by 
Η ανάρτηση του Διονύση “Δυο κύματα που διαδίδονται αντίθετα” φοβάμαι ότι μπορεί να παρεξηγηθεί.
Φοβάμαι ότι μπορεί να θεωρήσει κάποιος ότι αν στα άκρα μιας χορδής βάλουμε δύο πηγές που τα αναγκάζουν να ταλαντεύονται με ίδιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη, δεν θα έχουμε στάσιμο κύμα.
Όντως δεν θα έχουμε στην περίπτωση της ανάρτησης του Διονύση. Εδώ όμως;
Στα ίδια μπορούμε να καταλήξουμε και λιγότερο “τολμηρά”. Αναζητώντας λύση της κυματικής εξίσωσης που ικανοποιεί τις συνθήκες των άκρων. Πάλι στάσιμο θα προκύψει.
Καλημέρα Γιάννη.
Αν επιτρέπονται οι παρατηρήσεις, θα σου κάνω την παρατήρηση ότι μερικές φορές δεν κάνεις καλή φυσική. Πχ γράφεις:
Είναι μια ταλάντωση συνεχούς μέσου. Η λύση του προβλήματος «υπακούει» στην κυματική εξίσωση. Έτσι γράφεται ως άθροισμα δύο όρων:
Α.ημ2π(ft-x/λ) , Α.ημ2π(ft+x/λ)
με κατάλληλο σημείο αναφοράς.
Η λύση σου υπακούει βέβαια στην κυματική εξίσωση, αλλά υπάρχουν άπειρες άλλες λύσεις που υπακούουν στην ΚΕ. Πως σου πέρασε από το μυαλό ότι είναι αυτή και όχι κάποια άλλη;
Επίσης: γιατί τα δυο αρμονικά κύματα έχουν πλάτη Α και Α και όχι Α και Β;
Όταν έχεις δυο οριακές συνθήκες αυτές μπορούν να σου προσδιορίσουν δυο σταθερές. Αλλά φαίνεται ότι εσύ σκέφτηκες ότι, αφού οι συνοριακές συνθήκες είναι συμμετρικές, πρέπει και τα κύματα να είναι συμμετρικά. Και για να μην κάνεις αχρείαστα μαθηματικά, έβαλες τα πλάτη ίσα από την αρχή.
Πως θα έλυνες το πρόβλημα αν οι συνθήκες δεν ήταν συμμετρικές ή αντισυμμετρικές;
Ευπρόσδεκτη η παρατήρηση. Προφανώς πολλές φορές κάνω λάθη και επομένως όχι καλή Φυσική.
Φυσικά υπάρχουν άπειρες λύσεις. Όμως πρέπει το άθροισμα να ικανοποιεί οριακές συνθήκες.
Έστω περίπτωση κατά την οποία το ένα άκρο είναι ακίνητο και το άλλο ταλαντεύεται. Για να έχουμε συνεχώς μηδενικό πλάτος στο άκρο αυτό, θα πρέπει τα πλάτη να είναι ίσα και όχι Α και Β. Τότε όμως προκύπτει στάσιμο.
Ούτε είναι δυνατόν οι λύσεις να είναι και οι δύο Α.ημ2π(ft-x/λ) , Α.ημ2π(ft-x/λ) ή Α.ημ2π(ft+x/λ) , Α.ημ2π(ft+x/λ)
Διότι πάλι δεν μπορούν να δώσουν μηδενισμό του άκρου.
Αυτά μας επιτρέπουν και γραφική λύση.
Με τις δύο πηγές μπορούμε να επικαλεστούμε υπέρθεση. Δηλαδή θεωρούμε ακίνητη την μία και ταλαντευόμενη την άλλη και βρίσκουμε την λύση. Κάνουμε το αντίστροφο και βρίσκουμε την άλλη λύση. Έπειτα προσθέτουμε.
Έχεις παραθέσει λύση (αυτήν με μιγαδικούς) που καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα.
Θα μπορούσα να πω ότι αν με τον ίδιο τρόπο έλυνες και την περίπτωση των δύο πηγών, εκεί θα κατέληγες.
Στην ερώτηση:
Πως θα έλυνες το πρόβλημα αν οι συνθήκες δεν ήταν συμμετρικές ή αντισυμμετρικές;
έχω απαντήσει πριν. Με υπέρθεση-επαλληλία δύο λύσεων. Ακίνητη πρώτα η μία πηγή και έπειτα η άλλη.
Θα αθροίσουμε και κάποιες φορές θα πάρουμε στάσιμο. Σε περιπτώσεις όπως αυτή που βρήκε ο Διονύσης, το άθροισμα δεν θα είναι στάσιμο.
Καλησπέρα σε όλους.
Δύο παρατηρήσεις:
Αν βρούμε μια λύση της κυματικής εξίσωσης σε συγκεκριμένες συνοριακές συνθήκες, αυτή είναι μοναδική. Το πώς θα την βρούμε εξαρτάται από τον λύτη.
