Όταν η μάζα του νήματος δεν είναι αμελητέα

Από τη στιγμή που το νήμα έχει μάζα, δεν θα πρέπει να λάβουμε υπόψη την μεταβολή της ροπής αδράνειας της τροχαλίας, μιας και καθώς ξετυλίγεται το νήμα, μειώνεται και η μάζα που στρέφεται; … καλή ερώτηση … υποθέτω ότι δεν ήρθε αυθόρμητα!

… για να δούμε: Η μάζα ανά μονάδα μήκους του σχοινιού είναι λm/L (1) … (χρησιμοποιώ το L γιατί το αντίστοιχο μικρό καλλιγραφικό γράμμα δεν υπάρχει διαθέσιμο!)

… αν μία τυχαία χρονική στιγμή το μήκος του αιωρούμενου νήματος είναι y, τότε η μάζα του τελευταίου είναι λmy/L (2) … μέχρι εδώ είμαστε OK … παρακάτω … 

… ενώ το μήκος που παραμένει στην τροχαλία και γυρίζει μαζί της (δεχόμενοι ότι δεν υφίσταται σχετική ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχαλίας και ότι το νήμα είναι μη εκτατό) είναι ίσο προς λm – λmy/L =  λm(1 – y/L) (3), όπου αφαιρέσαμε απ’ όλη τη μάζα του νήματος το αιωρούμενο τμήμα σε τυχούσα χρονική στιγμή … 

Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος (μάζα m, τροχαλία, και νήμα) είναι επομένως: (κάθε στοιχειώδες τμήμα του αιωρούμενου τμήματος του νήματος έχει κινητική ενέργεια 1/2*dm*(dy/dt)^2 … οπότε το αιωρούμενο κομμάτι έχει συνολική κινητική ενέργεια 1/2*(λmy/L)*(dy/dt)^2 … ύστερα από ολοκλήρωση πάνω σε όλο το αιωρούμενο τμήμα, όπου γνωρίζουμε ότι η γραμμική ταχύτητα είναι η ίδια σε κάθε σημείο του αιωρούμενου τμήματος, εφόσον το νήμα είναι μη εκτατό) … οπότε …

1/2*m(dy/dt)^2 + 1/2*(λmy/L)*(dy/dt)^2 + 1/4*[M + λm(1 – y/L)]*(R^2)*(ω^2) (4) … στη ροπή αδράνειας της τροχαλίας ενσωματώσαμε και τη συνεισφορά του νήματος που μένει στην τροχαλία …

… όμως εφόσον το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία και δεν είναι εκτατό θα ισχύει ότι dy/dt = ωR (5)

Περαιτέρω, oι (4) και (5) δίνουν: 1/2*m(dy/dt)^2 + 1/2*(λmy/L)*(dy/dt)^2 + 1/4*[M+λm(1 – y/L )]*(dy/dt)^2 =  

1/2*m(dy/dt)^2 + 1/4*[M+λm]*(dy/dt)^2 +  1/4*(λm y/L)*(dy/dt)^2  (6)

Βαρυτικές δυναμικές ενέργειες: Έστω ότι η στάθμη αναφοράς είναι η οριζόντια στάθμη που διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας (οπότε περνάει και από το σημείο που το νήμα χάνει επαφή με την τροχαλία) … κάποια στιγμή που το ξετυλιγμένο νήμα έχει μήκος y, ας θεωρήσουμε μια στοιχειώδη μάζα dm του σχοινιού σε απόσταση s κάτω από την οριζόντια στάθμη αναφοράς …

… η βαρυτική δυναμική ενέργειά της είναι dU = -dm*g*s = -[(λm/L)*ds]*g*s (7), και η δυναμική ενέργεια όλου του αιωρούμενου σχοινιού μήκους y την ίδια στιγμή είναι ίση προς  Uξ = – 1/2*(λm/L)*g*y^2 (7), όπου ολοκληρώσαμε ως προς s από το μηδέν (γιατί το σημείο που το νήμα χάνει επαφή με την τροχαλία κείται στην στάθμη αναφοράς) μέχρι y για να λάβουμε υπόψη μας όλο το αιωρούμενο τμήμα του νήματος … 

… η βαρυτική δυναμική ενέργεια της μάζας m είναι U’ = – mgy (8)

… η βαρυτική δυναμική ενέργεια της τροχαλίας είναι μηδέν με βάση την επιλογή της στάθμης αναφοράς 

… η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σχοινιού που είναι τυλιγμένο γύρω από την τροχαλία είναι μηδενική λόγω συμμετρίας, γιατί για κάθε στοιχειώδη μάζα σχοινιού κάτω από την στάθμη αναφοράς υπάρχει μια αντίστοιχη στοιχειώδης μάζα σχοινιού πάνω από τη στάθμη αναφοράς με την ίδια στοιχειώδη δυναμική ενέργεια αλλά αντίθετου προσήμου … 

Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι δίνεται εκ των εξ. (6), (7) και (8) … και τα υπόλοιπα είναι γνωστά …