Αν και συγκοινωνούντα δοχεία…

Το κλειστό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό σε ύψος h, πάνω από το οποίο έχει εγκλωβιστεί μια ποσότητα αέρα, ενώ πολύ κοντά στον πυθμένα του υπάρχει μια μικρή οπή που κλείνεται με τάπα. Το δοχείο έχει συνδεθεί με ανοικτό κατακόρυφο σωλήνα, στον οποίο το νερό έχει ανέβει μέχρι ύψος Η.

i) Η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα στο πάνω μέρος του δοχείου, έχει τιμή:

α) p1 < pατμ,   β) p1 = pατμ,   γ)  p1 > pατμ.

όπου pατμ η ατμοσφαιρική πίεση, στο εξωτερικό του δοχείου.

ii) Ανοίγουμε την τάπα και αποκαθίσταται μια μόνιμη ροή. Η ταχύτητα εκροής του νερού είναι ίση:

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας θεωρώντας το νερό ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό, ενώ η βάση του δοχείου έχει πολύ μεγαλύτερο εμβαδόν από το αντίστοιχο της οπής.

Απάντηση:

ή

%ce%b1%ce%b1%ce%b1%ce%b11 Αν και συγκοινωνούντα δοχεία…
%ce%b1%ce%b1%ce%b1%ce%b13 Αν και συγκοινωνούντα δοχεία…

(Visited 1,889 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
45 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Ανδρέας Ριζόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ καλή ιδέα, για την προσεκτική χρήση της εξίσωσης Bernoulli.
Έχω μια ερώτηση. Ο εγκλωβισμένος αέρας υφίσταται ισόθερμη εκτόνωση, άρα η πίεση p1 μειώνεται. Δε θα αρχίσει να κατεβαίνει η στάθμη στο σωληνάκι; Κάποια στιγμή δε θα σταματήσει και η ροή; Αν όμως υπάρχει κίνηση του νερού στο σωληνάκι, δε μπορούμε να πάρουμε ρευματική γραμμή από την επιφάνεια του νερού στο σωληνάκι μέχρι την έξοδο του δοχείου;

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
1 έτος πριν

Καλησπέρα Διονύση. Όσον αφορά στο ποια είναι η σωστή ρευματική γραμμή, από το Α στο Ο ή από την atm στο Ο. Νομίζω πως πρέπει πρώτα να απαντήσουμε στην ερώτηση: Όταν ανοίξουμε την τάπα, η στάθμη στον λεπτό σωλήνα θα παραμένει ακίνητη, όπως πολύ σωστά αναφέρει ο Ανδρέας στον σχόλιό του. 

Θα ήθελα επίσης να τονίσω, ακόμη και αν γίνομαι κουραστικός, ότι υπάρχουν ροές, όπου η εξίσωση εφαρμόζεται μεταξύ οποιονδήποτε σημείων, οι αστρόβιλες. Αν λοιπόν επικαλεστούμε την ύπαρξη ρευματικής γραμμής για να απαντησουμε, πρέπει πρώτα να δείξουμε γιατί η ροη είναι στροβιλώδης (θα είναι στην περιοχή αμέσως μετά την είσοδο του λεπτού σωλήνα στο δοχείο).

Αν θεωρήσουμε την στάθμη ακίνητη στο λεπτό σωλήνα, τότε ροή υπάρχει μόνον μεταξύ ενός σημείου πριν την έξοδο στην τάπα, και ενός σημείου μετα την έξοδο. Το υπόλοιπο νερό είναι παντού ακίνητο, η "ροή" μπορεί να χαρακτηρισθεί παντού αστρόβιλη και η Bernoulli εφαρμόζεται παντού.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Στάθης Λεβέτας

Στάθη η συζήτηση ξεκίνησε από τον Διονύση και το γεγονός ότι βγαίνει ίδιο αποτέλεσμα.

Αυτό κάνει σωστή την εφαρμογή ή "τυχαία σωστή";

Στα σχήματα που έδωσα εφαρμόσεις τον νόμο Μπερνούλι;

Στο πρώτο εφαρμόζεις την σχέση από επιφάνεια σε επιφάνεια και πώς;

Στο δεύτερο εφαρμόζεις την σχέση από το Γ ως το Β και πως;

Οι σωλήνες στο δεύτερο δεν είναι στην ίδια ευθεία κατ' ανάγκην. Γιατί όχι:

Screenshot-1

Θα εφαρμόσεις την σχέση Μπερνούλι από την επιφάνεια του αριστερού δοχείου στην έξοδο του δεξιού;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Στάθη δεν ρωτώ για το σχήμα της ανάρτησης. Ρωτώ για τα σχήματα που έθεσα.