Στάσιμο κύμα αποτελεί οποιοδήποτε διαμόρφωση μίας χορδής, η οποία που γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός όρων της μορφής, y (x,t) = C cos (kx+φ) sin (ωt+θ). Δεν είναι αναγκαίο να προκύπτει πάντα από δύο αντίθετης φοράς απλές κυμάνσεις με ίσα πλάτη.
Αν συμφωνούμε στα παραπάνω, δεν βλέπω κανένα πρόβλημα σε όλες τις λύσεις που προτάθηκαν.
Γιάννη, θα σου δείξω πως δουλεύω εγώ.
Όταν οι πηγές (“οριακές συνθήκες” τις λέω εγώ) είναι αρμονικές, υποπτεύομαι ότι το κύμα είναι αρμονικό.
Το πιο γενικό αρμονικό κύμα έχει δυο συνιστώσες:
1. Την “οδεύουσα”: Asin(ωt-kx+φ).
2. Την “επιστρέφουσα”: Bsin(ωt+kx+θ).
Τις προσθέτω και βλέπω τη συνάρτηση της απομάκρυνσης στο ένα άκρο και αυτή στο άλλο άκρο. Εξισώνω τη μια με την οριακή συνθήκη στο ένα άκρο και την άλλη με την οριακή συνθήκη στο άλλο. Κάνω την απαραίτητη τριγωνομετρία και στο τέλος εξισώνω τους συντελεστές των ημιτόνων και αυτούς των συνημιτόνων. Από αυτές τις εξισώσεις πρέπει να προκύψουν τα Α και Β και το φ-θ. Αν ξέρεις λίγο μιγαδικό λογισμό και χρησιμοποιήσεις μιγαδικά εκθετικά οι εξισώσεις είναι ωραιότερες και τελειώνεις σύντομα.
Τέλος θέλω να κάνω μια παρατήρηση για τη μεθοδολογία σου: μου φαίνεται λίγο ασύμβατη. Αλλά ίσως να την έχεις μελετήσει και να ξέρεις τι κάνεις.
Καλησπέρα.
Η λύση του προβλήματος των εγκαρσίων ταλαντώσεων τεντωμένης χορδής όταν τα άκρα της εκτελούν ταλαντώσεις ίσης συχνότητας, αλλά, εν γένει, διαφορετικού πλάτους και φάσης.
Πατήστε εδώ.
Καλησπέρα Νίκο.
Αυτό που δεν βλέπω να προκύπτει (τουλάχιστον εγώ δεν το εισέπραξα…) είναι η απάντηση στο ερώτημα:
Τελικά το αποτέλεσμα είναι ή όχι στάσιμο κύμα;
Μόνο αν προκύψει Α=Β Διονύση.
Καλησπέρα Νίκο και καλή χρονιά να έχουμε.
Τα Α και Β είναι ίσα στην περίπτωση της συγκεκριμένης ανάρτησης. Αν κάποιος κάνει τις πράξεις στα αποτελέσματά σου, εικάζω (δεν τις έκανα) ότι θα βρει το καθένα να ισούται με 0.01sqrt(5). Κοίτα εδώ.
Νίκο, χρησιμοποιώντας τους δικούς σου συμβολισμούς:
Τα Α και Β είναι τα πλάτη, όχι των δύο πηγών που υποτίθεται ότι έχουμε τοποθετήσει στα άκρα της χορδής, αλλά των δύο κυμάτων που διαδίδονται αντίθετα, με τα οποία μπορείς να περιγράψεις την κατάσταση.
Αλλά το θέμα που μας απασχολεί δεν είναι αυτά τα δύο υποθετικά κύματα, αλλά τι θα γίνει, αν στα άκρα της χορδής τοποθετήσουμε δύο δεδομένες πηγές κύματος, που ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα, αλλά με διαφορετικά πλάτη.
Θα δημιουργηθεί ή όχι στάσιμο αν βάλω δύο πηγές με πλάτη 0,001m και 0,002m;
Καλησπέρα Στάθη.
Καλησπέρα Διονύση.
Να κάνω και μία διόρθωση: Α = Β = 0.005sqrt(5).
Διονύση πρέπει x1^2+x2^2=x3^2+x4^2. Αν επεξεργαστείς τις εξισώσεις θα βρεις υπό ποίες συνθήκες συμβαίνει αυτό.
Αν κάνεις την ανάλυση προκύπτει ότι, αν cos(kl+α+β)=cos(kl-α-β) προκύπτει στάσιμο κύμα.
ή αλλιώς αν sin(kl)sin(α+β)=0.
Να τώρα πως απλοποιείται η ανάλυση χρησιμοποιώντας μιγαδικούς:
Η ανάλυση με μιγαδικούς εδώ.