by 
Σύνθεση δύο καθέτων απλών αρμονικών ταλαντώσεων: ο Ισότροπος Ταλαντωτής.
Στην ανάρτηση που ακολουθεί περιγράφεται η κίνηση ενός υλικού σημείου σε ένα κεντρικό δυναμικό της μορφής Hooke, F=-Dr, διαφορετικά η κίνηση μίας μάζας στο “πεδίο” του ισότροπου ταλαντωτή. Οι περισσότερες αναλύσεις που έχω συναντήσει περιγράφουν τις δυνατές τροχιές μέσω της μεθόδου Lagrange. Στην παρούσα ανάρτηση έχω αποφύγει την μέθοδο αυτή, επιλύοντας το πρόβλημα απ’ ευθείας από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα. Στην ουσία πρόκειται για την περιγραφή της σύνθεσης δύο καθέτων απλών αρμονικών ταλαντωτών με την ίδια συχνότητα, αλλά διαφορετικά πλάτη και αρχικές φάσεις.
Στο τέλος της ανάρτησης παρουσιάζεται μία εξαιρετικά ενδιαφέρουσα διατηρούμενη ποσότητα (στην οποία αξίζει κάποιος να σταθεί), υπό την μορφή ενός πίνακα και με το βαρύγδουπο όνομα του τανυστή της ενέργειας, η οποία συμπικνώνει όλες τις διατηρήσιμες ποσότητες στο εν λόγω πρόβλημα.
Καλησπέρα σε όλους.
Το έναυσμα για αυτήν την ανάρτηση δόθηκε από τον Παντελεήμονα Παπαδάκη ο οποίος πριν λίγο καιρό είχε δημοσιεύσει το εξαιρετικό Αρμονικές μεν, κάθετες δε…, Στην συζήτηση που ακολούθησε αναφέρθηκε ο ισότροπος ταλαντωτής και ο Παντελεήμονας, με τον μοναδικό του τρόπο, σχολίασε
“…Στάθη άνοιξα ένα παραθύρι στο διαδίκτυο για να ενημερωθώ περί ισότροπων ταλαντωτών και τουλάχιστον έμαθα ,όμως σύντομα φύσηξε Λαγκρανζιανό αγέρι και συνονόματος φορμαλισμός και μου ’κλεισε το παραθυρόφυλλο …”
Συνεπώς δικαιωματικά του την αφιερώνω.
Είσαι φοβερός Στάθη!
Μου βάζεις και πολλή δουλειά για σήμερα το απόγευμα. Η αρχή της Επαλληλίας δηλαδή, που εδώ ισχύει κατά τρόπον εντυπωσιακόν!
Θα το χαρούμε το νέο σου έργο σίγουρα. Μόνον δεν ξέρω αν μου φτάνει το απόγευμα που λέει ο Γιάννης.
Να είσαι καλά Στάθη.
Άρη το διάβασα.
Τώρα δοκιμάζω βαρεία εκλαΐκευσή του.
Γεια σας παιδιά.
Στάθη συγχαρητήρια για το νέο σου πόνημα, το οποίο θα μελετήσω.
Προς το παρόν το πήγα μέχρι την ΙΙΙ. όπου άρχισαν οι "βαριές" εξισώσεις…
Καλησπέρα παιδιά.
Γιάννη ανυπομονώ για την "εκλαϊκευση" όπως λες…
Διονύση ελπίζω να μην κουράσουν οι αναπόφευκτες εξισώσεις…
Άρη περιμένω τα σχόλιά σου…
Σας ευχαριστω και τους τρεις.
Τώρα Στάθη έμεινε το κομμάτι της προσομοίωσης.
Η προσομοίωση:
Ισότροπος ταλαντωτής.
Γεια σου Στάθη.
Προφανώς πρόκειται για μια πολλή σοβαρή δουλειά και με προσπάθεια εξάντλησης του θέματος σε κάθε πτυχή του. Πολύ διαφωτιστικά και τα γραφικά σου.
Ένα μπράβο ακόμη και για αυτή την δουλειά σου. έχει και συνέχεια
Άρη καλησπέρα και σε ευχαριστώ πολύ τόσο για τις παρατηρήσεις σου, όσο και για την προσεκτική ανάγνωση.
Αρχικά ξεκινώ από την ανάλυση στις καρτεσιανές συντεταγμένες: Ήθελα να αποφύγω το κυλινδρικό -πολικό σύστημα συντεταγμένων και τον φορμαλισμό Lagrange, για να κρατηθεί το κείμενο όσο το δυνατόν απλούστερο. Αυτό βολεύει γενικά, πλην της διαχείρισης της στροφορμής και του νόμου των εμβαδών (όπως σωστά επισημαίνεις). Για αυτό αποφάσισα να αφήσω τον τελευταίο εκτός.