Έχω το δικαίωμα να εφαρμόσω την σχέση Μπερνούλι:

Στην πρώτη από επιφάνεια σε επιφάνεια;

Στην δεύτερη από το Γ ως το Β;

Δεν ρωτώ αυτά για να ξεστρατίσω τη συζήτηση. Διάβασα:

Υπάρχουν ροές, όπου η εξίσωση εφαρμόζεται μεταξύ οποιονδήποτε σημείων, οι αστρόβιλες.

Βλέποντας χρήση του νόμου Μπερνούλι στην παρούσα ανάρτηση από τον σωλήνα στην έξοδο, σκέφτομαι να κάνω το ίδιο από το Γ στο Β. Έχω το δικαίωμα;

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
1 έτος πριν

Γιάννη νομίζω απάντησα. Ρευματική γραμμή βλέπω μόνον από ένα σημείο ακριβώς πριν την έξοδο με ταχύτητα ροής μηδέν και πίεση pA + ρ g h = patm + ρ g (h + y),  και ένα σημείο ακριβώς εκτός δοχείου με πίεση pat και ταχύτητα εξόδου υ. (Αναφέρομαι πάντα στο σχήμα της ανάρτησης). 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Στάθης Λεβέτας

Καλησπέρα Στάθη.

Ο ίδιος έγραψες σε άλλη συζήτηση (για ροή πάνω από πλάκα) ότι "τα δύο σημεία (πάνω και κάτω από πλάκα) δεν τα συνδέει εξίσωση Μπερνούλι, διότι ανήκουν σε διαφορετικές ροές".

Εδώ γιατί θεωρούμε ότι τα δύο σημεία ανήκουν στην ίδια ροή;

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
1 έτος πριν

Καλησπέρα Γιάννη. Δεν υποστηρίζω ότι τα δύο σημεία είναι στην ίδια ροή. Η άποψή μου και απάντησή μου είναι, την ξαναγράφω:

"Αν θεωρήσουμε την στάθμη ακίνητη στο λεπτό σωλήνα, τότε κίνηση υπάρχει μόνον μεταξύ ενός σημείου πριν την έξοδο στην τάπα, και ενός σημείου μετα την έξοδο. Το υπόλοιπο νερό είναι παντού ακίνητο…".

Δεν βλέπω κίνηση από το Α στην έξοδο, ούτε από την ατμόσφαιρα στην έξοδο, ούτε τέτοιες ρευματικές γραμμές. Το νερό είναι παντού ακίνητο εκτός από την γειτονιά της οπής. Τότε όπως και να το δείς, το συμπέρασμα είναι το ίδιο, υ = sqrt(2g(h+y)). 

Αν όμως το νερό κινείται στον κατακόρυφο σωλήνα, η κατάσταση αλλάζει…

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Εδώ:

Screenshot-1

Θα πάρουμε τη σχέση Μπερνούλι από επιφάνεια σε επιφάνεια;

Εδώ αν οι σωλήνες δεν είναι στην ίδια ευθεία:

Screenshot-2

Θα πάρουμε την σχέση Μπερνούλι από το Γ ως το Β;

Πρόδρομος Κορκίζογλου

Στοχευμένη ως συνήθως, δίνει έμφαση στο ότι ο Bernoulli εφαρμόζεται κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής, και προσοχή και στους διδάσκοντες αλλά καί στους υποψηφίους σε αυτό το γεγονός!

Μπράβο!!

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Πρόδρομε ίσως όχι στους υποψηφίους.

Ουδείς θα τολμήσει να βάλει θέμα στο οποίο η εφαρμογή της σχέσης Μπερνούλι από σημείου εις σημείον (όπως λέμε από χωρίου εις χωρίον) αποτυγχάνει. Δεν θα δούμε δεξαμενή να τροφοδοτεί άλλη δεξαμενή. Έτσι μπορούμε να πούμε στους μαθητές μας με ασφάλεια:

-Εφαρμόσατε την σχέση σε κάθε περίπτωση.

