by 
Ας υποθέσουμε ότι ένα δοχείο περιέχει υγρό σταθερής πυκνότητας και βρίσκεται σε ομογενές βαρυτικό πεδίο. Λόγω του βαρυτικού πεδίου, η δυναμική ενέργεια στο σημείο Α είναι mgh και η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα όγκου) σε αυτή τη θέση είναι ρgh (1). Σε ένα τυχαίο σημείο Β η δυναμική ενέργεια είναι mgh1, με ενεργειακή πυκνότητα ρgh1, και η πίεση στο ίδιο σημείο είναι ρgh2 . Το άθροισμα της ενεργειακής πυκνότητας στη θέση Β και της υδροστατική πίεσης στην ίδια θέση Β είναι:
ρgh1+ ρgh2 =ρg( h1+h2)= ρgh (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το άθροισμα της ενεργειακής πυκνότητας και της υδροστατικής πίεσης, σε κάθε σημείο του υγρού, σταθερής πυκνότητας και μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο, είναι σταθερή. Σε σημείο στον πυθμένα του δοχείου η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας είναι μηδέν και η πίεση ίση με ρgh (επίπεδο αναφοράς ο πυθμένας του δοχείου), όσο δηλ. η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας σε σημείο της επιφάνειας. Αν το δούμε διαφορετικά: δηλ. η διαφορά πυκνοτήτων δυναμικής ενέργειας μεταξύ αυτών των δύο σημείων ισούται με την υδροστατική πίεση (ή γενικότερα με τη διαφορά των αντίστοιχων υδροστατικών πιέσεων), και αν μου επιτρέπετε απλά «ότι χάνει σε πυκνότητα δυναμικής ενέργειας το κερδίζει σε πίεση».
Νομίζετε ότι μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι από αυτά; Ή προκύπτει κάτι που θα μπορούσε να μας βοηθήσει; Μπορεί να δίνει λύση σε ερωτήματα που μας έχουν απασχολήσει; Μπορεί να προκύψει από “σοβαρότερη” μαθηματική μαθηματική επεξεργασία;
με ιδιαίτερη εκτίμηση και (καθυστερημένες) ευχές για υγεία και ευτυχία σε όλους
Παναγιώτης Κουμαράς
Καλησπέρα Παναγιώτη.
Δεν είμαι σίγουρος αν θέλεις κάτι σαν το παρακάτω:
Η πίεση ως πυκνότητα ενέργειας.
Περιοριζόμενος Παναγιώτη στην σταθερότητα του αθροίσματος που αναφέρεις, μπορούμε μα συμπεράνουμε ότι μια “μαζούλα” νερού που έχει κάποια ταχύτητα σε σημείο Α ακίνητου υγρού, θα έχει την ίδια ταχύτητα σε οιοδήποτε άλλο σημείο του.
Αν δε υπάρχει ροή η διαφορά των δύο πιέσεων επί τον όγκο της μαζούλας, εκφράζει το έργο που προσφέρθηκε σ’ αυτήν.
Ισούται με την μεταβολή της μηχανικής του ενέργειας, δηλαδή την μεταβολή του όρου ρ.δV.h+1/2ρ.δV.υ^2.
Όμως ίσως σκέφτεσαι κάτι άλλο από αυτά.
Καλή χρονιά Παναγιώτη.
Χαίρομαι που σε βλέπω σχολιάζοντα!
Επί των ερωτημάτων που βάζεις, μια πρώτη σκέψη:
Αν μια στοιχειώδης μάζα μετακινηθεί από το Α στο Β, πράγματι μειώνεται η δυναμική της ενέργεια αφού “χαμηλώνει” αλλά ταυτόχρονα η μετακίνησή της αυτή, “προσθέτει” βάρος υπερκειμένου υγρού, δηλαδή την οδηγεί σε περιοχή αυξημένης πίεσης.
Αυτό πρέπει να μας οδηγήσει σε παραπέρα σύνδεση;
Χρόνια πολλά Παναγιώτη.
Η σχέση που αναφέρεσαι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της υδροστατικής πίεσης. Διάβασε εδώ.
Καλησπέρα Νίκο.
Προφανώς ισχύει η μαθηματική σχέση.
Νομίζω ότι ο Παναγιώτης κάπου αλλού στοχεύει, αλλά δεν ξέρω πού…
Καλησπέρα παιδιά.
Ακόμα δεν ξέρω τι θέλει να αναδείξει ο Παναγιώτης. Σκέφτομαι πως θέλει να θεωρηθεί η εξίσωση Μπερνούλι ως μια εξίσωση μεταξύ ενεργειακών πυκνοτήτων.
Ο όρος 1/5ρ.υ^2 είναι πυκνότητα κινητικής ενέργειας.
Ο όρος ρ.g.h είναι πυκνότητα δυναμικής ενέργειας.
Ο πίεση P είναι ενεργειακή πυκνότητα, με την έννοια ότι ΔP.δV είναι το έργο που παράγεται από την ροή πάνω σε μαζούλα όγκου δV. Δηλαδή είναι προσφερόμενη ενέργεια.
Θα δούμε αν αυτό θέλει να αναδειχθεί.
Καλησπέρα.
Σε ένα συντηρητικό δυναμικό πεδίο, η δύναμη ανά μονάδα όγκου σε ένα σημείο του είναι το -grad της πυκνότητας δυναμικής ενέργειας στο σημείο. Σε ένα στατικό ρευστό η δύναμη ανά μονάδα όγκου σε ένα σημείο του είναι το -grad της πίεσης στο σημείο. Όταν το ρευστό είναι μέσα στο πεδίο, η δύναμη ανά μονάδα όγκου είναι το -grad του αθροίσματος της πυκνότητας δυναμικής ενέργειας και της πίεσης. Η πηγή του φαινομένου που ανακάλυψε ο Παναγιώτης είναι ακριβώς αυτή.
Καλησπέρα σε όλους.
Αυτό που γράφεις είναι μια οριακή περίπτωση της εξίσωσης Bernoulli στην ισορροπία. Επειδή το στατικό υγρό είναι υποχρεωτικά αστρόβιλο, ισχύει σε δύο οποιαδήποτε σημεία του. Δηλαδή αυτό που έγραψε ο Γιάννης και ο Νίκος με διαφορετικό τρόπο. Θα ίσχυε το ίδιο αν είχαμε ομοιόμορφη ροή κατά μήκος του οριζοντίου άξονα με έναν όρο επιπλέον, τον 0.5ρυ^2.
Καλημέρα παιδιά.
Σε αυτό που γράφει ο Στάθης.
Η εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και Β μας δίνει
που οδηγεί στην ίδια μαθηματική εξίσωση, αφού έχουμε σταθερή ταχύτητα ροής στα δυο σημεία.
Διονύση καλημέρα και πάλι.
Παρόμοια συμπεριφορά έχουν πολλά είδη ροών, αρκεί να είναι αστρόβιλες, δηλαδή αρκεί το πεδίο ταχύτητας να γράφεται συναρτήσει ενός δυναμικού u, όπως στην εξίσωση (2) και συνεπώς να ικανοποιούν την εξίσωση Laplace. Στην δισδιάστατη περίπτωση οι λύσεις για το δυναμικό σε πολικές συντεταγμένες είναι όπως στην (1) και για την ταχύτητα όπως στην (3).
Για παράδειγμα αν μηδενίσουμε όλες της σταθερές α, β, γ, εκτός της δ0, προκύπτει μία αστρόβιλη δίνη!