Μια σύνθετη άσκηση στις ταλαντώσεις – κρούσεις, με ολίγον από ανάλυση – συναρτήσεις

Μέσα σε ένα κλειστό δοχείο μισογεμισμένο με νερό επιπλέει όρθιος ένας κυλινδρικός φελλός.’Οταν ο φελλός είναι ακίνητος στο νερό, είναι βυθισμένος κατά τα 2/3 του ύψους του.Ένας γρύλλος κάθεται πάνω στο φελλό, οπότε ο φελλός ισορροπεί βυθισμένος περισσότερο από τα 2/3 του. Κάποια στιγμή ο γρύλλος εκτινάσσεται κατακόρυφα (σπρώχνοντας το φελλό προς τα κάτω), οπότε ο φελλός φτάνει στο κατώτερο σημείο του ώστε μόλις να βυθιστεί πλήρως. Ο γρύλλος αφού χτυπήσει στο πώμα του δοχείου και ανακλαστεί ελαστικά προς τα κάτω, ξαναπέφτει πάνω στο φελλό, πετυχαίνοντάς τον φελλό στην ίδια ακριβώς θέση που βρισκόταν κατά την εκτίναξη, ανεβαίνοντας όμως τώρα προς τα πάνω για πρώτη φορά. Αν το ύψος του πώματος του δοχείου πάνω από την αρχική θέση του γρύλλου (όταν ο γρύλλος στέκονταν ακίνητος πάνω στο φελλό) είναι

(6(√3) π−π²) / 27

φορές το ύψος του φελλού, να υπολογίσετε το λόγο της μάζας του γρύλλου σε σχέση με αυτόν του φελλού. Απαιτείται να αποδείξετε πρώτα ότι ο φελλός εκτελεί αρμονική ταλάντωση επιπλέοντας στο νερό. Αφού βρείτε κάποια λύση στο πρόβλημα, χρειάζεται να αποδείξετε ότι είναι και μοναδική.
Υπόδειξη: Θεωρήστε ως θετική φορά την προς τα κάτω. Αγνοήστε επίσης την αλλαγή στάθμης του νερού.Η άνωση που ασκείται σε ένα σώμα όταν αυτό είναι μερικώς βυθισμένο σε υγρό δίδεται από την έκφραση:

A = ρ_υ g V_βυθ

όπου ρ_υ ηπυκνότητα του υγρού και V_βυθ ο όγκος του βυθισμένου μέρους του σώματος.

Η εκφώνηση και η απάντηση εδώ.