Ο φόβος (όσων θεματοδοτούν) φυλάει τα έρημα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Θα συμφωνήσω πως οι διδάσκοντες πρέπει να προσέξουν. Αρκετές πλάκες έχουν ανασηκωθεί όταν τις φυσάμε.

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
1 έτος πριν

Γιάννη, το έχουμε συζητήσει ξανά, όχι δεν θα εφάρμοζα την εξίσωση στο πρώτο σχήμα από επιφάνεια σε επιφάνεια και στο δεύτερο από το Γ στο Β. Την έχουμε ξανακάνει αυτή την κουβέντα. Αλλά αυτό δεν έχει σχέση με το παρακάτω:

Θα εφάρμοζα την εξίσωση ακριβώς πριν και ακριβώς μετά την έξοδο, στην ανάρτηση, ως

pA + ρ g h = patm + ρ g (h + y) = pat + 0.5 ρ υ^2.

Αυτή η ερώτηση ετέθη, σε αυτήν απάντησα. Και συμπλήρωσα ότι αν το νερό θεωρηθεί παντού ακίνητο στο δοχείο και στον σωλήνα, η ροή είναι προφανώς αστρόβιλη. Ένας διαφορετικός τρόπος για να δεις την παραπάνω εξισωση.

Αν κατάλαβα καλά, διαφωνείς με την πρόταση, "Υπάρχουν ροές, όπου η εξίσωση εφαρμόζεται μεταξύ οποιονδήποτε σημείων, οι αστρόβιλες"; Γιατί; Έχω δώσει παραδείγματα στο παρελθόν με αστρόβιλες ροές, δεν θα το ξανακάνω. Προσωπικά σε αστρόβιλες ροές δεν ψάχνω για ρευματικές γραμμές. Αποδεικνύεται, έχω δωσει και την απόδειξη (που δεν είναι δική μου). Αν όντως διαφωνείς πες μου πού είναι το λάθος.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Στάθης Λεβέτας

Η διαφωνία μου είναι στο:

Προσωπικά σε αστρόβιλες ροές δεν ψάχνω για ρευματικές γραμμές.

Ας  κάνω το ίδιο. Βρίσκω μια αστρόβιλη ροή, αυτήν του δευτέρου σχήματος. Μη ψάχνοντας για ρευματικές γραμμές εφαρμόζω τον νόμο Μπερνούλι από το Γ στο Β.

Κάνω λάθος διότι δεν είναι αστρόβιλη;

Γιατί αυτή στερείται τον χαρακτηρισμό και τον δικαιούται η ροή της παρούσης ανάρτησης;

 

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
1 έτος πριν

Κατά πρώτον Γιάννη γιατί στο σχήμα

Screenshot-2

η ροή είναι αστρόβιλη; Εδώ καλά-καλά δεν είναι καν μόνιμη για μεγάλα χρονικά διαστήματα. επιπλέον είναι δύσκολο έως ακατόρθωτο να σχεδιάσεις ρευματικές γραμμές; Πώς μπορείς λοιπόν να γνωρίζεις ότι το curl του πεδίου της ταχύτητας ισούται με το μηδέν; 

Εδώ όμως; Είναι το ίδιο; 

Εδώ το πεδίο της ταχύτητηας είναι γνωστό και ο στροβιλισμός του ισούται με το μηδέν.

Στην δε ανάρτηση, αν η ταχύτητα είναι παντού μηδέν στο δοχείο με τον σωλήνα (στην ίδια "ροή"), και ταχύτητα έχω μόνον κατά την έξοδο, τότε σαφώς και μπορώ να υποθέσω αστρόβιλη ροή. Φυσικά δεν χρειάζεται, αρκεί να εφαρμόσω της Bernoulli σε δύο σημεία εκατέρωθεν της οπής εξόδου (το μέσα ακίνητο). Τώρα μένει το πώς θα ερμηνεύσω την πίεση μέσα, pA+ρgh ή pat+ρg(h+y)  που είναι το ίδιο;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα Στάθη.

Αρχίζω να καταλαβαίνω την διαφωνία. Θα γράψω κάτι καλύτερο σε λίγη ώρα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Στάθη κάποιες σκέψεις.

