by 
Μετά την συζήτηση που έγινε σχετικά με τις χρονοεξαρτώμενες δυναμικές ενέργειες, πότε ορίζονται και πώς, εδώ, προέκυψε αυτήν εδώ η ανάρτηση, η οποία δικαιωματικά αφιερώνεται σε όλους όσους συμμετείχαν.
Στην ανάρτηση εξετάζεται η σύνθετη κίνηση που προκύπτει όταν σε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή ασκείται, πέραν της δύναμης επαναφοράς, και μία αρμονικά χρονοεξαρτώμενη, δύναμη. Προτείνονται τρεις διαφορετικές λύσεις στο πρόβλημα, η μία η συνήθης και δύο επιπλέον, ειδωμέμενες από μία τελείως διαφορετική σκοπιά (η μία εκ των δύο τελευταίων με χρονικά μεταβαλλόμενη δυναμική ενέργεια).
Η ανάλυση σε pdf
Καλημέρα Στάθη.
Σε ευχαριστώ για την αφιέρωση, στο μερίδιο που με αφορά!
Διονύση καλημέρα. Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Θα ήθελα να προσθέσω τα εξής:
Η συνάρτηση Hamilton, άρα και η συνάρτηση Lagrange, για ένα σύστημα, αφήνει αμετάβλτες τις εξισώσεις κίνησης αν προσθέσουμε σε αυτήν μία αυθαίρετη συάρτηση η οποία να εξαρτάται αποκλειστικά από τον χρόνο. Για παράδειγμα στις σχέσεις (2.8α) και (2.9α) μπορούμε να προσθέσουμε την τυχαία συνάρτηση f(t), χωρίς να αλλάξει η κινηματική συμπεριφορά του συστήματος. Και μπορούμε πάντα να προσθέτουμε αυτές τις αυστηρά χρονοεξαρτώμενες συναρτήσεις στην χρονοεξαρτώμενη δυναμική ενέργεια, U'(x,t) = U(x,t) + f(t).
Αυτό δείχνει ότι δεν είναι δυνατόν όλες οι προκύπτουσες συναρτήσεις Hamilton, οι οποίες αναπαράγουν σωστά τις εξισώσεις κίνησης, να ταυτίζονται με την κλασσική μηχανική ενέργεια του συστήματος.
Ευχαριστώ και εγώ Στάθη.
Θα την διαβάσω.
Στάθη καλησπέρα.
Μπράβο
Ξεκαθαρίζει πολλά πράγματα και από τη συζήτηση που ακολούθησε.
Συνειρμικά μου ήρθε μια φράση του Βαγγέλη Κορφιάτη σχετικά με την ενέργεια της ταλάντωσης στο ότι έχει μεγαλύτερη αξία η μηχανική ενέργεια όπως ορίζεται κλασσικά σε σχέση με αυτό που ορίζουμε ενεργεια ταλάντωσης, όπου πολλές φορές τυγχάνει να ταυτίζεται με την μηχανική ενέργεια. Π.χ. οριζόντιο ελατήριο με επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο.
Κρατώ κυρίως στο ότι η κινηματική ταύτιση εξισώσεων δεν εξάγει συμπεράσματα περί συντηρητικότητας δυναμεων όπως αποδεικνύεις. Ωραία η συσχέτιση με τον μη αδρανειακο παρατηρητή.
Χρήστο σε ευχαριστώ.
Συμφωνώ ότι η μηχανική ενέργεια της μάζας έχει μεγαλύτερη αξία από την ενέργεια της ταλάντωσης. Πολλές φορές το ρωτάω σε μαθητές με ένα σχήμα κατακόρυφου ελατηρίου, μίας μάζας στο κάτω άκρο του και με το ύψος της θέσης ισορροπίας από το έδαφος (το θέτω ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας) γνωστό. Και τις περισσότερες φορές η απάντηση είναι ότι τα δύο μεγέθη δεν έχουν καμία διαφορά.
Συμφωνώ όμως περισσότερο με το δεύτερο σχόλιό σου, "…η κινηματική ταύτιση εξισώσεων δεν εξάγει συμπεράσματα περί συντηρητικότητας δυναμεων …". Το γράφω στο κείμενο, τώρα το πρόσθεσα και στα συμπεράσματα.
