Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό μέχρι ύψους Η και κλείνεται αεροστεγώς με έμβολο μάζας Μ, που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Στο μέσο Ο της παράπλευρης επιφάνειάς του, έχουμε ανοίξει μια μικρή οπή, οπότε το νερό πέφτει στο σημείο Δ (x1).
Αφήνουμε από ύψος h , από το σημείο B, μικρή σφαίρα μάζας m , η οποία συγκρούεται σχεδόν ελαστικά με το έμβολο στο κέντρο του, και αναπηδά περίπου στο ίδιο ύψος (σημείο Γ), ενώ μια στοιχειώδης μάζα νερού (σταγονίδιο), πέφτει σε μέγιστη απόσταση, στο σημείο Ε(x2).
Θεωρείστε ότι το νερό είναι ιδανικό υγρό, και ισχύουν όλες οι προσεγγίσεις. Επίσης, να θεωρηθεί ότι η δύναμη που δέχεται το σφαιρίδιο αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο, μέχρι μια μέγιστη τιμή της, και κατόπιν μειώνεται γραμμικά μέχρι να μηδενιστεί, με τον ίδιο ρυθμό.
Με δεδομένα τα ρ, Η, g, h, m, M, A(εμβαδό εμβόλου), x2=1.2∙x1 , υπολογίστε το χρόνο κρούσης της σφαίρας με το έμβολο.
Εφαρμογή:
ρ=〖10〗^3 kg/m^3 ,m=1kg ,M=1kg,g=10 m/s^2 ,H=1m ,h=1,8m ,A=0.1m^2.
Απάντηση εδώ σε word
Διδακτική, συνδυαστική και προπάντων "μετρημένη" χωρίς έμφαση
στο υπολογιστικό τμήμα, αλλά με έμφαση στη φυσική, όπως πρέπει
να είναι τα θέματα στις εξετάσεις
Να είσαι καλά Πρόδρομε
Στη σχέση (5), στο 2ο ΝΝ πρέπει να έχεις βάλει ανάποδα
τα πρόσημα στη δύναμη F και το βάρος αλλά μετά το δίνεις
σωστά…
Σ' ευχαριστώ Θοδωρή, να είσαι πάντα καλά.
Η άσκηση προέκυψε από ένα πρόχειρο πείραμα με πλαστικό μπουκάλι με νερό, με το πώμα του.
Αν με μια καρφίτσα ανοίξεις μια μικρή τρύπα, το νερό έχει ένα ορισμένο βεληνεκές.
Αν με το δάκτυλο κτυπήσεις το παράπλευρο τοίχωμα, βλέπεις να έχεις μεγαλύτερο βεληνεκές.
Έε.. μετά, ήταν εύκολο να τη στήσω.
Μάλιστα, τα δεδομένα τα έβαλα διαισθητικά, και βγήκε πολύ καλός χρόνος, ρεαλιστικός θα έλεγα!
Πρόδρομε καλησπέρα
Πολύ καλή άσκηση με διδακτικό περιεχόμενο.
Θα την έσπαγα σε υποερωτηματα να γίνει πιο ομαλή.
Καλησπέρα Πρόδρομε.
Δεν μας αφήνεις να πλήξουμε.
Η άσκηση είναι εξαιρετική.
Θα την δώσω στην τάξη με υποερωτήματα και
με την προσθήκη να θεωρηθεί η δύναμη της κρούσης σταθερή.
Καλησπέρα Πρόδρομε.
Θα συμφωνήσω με τον Νίκο, ότι "δεν μας αφήνεις να πλήξουμε", αφού πάντα κάτι πρωτοπόρο θα βγάλεις από το μανίκι…
Τώρα πάνω στην παραπάνω, έχω κάποιες επιφυλάξεις που πατάνε στην μόνιμη ροή και στην εξίσωση Bernoulli.
Για να ισχύει η εξίσωση, όπως την δίνει το βιβλίο, πρέπει σε κάθε σημείο μιας ρευματικής γραμμής, η ταχύτητα ροής να είναι ανεξάρτητη του χρόνου.