Πιστεύω πως θα συμφωνήσεις.

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
1 έτος πριν

Γιάννη και υπόλοιπη παρεά καλησπέρα. 

Χωρίς να διαφωνώ σε όσα γράφεις, ταχτοποίησα και εγώ τις σκέψεις μου στο παρακάτω αρχείο Εφαρμογές της Bernoulli.  

Νομίζω πως ούτε εδώ θα διαφωνήσουμε επί της ουσίας.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τόσο εσένα όσο και τους υπολοίπους που συμετείχαν σε παρόμοιες συζητήσεις, γιατί, ακόμη και να διαφωνήσουμε, η όλη προσπάθεια με οδήγησε και με οδηγεί στο να καταλαβαίνω όλο και καλύτερα τα ρευστά. 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Στάθης Λεβέτας

Θα συμφωνήσω σε όλα.

Η αλήθεια είναι ότι αντιμετωπίζω (ή αντιμετώπιζα:) την στροβιλώδη ροή όχι με το κριτήριο του curl.

Έτσι θεωρώ (ή θεωρούσα και πρέπει να ανασκευάσω;) την περίπτωση της κόκκινης φλέβας ως "στρωματική ροή".

Η μετάβαση ενός στοιχείου ρευστού από αυτήν στην ακίνητη περιοχή ή το αντίθετο συνοδεύεται από μεταβολή της ενέργειας του στοιχείου αυτού. Οπότε δεν έχουμε εφαρμογή του νόμου. Ας είναι διότι η ροή χαρακτηρίζεται στροβιλώδης στο όριο (κάτι που δεν σκεφτόμουν).

Η εφαρμογή της σχέσης από την επιφάνεια μέχρι σημείο του δεξιού δοχείου δίνει ένα αποτέλεσμα όχι παράλογο. Ένα στοιχείο ρευστού αν ταξίδευε μέχρι το εν λόγω σημείο θα είχε (απουσία ιξώδους) την ταχύτητα που υπολογίζεται από την σχέση. Η ταχύτητα αυτή δεν είναι ή ταχύτητα κίνησης της επιφάνειας, διότι η επιφάνεια είναι ένας γεωμετρικός τόπος. Ένας γεωμετρικός τόπος μπορεί να κινείται με ταχύτητα διαφορετική από τα στοιχεία ρευστού. Την περίεργη ιδέα περιγράφω εδώ.

Έτσι ένας νόμος (Bernoulli) που αποδεικνύεται και με άλλα μέσα (χωρίς έννοιες ροής, με διατήρηση ενέργειας ενός στοιχείου ρευστού), εξακολουθεί να ισχύει απουσία ιξώδους, αποκτώντας όμως διαφορετικό περιεχόμενο. Συσχετίζει δηλαδή ταχύτητες μιας μαζούλας.

Θα συμφωνήσω και στο ότι τα σημεία που συνδέουμε (επιτυχώς) στο αριστερό δοχείο δεν γνωρίζουμε αν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση έβαλες τα Α και Β στην ίδια φλέβα και είναι λογική θεώρηση.

Ο νόμος Μπερνούλι αποδεικνύεται με διάφορους τρόπους. Τον σχολικό που επικαλείται φλέβα και άλλους που επικαλούνται ροίκές γραμμές. Η απόδειξη του σχολικού καλύπτει εφαρμογή από το Α στο Β;

Λέγοντας αυτό δεν εννοώ ότι επιθυμώ την Υδροστατική ως υποπερίπτωση της Υδροδυναμικής. Θα ήταν μέγιστο σφάλμα διδακτικής.

Έστω όμως ότι βασιζόμαστε στην απόδειξη του σχολικού βιβλίου. Μα καλύπτει η σύνδεση οιωνδήποτε σημείων της φλέβας;

Πέραν αυτού, όταν λέμε "Εφαρμόζω τον νόμο επί ρευματικής γραμμής" κυριολεκτούμε ή εννοούμε "Εφαρμόζω τον νόμο επί οιωνδήποτε σημείων της ιδίας φλέβας";

Τα Α και Β του σχήματός σου δεν τα συνδέει ρευματική γραμμή με τίποτα. Τα συνδέει μία σχέση Μπερνούλι ή συνδυασμός δύο σχέσεων;

Στο δια ταύτα, πέραν επιστημονικών ορθοτήτων:

-Διδάσκουμε να εφαρμόζουν δύο σχέσεις, από το Α στο Κ και από το Β σε γειτονικό του Κ, ή συνδέουμε τα Α και Β με μία σχέση;

Δεν μιλώ μόνο για τα συγκεκριμένα Α και Β διότι η διαφορά των πιέσεών τους είναι γνωστή και οι ταχύτητες μηδενικές. Γενικότερα προβληματίζομαι. Τι καλύπτει η σχολική απόδειξη;

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
1 έτος πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλησπέρα Διονύση.