Γειά σου Στάθη.
Πολύ όμορφη και πλήρης θεωρητική διαπραγμάτευση του θέματος.
Εντυπωσιακή η απόδειξη της ταύτισης των αποτελεσμάτων (αν και αναμενόμενη εφόσον είναι σωστές οι πράξεις) με Νευτώνεια και Χαμιλτονιανη διαδικασία, εξισώσεις 1.12 και 2.11β
Εννοιολογικά άκρως διευκρινιστική η παρατήρηση σου,
" Η συνάρτηση Hamilton, άρα και η συνάρτηση Lagrange, για ένα σύστημα, αφήνει αμετάβλτες τις εξισώσεις κίνησης αν προσθέσουμε σε αυτήν μία αυθαίρετη συάρτηση η οποία να εξαρτάται αποκλειστικά από τον χρόνο. Για παράδειγμα στις σχέσεις (2.8α) και (2.9α) μπορούμε να προσθέσουμε την τυχαία συνάρτηση f(t), χωρίς να αλλάξει η κινηματική συμπεριφορά του συστήματος. Και μπορούμε πάντα να προσθέτουμε αυτές τις αυστηρά χρονοεξαρτώμενες συναρτήσεις στην χρονοεξαρτώμενη δυναμική ενέργεια, U'(x,t) = U(x,t) + f(t). "
Όμως σχεδόν πάντα σε τέτοιες περιπτώσεις, χωρις καθολου να υποτιμω την θεωρητικη επεξεργασια, μου έρχονται στο νου αυτά που περιγράφει ότι συμβαίνουν στήν "εφαρμοσμένη" φυσικη ο καθηγητής Κυλαφης στο Πανεπιστήμιο της Κρητης.
Τα λόγια του στο
http://ph101.edu.physics.uoc.gr/bibliography.php (Μετά πας Κεφάλαιο 1 παράγραφο 1.5)
Και πάλι μπράβο.
Άρη σε ευχαριστώ.
Από τα λόγια του καθηγητή, κρατώ την τελευταία πρόταση της παραγράφου 1.5:
"…Τα περισσότερα από τα δύσκολα και ενδιαφέροντα προβλήµατα της Φυσικής λύνονται µόνον αριθµητικά! Αναλυτικά λύνονται µόνο τα προβλήµατα της Εισαγωγικής Φυσικής, άντε και λίγα ακόµη".
Έχει πολύ δίκιο. Από την άλλη οι ταπεινές αναλυτικές λύσεις των απλών θεωρητικών προβλημάτων, ερμηνεύουν σωστά (και όχι πάντα) και τις λύσεις στα πολυπλοκότερα φαινόμενα.
Πολύ καλή Στάθη.
Ευχαριστώ Γιάννη.
Στάθη, υποθέτω ότι είσαι σίγουρος πως προφανώς και εκτιμώ αφάνταστα την θεωρητική δουλειά σε όλα τα επίπεδα μελέτης.
Απλά με τα λόγια του Κυλαφη ήθελα να τονίσω ότι μέσω της αριθμητικής ανάλυσης λύνουμε τις ΔΕ οι οποίες προφανώς προκύπτουν από θεωρητικές μελέτες με αρκετά μεγάλη ακρίβεια και με τρόπο που εύκολα μετά οι σκλάβοι (Ή.Υ.) να κάνουν την βρώμικη δουλειά, την λαντζα.
Αυτά γιατί δεν θέλω να σου μένει καμιά αμφιβολία, για την αξία που δίνω όχι μόνο στις πολύ όμορφες δουλειές που έχεις παρουσιάσει εδώ, αλλά και γενικότερα στις θεωρητικές δουλειές.
Να περνάς καλά.
Άρη η εκτίμηση στις αναρτήσεις σου είναι αμοιβαία.
Η αλήθεια είναι ότι η "λάντζα" που λες, δεν είναι καθόλου εύκολη και η αξία της είναι μεγάλη. Απλά ένοιωσα την ανάγκη στα λεγόμενα του καθηγητή, να υπερασπιστώ την θεωρητική μελέτη (όχι την δική μου, τις σοβαρές στην έρευνα).
Να είσαι επίσης καλά, και να είσαι πάντα ενεργός στην νησίδα.