Αν δεχτεί μια δύναμη το έμβολο, θα υπάρξει για μικρό χρονικό διάστημα μια επιταχυνόμενη κίνηση του ρευστού, η οποία θα αυξήσει την ταχύτητα σε κάθε σημείο. Μετά από αυτό το μικρό χρονικό διάστημα η ροή μπορεί να θεωρηθεί μόνιμη και ισχύει η εξίσωση.
Αλλά αν το κτύπημα κρατά 54ms πότε να "προλάβει" να αποκατασταθεί η παραπάνω μόνιμη ροή, που θα δώσει το υπολογισμένο "βεληνεκές";
Με άλλα λόγια, μπορεί πειραματικά να διαπιστώνουμε ότι αυξάνεται η απόσταση που πέφτει η φλέβα, αλλά η απόσταση που παρατηρούμε, είναι και κατά πόσο σύμφωνη, με αυτήν που προκύπτει από την εξίσωση Bernoulli;
Μια από τις πρώτες προσπάθειες για διευκρίνηση της επιταχυνόμενης και μόνιμης ροής, είχα κάνει στην:
Μόνιμη και μη μόνιμη στρωτή ροή.
Έχω ανάλογους φόβους με τον Διονύση.
Μετά την κρούση ένα κύμα θα διατρέξει τη μάζα του υγρού. Η μεταφορά ενέργειας από αυτό ακυρώνει ότι ξέρουμε από τον νόμο Μπερνούλι.
Χρήστο, Νίκο, Διονύση και Γιάννη καλησπέρα σας. Ευχαριστώ για τα σχόλιά σας καθώς και τις παρατηρήσεις σας!
Γνωρίζετε ότι , εδώ και χρόνια, κινούμαι στο ''μεταίχμιο'' των πραγμάτων, και πολλές φορές προκαλώ ..συζητήσεις, έτσι ώστε η αλληλεπίδρασή μας να βγάλει κάτι χρήσιμο για την ασκησιολογία.
Έτσι κι εδώ, είχα κι εγώ κάποιες επιφυλάξεις, που τις αναφέρατε ήδη, αλλά ..καλύπτομαι, σε Λυκειακό επίπεδο, από το ρηθέν της εκφώνησης '' ισχύουν όλες οι γνωστές προσεγγίσεις''!
Πιστεύω δε ότι, η στιγμιαία σχεδόν πρόσθετη πίεση που επιφέρει στο σύστημα, η δύναμη που αναπτύσσεται στο έμβολο κατά τη διάρκεια της κρούσης, την προσθέτει σε κάθε σημείο του υγρού, άρα και στην περιοχή κοντά στην οπή, όπου γίνεται σε μικρή μάζα του που θα βγει στον αέρα, μια απότομη μεταβολή της ορμής της, κάτι σαν κρούση!
Δεν είναι ανάγκη να επιταχυνθεί όλη η μάζα του υγρού, αφού δεν υπάρχει και χώρος μεγάλος ροής.
Γιάννη αναφέρεις ότι θα δημιουργηθεί κύμα στο εσωτερικό του υγρού, κι έχεις δίκιο. Όμως , σε Λυκειακό επίπεδο γνώσεων και δράσης, δεν λαμβάνουμε υπόψιν τέτοια φαινόμενα!!
Όπως ανέφερα και παραπάνω στον Θοδωρή, θα μπορούσαμε να το επαληθεύσουμε με ..πείραμα, τι άλλο!! Βέβαια, το πείραμα που περιγράφω μέσω της άσκησης, είναι δύσκολο να πραγματοποιηθεί . Ίσως κάποια παραλλαγή του! Δεκτές οι προτάσεις σας!!