Θα αρχίσω το σχόλιό μου αυτό από το τέλος της δικής σου τοποθέτησης.

Συμφωνώ ότι οι μαθητές δεν έχουν κανένα λόγο να συγχέουν την υδροστατική με την υδροδυναμική. Λίγο παραπάνω διαβάζω την ερώτηση

«..Λέτε συνάδελφοι να μελετήσουμε την υδροστατική σαν υποπερίπτωση της υδροδυναμικής;…».

Σε επίπεδο διδασκαλίας όχι, αλλά θέλω οι μαθητές να καταλάβουν μία συνέχεια:  κάθε ισορροπία είναι υποπερίπτωση της αντίστοιχης δυναμικής. Δεν βλάπτει νομίζω να αναδειχθεί αυτό και στα ρευστά, όπου είναι δυνατόν (προφανώς όχι στην συγκεκριμένη άσκηση, σε μία ομοιόμορφη ροή ίσως, ή όταν εξηγούμε γιατί επίπεδες πλάκες δεν ανασηκώνονται λόγω αέρα). Δεν πιστεύω ότι οδηγεί σε σύγχυση.

Να τονίσω ότι η παρέμβασή μου στην συζήτση δεν έγινε γιατί θεωρώ κάτι λάθος στην ανάρτηση (θα την δίδασκα όπως είναι), αλλά για να σχολιάσω ..σχόλια περί αυτής.

Τώρα για το δοχείο Torricelli: Προσωπικά θεωρώ ότι αν μηδενίσουμε ως προσέγγιση την ταχύτητα σε ανοικτό πρισματικό δοχείο στην επιφάνεια, πρέπει να την μηδενίσουμε και παντού αλλού, λόγω της εξίσωσης της συνέχειας. Αυτήν είναι για μένα η βασική προσέγγιση, ο πυρήναςμ, που οδηγεί στο θεώρημα Torricelli: Η σύνδεση της υδροστατικής πίεσης στο Α (με τον μηδενισμό της ταχύτητάς του), με την πυκνότητα ενέργειας στο Ε.

Συνεπώς, όπως το αντιλαμβάνομαι, στο δοχείο δεν υπάρχει καμία ρευματική γραμμή, γιατί όλο το νερό στο δοχείο ισορροπεί ως βασική προσέγγιση, εκτός βέβαια της φλέβας Α->Κ.

Νομίζω όμως ότι η θέση μου περί της εξίσωσης Bernoulli και το που εφαρμόζεται γίνεται ξεκάθαρη στα δύο παραδείγματα που παρέθεσα στο αρχείο του προηγουμένου σχολίου μου.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Γιατί να το κάνουμε;

Μάλλον να μη το κάνουμε. Θα προκύψουν μπερνουλιές, διότι τα παιδιά μπορεί να βγάλουν τέρατα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Η απόδειξη του σχολικού συνδέει (ας την δούμε προσεκτικά) δύο περιοχές.

Τους προσάπτει ίδια ύψη, ίδιες ταχύτητες και ίδιες πιέσεις.

Αυτό σημαίνει ότι είναι στοιχειώδεις, ήτοι σχεδόν σημεία, ήτοι τα συνδέει ρευματική γραμμή, ή πρόκειται για περιοχές;

Η απόδειξη του σχολικού επικαλείται το ότι τα δύο σημεία είναι στην ίδια ρευματική γραμμή ή στην ίδια φλέβα;

Εμείς όταν σχεδιάζουμε μια ρευματική γραμμή και εφαρμόζουμε τη σχέση Μπερνούλι κυριολεκτούμε ή υπονοούμε "ανήκουν στην ίδια φλέβα";