Δυο πηγές σε μία χορδή.

Η ανάρτηση του Διονύση “Δυο κύματα που διαδίδονται αντίθετα”   φοβάμαι ότι μπορεί να παρεξηγηθεί.

Φοβάμαι ότι μπορεί να θεωρήσει κάποιος ότι αν στα άκρα μιας χορδής βάλουμε δύο πηγές που τα αναγκάζουν να ταλαντεύονται με ίδιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη, δεν θα έχουμε στάσιμο κύμα.

Όντως δεν θα έχουμε στην περίπτωση της ανάρτησης του Διονύση. Εδώ όμως;

Συνέχεια:

Στα ίδια μπορούμε να καταλήξουμε και λιγότερο “τολμηρά”. Αναζητώντας λύση της κυματικής εξίσωσης που ικανοποιεί τις συνθήκες των άκρων. Πάλι στάσιμο θα προκύψει.

 

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
56 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
27/12/2018 9:35 ΜΜ

Σε ευχαριστώ για την αφιέρωση Γιάννη, θέτοντάς σου ένα!!! ερώτημα… κρίσεως:

Τι διαφορά έχει η δική μου θεώρηση, με την δική σου παραπάνω;

Γιατί έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα;

Ποια λύση είναι σωστή; Μπορεί να είναι και οι δύο λύσεις σωστές;

Διονύσης Μάργαρης
27/12/2018 9:57 ΜΜ

Ακριβώς Γιάννη!

Γι΄αυτό έβαλα το ερώτημα…

είναι λύσεις διαφορετικών προβλημάτων.”

Με το να θέτεις τις δυο πηγές στα άκρα μιας συγκεκριμένης χορδής, δημιουργείς ένα άλλο πρόβλημα με καθορισμένους περιορισμούς που θέτει η ύπαρξη των πηγών.

Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι συμβατόν με τους περιορισμούς που βάζουν οι περιορισμοί των δύο πηγών και η μεταξύ τους απόσταση.

Αντίθετα εγώ μίλησα για ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα. Απλά μια εφαρμογή της αρχή της επαλληλίας…

Χρήστος Αγριόδημας
Αρχισυντάκτης
28/12/2018 12:24 ΠΜ

Γιάννη καλημέρα – καλησπέρα.

Εξαιρετική συμπληρώνει η δική σου και του Διονύση η μία την άλλη. Να παρατηρήσει καποιος ότι καικαι μέγιστο πλάτος δεν είναι 0,03m.

Διονύσης Μάργαρης
28/12/2018 8:26 ΠΜ

Καλημέρα σε όλους.

Επειδή κάποιος που μας διαβάζει πλαγίως (εννοώ με μια γρήγορη ματιά…) μπορεί να καταλήξει στο εύκολο συμπέρασμα για “διαφωνία” συγκρίνοντας την διπλανή δική μου ανάρτηση και αυτήν εδώ του Γιάννη, να θυμίσω μια καλοκαιρινή μου :
Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο 
όπου κάποιος μπορεί να  διαβάσει:
“Προσοχή δεν μιλάμε για καμιά διάδοση κύματος, μιλάμε για μια μόνιμη κατάσταση, όπου τα αρχικά μεταβατικά φαινόμενα έχουν τελειώσει. Το ότι ξεκίνησε ένα κύμα από την πηγή Ο, διαδόθηκε προς τα αριστερά, πήγε στο Μ, ανακλάσθηκε, επέστρεψε… όλα αυτά έχουν περάσει. Δεν υπάρχει καμιά τέτοια διάδοση πια
Για κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής πρέπει να ισχύει η διαφορική εξίσωση:

Όπου αντικαθιστούμε το T/μ =u2 για ευκολία μας, χωρίς αυτό το υ να το «ονομάζουμε» κάποια ταχύτητα… Η όποια λύση, πρέπει να ικανοποιεί την παραπάνω διαφορική αλλά και τις οριακές και αρχικές συνθήκες!
Την εφαρμογή αυτών των “οριακών συνθηκών” έκανε παραπάνω ο Γιάννης, χωρίς να ασχολείται με καμιά διάδοση κύματος.

Αντίθετα η αντίστοιχη δική μου, μελετά μια διάδοση δύο κυμάτων σε ένα μέσο, χωρίς αποσβέσης, χωρίς πηγές, που απλά συμβάλουν. Η συμβολή που έχουμε οδηγεί σε στάσιμο; Θεωρητικά (με βάση τη θεωρία μας) η κατάσταση που προκύπτει μελετάται σαν στάσιμο…

Νίκος Παναγιωτίδης

Συνάδελφοι καλησπέρα.