Όσον αφορά το επίπεδο της κίνησης: μου φάνηκε προφανές από την ανάλυση της παραγράφου ΙΙ, ότι αναδεικνύεται ότι η τροχιά θα βρίσκεται συνεχώς πάνω στο επίπεδο που ορίζει ο διάνυσμα της αρχικής ταχύτητας με την αρχή των αξόνων (το κάθετο στην στροφορμή επίπεδο).
Θα συμπληρώσω τα δύο σημεία που επισημαίνεις ως υπογραμμίσεις.
Κλείνοντας θα ήθελα να επισημάνω ότι το πιο ενδιαφέρον μέγεθος στο «πεδίο» του ισότροπου ταλαντωτή είναι ο τανυστής ενέργειας στο τέλος της ανάρτησης. Μου φαίνεται εκπληκτικό, σχεδόν μαγικό, το ότι όλες οι διατηρήσιμες ποσότητες της κίνησης απορρέουν από τον πίνακα που τον περιγράφει. Το γεγονός γίνεται ακόμη πιο ενδιαφέρον αν κάποιος προσπαθήσει να κβαντώσει το πεδίο του ισότροπου ταλαντωτή (αυτό μαζί με το άτομο του υδρογόνου είναι, εξ’ όσων γνωρίζω, τα δύο δυναμικά για τα οποία επιλύεται επακριβώς η εξίσωση του Schrödinger). Τότε ο πίνακας του τανυστή ενέργειας και το διάνυσμα LRL της τελευταίας παραγράφου προβλέπουν σωστά τον εκφυλισμό των ενεργειακών σταθμών του πεδίου (αυτή συμμετρία έχει τελικά πολύ μεγάλο βάθος, από ότι φαίνεται στην αρχή).
Νά 'σαι καλά.
Στάθη.
Προφανώς στην παράγραφο ΙΙ, αναδεικνύεται πολύ καλά ότι η τροχιά θα βρίσκεται συνεχώς πάνω στο επίπεδο που ορίζει ο διάνυσμα της αρχικής ταχύτητας με την αρχή των αξόνων, Απλά θεώρησα ότι χρειάζεται να τονιστεί το γεγονός ότι αυτό θα συμβεί ακόμη και με uz≠o αρχικά.
Σωστά λες ότι ο αρμονικός άρα με υπέρθεση και ο ισότροπος ταλαντωτής μαζί με το άτομο του υδρογόνου είναι τα δύο δυναμικά για τα οποία επιλύεται επακριβώς η εξίσωση του Schrödinger
Π.χ. ΕΔΩ από σελ 56 και μετά δουλεύει μονοδιάστατο Αρµονικό Ταλαντωτή. Ξεκινά από 2ο νόμο Νεύτωνα και διατήρηση ενέργειας, πάει πολυώνυµα Hermite και κάνει επίλυση εξίσωσης Schrodinger.
'Αρη όσον αφορά το επίπεδο της τροχιάς, εκεί που γράφεις,
"…Απλά θεώρησα ότι χρειάζεται να τονιστεί το γεγονός ότι αυτό θα συμβεί ακόμη και με uz≠o αρχικά…",
εννοώ το εξής: Το διάνυσμα της αρχικής ταχύτητας υ0 και το ελκτικό κέντρο Ο στην αρχή των αξόνων, ορίζουν ένα επίπεδο, το οποίο ορίζω ευθύς εξ' αρχής ως το επίπεδο xOy. Συνεπώς η ταχύτητα δεν έχει στην αρχή και δεν αποκτά στην συνέχεια, συνιστώσα στον άξονα z της στροφορμής.
Το διάνυσμα της αρχικής ταχύτητας υ0 και το ελκτικό κέντρο Ο στην αρχή των αξόνων, ορίζουν ένα επίπεδο πάνω στο οποίο θα κινηθεί το σώμα, σωστά.
Πόσες συνιστώσες μπορεί να είχε αυτό το υ0 διάνυσμα πριν δεχτεί την επίδραση του κεντρικού πεδίου 3 ή 2; Πόσους βαθμούς ελευθερίας είχε στον χώρο έξω από το πεδίο και πόσους μετά;
Τώρα κατάλαβα τι εννοείς Άρη. Θεώρησα το σώμα από την αρχή μέσα στο πεδίο.