Ένα πείραμα με απλά μέσα που σκέφτηκα είναι το εξής:
Γεμίζουμε ένα μπαλόνι με νερό, μέχρι εκεί ου ''παίρνει'', δηλαδή σε οριακό σημείο που να μη σπάσει, κλειστό από το στόμιό του, και κάπου στη μέση του(ισημερινό επίπεδο), είχαμε ανοίξει μια μικρή τρύπα με καρφίτσα. μετράμε το βεληνεκές του, και κατόπιν αφήνουμε μικρή γνωστή μάζα από δεδομένο ύψος h και μετά μετράμε το ύψος h' αναπήδησής του. Μετράμε και το νέο βεληνεκές και κάνουμε τους υπολογισμούς μας , όπως τις έκανα κι εγώ στην άσκηση.
Υ.Γ. επειδή κατά τον υπολογισμό του χρονικού διαστήματος κρούσης, θεώρησα ότι η δύναμη είναι σταθερή (μέση τιμή), θα αλλάξω λίγο τη εκφώνηση και τους υπολογισμούς, θεωρώντας ότι η δύναμη αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο, μέχρι μια μέγιστη τιμή της, και κατόπιν μειώνεται γραμμικά μέχρι μηδενισμού της. Το εμβαδό που θα περικλείεται από τη γραφική παράσταση, θα είναι η μεταβολή της ορμής της σφαίρας κατά την κρούση.
Το μέγιστο βεληνεκές κάποιον σταγονιδίων, προήλθε από τη μέγιστη δύναμη που ασκήθηκε στο έμβολο, και όχι από τη μέση τιμή της. Νομίζω τότε , ότι ο χρόνος κρούσης θα είναι πιο ρεαλιστικός!!
Καλησπέρα και πάλι.
Έκανα τη λύση με μεταβλητή δύναμη, όπως έγραψα παραπάνω στο Υ.Γ. και υπολόγισα το χρονικό διάστημα της κρούσης Δt=114ms.
Καλημέρα συνάδελφοι και υποψήφιοι.
Άλλαξα λίγο την εκφώνηση, κάνοντας την άσκηση πιο ρεαλιστική, θεωρώντας ότι κρούση είναι σχεδόν ελαστική!
Δηλαδή, θεωρώ ότι η ενέργεια που δόθηκε από τη σφαίρα στο σύστημα, πήγε σε μικρή μάζα του υγρού, σταγονίδια θα έλεγα, που εκτοξεύτηκαν στην περιοχή από x1 έως τη μέγιστη απόσταση x2, η οποία επιτεύχθηκε όταν η δύναμη έγινε μέγιστη, τη χρονική στιγμή t= Δt/2 που η ταχύτητα της σφαίρας μηδενίστηκε στιγμιαία!
Νομίζω ότι αυτό το σενάριο είναι πιο ρεαλιστικό . Η δύναμη που ασκεί το έμβολο στη σφαίρα, δεν είναι σταθερή, αλλά χρόνο-εξαρτώμενη. Θεώρησα γραμμική τη μεταβολή της, προκειμένου να μπορεί να υπολογιστεί το εμβαδό στο διάγραμμα (F-t). Στην πραγματικότητα, η δύναμη μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο, αφού θεωρώ ότι η κρούση είναι σχεδόν ελαστική,και ο υπολογισμός του εμβαδού θα ήθελε ολοκλήρωμα.
Το σφάλμα είναι πολύ μικρό.
Με τη νέα εκδοχή, ο χρόνος κρούσης από 114ms υπολογίστηκε σε 117ms. Αν θεωρούσαμε αρμονικά μεταβαλλόμενη τη δύναμη, ίσως ο υπολογισμός του χρονικού διαστήματος να ήταν 120ms!
Θα παρακαλούσα τους συναδέλφους, να μελετήσουν τη νέα εκδοχή της άσκησης, και να γράψουν τις παρατηρήσεις τους.
Σας ευχαριστώ εκ προοιμίου!
Καλημέρα Πρόδρομε. Πολύ ωραία συνδυαστική άσκηση "Κρούση και Ρευστά". Μπορούμε να συζητήσουμε για την προσέγγιση του φαινομένου, αλλά εφόσον θεωρείς σαν παραδοχή εξαρχής τη ροή στρωτή και μόνιμη, πολύ σωστά εφαρμόζεις την εξίσωση Bernoulli. Συνήθως κάνουμε στα παιδιά την άσκηση αυτή με το έμβολο να κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα(π.χ. σύριγγα),οπότε είναι πολύ πρωτότυπη η ιδέα σου.
