντίθετα” φοβάμαι ότι μπορεί να παρεξηγηθεί.
Φοβάμαι ότι μπορεί να θεωρήσει κάποιος ότι αν στα άκρα μιας χορδής βάλουμε δύο πηγές που τα αναγκάζουν να ταλαντεύονται με ίδιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη, δεν θα έχουμε στάσιμο κύμα.
Όντως δεν θα έχουμε στην περίπτωση της ανάρτησης του Διονύση. Εδώ όμως;
Στα ίδια μπορούμε να καταλήξουμε και λιγότερο “τολμηρά”. Αναζητώντας λύση της κυματικής εξίσωσης που ικανοποιεί τις συνθήκες των άκρων. Πάλι στάσιμο θα προκύψει.
Αφιερούται και αυτή στον Διονύση.
Επιθυμητή κάθε αντίρρηση και κάθε παρατήρηση.
Σε ευχαριστώ για την αφιέρωση Γιάννη, θέτοντάς σου ένα!!! ερώτημα… κρίσεως:
Τι διαφορά έχει η δική μου θεώρηση, με την δική σου παραπάνω;
Γιατί έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα;
Ποια λύση είναι σωστή; Μπορεί να είναι και οι δύο λύσεις σωστές;
Γεια σου Διονύση.
Και οι δύο λύσεις είναι σωστές. Όμως είναι λύσεις διαφορετικών προβλημάτων.
Για τον λόγο αυτόν έκανα την παρούσα ανάρτηση. Μήπως νομίσει κάποιος ότι η δική σου ανάρτηση σχετίζεται με δύο πηγές στα άκρα μιας χορδής, ενώ εσύ μελετάς μια πεντακάθαρη συμβολή δύο κυμάτων αντιθέτων διευθύνσεων.
Ακριβώς Γιάννη!
Γι΄αυτό έβαλα το ερώτημα…
“είναι λύσεις διαφορετικών προβλημάτων.”
Με το να θέτεις τις δυο πηγές στα άκρα μιας συγκεκριμένης χορδής, δημιουργείς ένα άλλο πρόβλημα με καθορισμένους περιορισμούς που θέτει η ύπαρξη των πηγών.
Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι συμβατόν με τους περιορισμούς που βάζουν οι περιορισμοί των δύο πηγών και η μεταξύ τους απόσταση.
Αντίθετα εγώ μίλησα για ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα. Απλά μια εφαρμογή της αρχή της επαλληλίας…
Για παράδειγμα θα μπορούσες να βάλεις μια κατευθυντική φωτεινή πηγή και την ανάκλασή της που έχει μισό πλάτος.
Η συμβολή δεν θα δώσει σκοτεινά σημεία. Το ίδιο και με ήχους. Το ίδιο και με κύματα νερού σε μακριά και στενή δεξαμενή.
Η περιπτώσεις αυτές διαφέρουν από την περίπτωση μιας χορδής της οποίας τα άκρα είναι καταδικασμένα να εκτελούν δεδομένες ταλαντώσεις λόγω κάποιων μοτέρ ίσως. Εκεί θα γίνει στάσιμο κύμα. Μόνο όμως με ίδιες συχνότητες.
Γιάννη καλημέρα – καλησπέρα.
Εξαιρετική συμπληρώνει η δική σου και του Διονύση η μία την άλλη. Να παρατηρήσει καποιος ότι καικαι μέγιστο πλάτος δεν είναι 0,03m.
Καλημέρα σε όλους.
Επειδή κάποιος που μας διαβάζει πλαγίως (εννοώ με μια γρήγορη ματιά…) μπορεί να καταλήξει στο εύκολο συμπέρασμα για “διαφωνία” συγκρίνοντας την διπλανή δική μου ανάρτηση και αυτήν εδώ του Γιάννη, να θυμίσω μια καλοκαιρινή μου :
Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο
όπου κάποιος μπορεί να διαβάσει:
“Προσοχή δεν μιλάμε για καμιά διάδοση κύματος, μιλάμε για μια μόνιμη κατάσταση, όπου τα αρχικά μεταβατικά φαινόμενα έχουν τελειώσει. Το ότι ξεκίνησε ένα κύμα από την πηγή Ο, διαδόθηκε προς τα αριστερά, πήγε στο Μ, ανακλάσθηκε, επέστρεψε… όλα αυτά έχουν περάσει. Δεν υπάρχει καμιά τέτοια διάδοση πια…
Για κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής πρέπει να ισχύει η διαφορική εξίσωση:
Όπου αντικαθιστούμε το T/μ =u2 για ευκολία μας, χωρίς αυτό το υ να το «ονομάζουμε» κάποια ταχύτητα… Η όποια λύση, πρέπει να ικανοποιεί την παραπάνω διαφορική αλλά και τις οριακές και αρχικές συνθήκες!
Την εφαρμογή αυτών των “οριακών συνθηκών” έκανε παραπάνω ο Γιάννης, χωρίς να ασχολείται με καμιά διάδοση κύματος.