Συνήθως, όπου γίνεται συζήτηση για κύματα εμφανίζομαι και γω για να δώσω “τα φώτα μου”. Ξέρω τα σχετικά προβλήματα αφού ασχολούμαι, χρόνια τώρα, με τη διάδοση κυμάτων σε γραμμές μεταφοράς.

Στις γραμμές μεταφοράς χρησιμοποιούμε μόνον οδεύοντα κύματα στους υπολογισμούς, όχι στάσιμα. Η κατηγοριοποίηση των κυμάτων σε “τρέχοντα” και “στάσιμα”, ευρέως χρησιμοποιούμενη στη ΜΕ, δεν είναι τόσο καλή. Η πιο καλή κατηγοριοποίηση είναι τα “οδεύοντα” και τα “επιστρέφοντα”. Για παράδειγμα, σε προβλήματα του τύπου του Γιάννη, θεωρείς ένα οδεύον κύμα με πλάτος Α, ένα επιστρέφον με πλάτος Β και προσδιορίζεις τα δυο πλάτη από τις δυο συνθήκες στα άκρα.

Η λύση του προβλήματος διευκολύνεται πολύ αν, αντί για αρμονικές συναρτήσεις, χρησιμοποιηθούν μιγαδικές εκθετικές. Το κύμα παριστάνεται από το πραγματικό μέρος της μιγαδικής εκθετικής.

Νίκος Παναγιωτίδης

Ο Βαγγέλης θεώρησε ένα κύμα που ξεκινά μια χρονική στιγμή από την πηγή, μετά ανακλάται στο ένα άκρο, μετά στο άλλο και η επαλληλία χτίζει το τελικό κύμα. Εγώ, όταν πραγματεύομαι κύματα, δεν θεωρώ ότι το κύμα άρχισε να υπάρχει μια χρονική στιγμή. Θεωρώ ότι έγινε πριν από 13,7 δισ. χρόνια, μαζί με το big bang. Και θέτω το ερώτημα: εδώ έχουμε να κάνουμε με επαλληλία δυο αρμονικών κυμάτων που το ένα πάει προς τα αριστερά και το άλλο προς τα δεξιά αλλά το πλάτος τους είναι άγνωστο. Οι οριακές συνθήκες είναι γνωστές γιατί πρόκειται για ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και συγκεκριμένου πλάτους. Πως μπορώ να στήσω ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, δηλ. τα πλάτη αυτών των δυο κυμάτων, που να μου προσδιορίζει αυτά τα πλάτη;

Όταν είχε ξανασυζητηθεί αυτό το πρόβλημα είχα δώσει λύση με μιγαδικά εκθετικά και είπε ο Διονύσης ότι χρησιμοποιώ ανώτερα μαθηματικά. Μπορεί να λυθεί και με αρμονικές συναρτήσεις, αλλά δυσκολότερα.

Μπορώ επίσης να λύσω το πρόβλημα όπου τα χέρια στα άκρα έχουν διαφορετικές συχνότητες. Εδώ θα έχουμε 4 εξισώσεις με 4 αγνώστους.

Νίκος Παναγιωτίδης
28/12/2018 10:40 ΜΜ

Δεν συμφωνώ ότι γίνεται στάσιμο κύμα. Στάσιμο κύμα γίνεται μόνο όταν το ένα άκρο κάνει αρμονική ταλάντωση και το άλλο είναι ακίνητο.

Νίκος Παναγιωτίδης
29/12/2018 12:19 ΜΜ

Η καθιερωμένη μεθοδολογία είναι η εξής: η λύση της κυματικής εξίσωσης εκφράζεται σαν άθροισμα γινομένων και οι συντελεστές των γινομένων προσδιορίζονται από την κυματομορφή της χορδής τη στιγμή t=0 και τις συνθήκες στα άκρα για κάθε t. Όταν οι συνθήκες στα άκρα είναι αρμονικές ταλαντώσεις κάποιων συχνοτήτων τα πράγματα απλουστεύονται. Αν πχ και τα δύο άκρα ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα και συγκεκριμένα πλάτη, θα έχουμε δυο αντίθετα διαδιδόμενα αρμονικά κύματα της κοινής συχνότητας και μένει, από τις οριακές και τις αρχικές συνθήκες, να βρούμε τις φάσεις τους και τα πλάτη τους. Η χρήση μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων διευκολύνει σημαντικά την επίλυση.