Καλημέρα Ανδρέα.
"Συνήθως κάνουμε στα παιδιά την άσκηση αυτή με το έμβολο να κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα"
Αυτό ακριβώς καθιστά τη ροή μόνιμη.
Αν αυτό λείπει το τοπίο θολώνει…
Ανδρέα σε ευχαριστώ για το σχόλιο και γιατί σου άρεσε η ιδέα μου.
Διονύση όπως εξήγησα παραπάνω αλλά και στη λύση της , με τη νέα εκδοχή , με μεταβαλλόμενη χρονικά δύναμη, το φαινόμενο είναι στιγμιαίο, η ροή στο μικρό χρονικό διάστημα της κρούσης, είναι αμελητέα, σταγονίδια εκτοξεύονται, οπότε δεν χρειάζεται να θεωρηθεί μόνιμη και στρωτή η ροή!
Είναι στιγμιαίο σχεδόν το φαινόμενο, κάτι σαν κρούση θα έλεγα, με ασήμαντες απώλειες ενέργειας.
Αν θέλαμε να το αντιστοιχίσουμε με ένα μηχανικό ανάλογο, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι παρόμοιο με το εξής φαινόμενο:
Αν έχουμε σε επαφή όμοιες ελαστικές μπίλιες σε μια ευθεία, και μια άλλη χτυπήσει την πρώτη, τότε φεύγει μόνο η τελευταία.
Κάτι ανάλογο πιστεύω ότι συμβαίνει κι εδώ. Η επαφή της σφαίρας στο έμβολο, διαρκεί ελάχιστο χρονικό διάστημα. Η ορμή και η ενέργεια που μεταφέρεται στο νερό, αποδίδεται μόνο στην επιπλέον ποσότητα που θα εξαχθεί από το δοχείο.
Αυτό νομίζω ότι γίνεται προσεγγιστικά, και μπορεί να υπολογιστεί το χρονικό διάστημα επαφής της σφαίρας με το έμβολο.
Αν κάποιος άλλος συνάδελφος έχει κάποια άλλη άποψη, ας την καταθέσει!
Καλησπέρα Πρόδρομε.
"με μεταβαλλόμενη χρονικά δύναμη, το φαινόμενο είναι στιγμιαίο, η ροή στο μικρό χρονικό διάστημα της κρούσης, είναι αμελητέα, σταγονίδια εκτοξεύονται, οπότε δεν χρειάζεται να θεωρηθεί μόνιμη και στρωτή η ροή!"
Αυτόν ακριβώς τον προβληματισμό έβαλα και στην πρώτη μου παρέμβαση. Δεν υπάρχει στιγμιαία εξίσωση Bernoulli! Αν τη ροή δεν την θεωρήσεις μόνιμη, δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις για την μελέτη σου την εξίσωση Bernoulli.
Η εξίσωση εφαρμόζεται για μια φλέβα, στην οποία έχουμε σταθερή ταχύτητα, σε κάθε σημείο της (διαφορετική ταχύτητα από σημείο σε σημείο, αλλά χρονικά ανεξάρτητη σε κάθε σημείο). Δεν μελετάει "στιγμιαίες εκτοξεύσεις" ρευστών…
Στο κείμενο δε που παρέπεμψα, καταλήγω και σε τροποποιημένη εξίσωση στην περίπτωση που υπάρχει επιτάχυνση, η οποία όμως δεν μπορεί να είναι για τα σωματίδια ρευστού, μόνο κοντά στην έξοδο και όλο το υπόλοιπο ρευστό να μην αποκτά κάποια αντίστοιχη επιτάχυνση…
Το παράδειγμα εξάλλου για τις κρούσεις των σφαιρών, δεν νομίζω να περιγράφει την συμπεριφορά των ρευστών.