Αντίθετα η αντίστοιχη δική μου, μελετά μια διάδοση δύο κυμάτων σε ένα μέσο, χωρίς αποσβέσης, χωρίς πηγές, που απλά συμβάλουν. Η συμβολή που έχουμε οδηγεί σε στάσιμο; Θεωρητικά (με βάση τη θεωρία μας) η κατάσταση που προκύπτει μελετάται σαν στάσιμο…
Καλημέρα Χρήστο και Διονύση.
Ευχαριστώ.
Συνάδελφοι καλησπέρα.
Συνήθως, όπου γίνεται συζήτηση για κύματα εμφανίζομαι και γω για να δώσω “τα φώτα μου”. Ξέρω τα σχετικά προβλήματα αφού ασχολούμαι, χρόνια τώρα, με τη διάδοση κυμάτων σε γραμμές μεταφοράς.
Στις γραμμές μεταφοράς χρησιμοποιούμε μόνον οδεύοντα κύματα στους υπολογισμούς, όχι στάσιμα. Η κατηγοριοποίηση των κυμάτων σε “τρέχοντα” και “στάσιμα”, ευρέως χρησιμοποιούμενη στη ΜΕ, δεν είναι τόσο καλή. Η πιο καλή κατηγοριοποίηση είναι τα “οδεύοντα” και τα “επιστρέφοντα”. Για παράδειγμα, σε προβλήματα του τύπου του Γιάννη, θεωρείς ένα οδεύον κύμα με πλάτος Α, ένα επιστρέφον με πλάτος Β και προσδιορίζεις τα δυο πλάτη από τις δυο συνθήκες στα άκρα.
Η λύση του προβλήματος διευκολύνεται πολύ αν, αντί για αρμονικές συναρτήσεις, χρησιμοποιηθούν μιγαδικές εκθετικές. Το κύμα παριστάνεται από το πραγματικό μέρος της μιγαδικής εκθετικής.
Νίκο μπορείς να μιλήσεις για κύματα, αλλά όχι μόνο δύο. Ο Βαγγέλης Κορφιάτης είχε αντιμετωπίσει το πρόβλημα μέσω πολλαπλών ανακλάσεων. Όντως αυτό εξηγεί πολλά. Αν μιλούσαμε για δύο μόνο κύματα, τότε το πλάτος των κοιλιών θα έβγαινε το πολύ διπλάσιο του πλάτους της πηγής. Βγαίνει όμως εντυπωσιακά μεγαλύτερο.
Πλάτος πηγής 1mm και πλάτος κοιλίας 5cm και βάλε.
Μη βλέπεις που η επιλογή μου (λ/4 παραπάνω το μήκος της χορδής) έδωσε μικρά πλάτη. Θα μπορούσα να βάλω λ/12 και να μεγαλώσω πολύ τα πλάτη.
Μου είναι ευκολότερο το να βρω την γενική λύση της κυματικής εξίσωσης και να υπολογίσω συντελεστές από οριακές συνθήκες. Σε μια πρωτόλεια μορφή αυτό έκανα χωρίς να επικαλεστώ επαλληλία δύο στασίμων.
Βγαίνει φυσικά το ίδιο αλλά το κείμεν0 δεν ήταν ούτε ευπαρουσίαστο, ούτε τόσο “τολμηρό” όσο ήθελα.
Έτσι επέλεξα την παρούσα δομή.
Ο Βαγγέλης θεώρησε ένα κύμα που ξεκινά μια χρονική στιγμή από την πηγή, μετά ανακλάται στο ένα άκρο, μετά στο άλλο και η επαλληλία χτίζει το τελικό κύμα. Εγώ, όταν πραγματεύομαι κύματα, δεν θεωρώ ότι το κύμα άρχισε να υπάρχει μια χρονική στιγμή. Θεωρώ ότι έγινε πριν από 13,7 δισ. χρόνια, μαζί με το big bang. Και θέτω το ερώτημα: εδώ έχουμε να κάνουμε με επαλληλία δυο αρμονικών κυμάτων που το ένα πάει προς τα αριστερά και το άλλο προς τα δεξιά αλλά το πλάτος τους είναι άγνωστο. Οι οριακές συνθήκες είναι γνωστές γιατί πρόκειται για ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και συγκεκριμένου πλάτους. Πως μπορώ να στήσω ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, δηλ. τα πλάτη αυτών των δυο κυμάτων, που να μου προσδιορίζει αυτά τα πλάτη;
Όταν είχε ξανασυζητηθεί αυτό το πρόβλημα είχα δώσει λύση με μιγαδικά εκθετικά και είπε ο Διονύσης ότι χρησιμοποιώ ανώτερα μαθηματικά. Μπορεί να λυθεί και με αρμονικές συναρτήσεις, αλλά δυσκολότερα.
Μπορώ επίσης να λύσω το πρόβλημα όπου τα χέρια στα άκρα έχουν διαφορετικές συχνότητες. Εδώ θα έχουμε 4 εξισώσεις με 4 αγνώστους.