Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων

Ας ξεκινήσουμε από το «εντός ύλης» θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (θεώρημα Steiner).

Έστω ένα επίπεδο στερεό, τυχαίου σχήματος και Κ το κέντρο μάζας του. Έστω επίσης ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y,z, με αρχή το σημείο Ο, όπου μας ενδιαφέρει η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα y. Χωρίζουμε το στερεό σε στοιχειώδεις μάζες mi και έστω μια από αυτές στο σχήμα με διάνυσμα θέσης r όπου, με βάση το σχήμα ισχύει:

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

%ce%b1%ce%b1%ce%b1%ce%b11  Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων
%ce%b1%ce%b1%ce%b1%ce%b13  Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων

(Visited 954 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
18 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Σπύρος Τερλεμές
1 έτος πριν

Εξαιρετικός κ.Διονύση για ακόμη μια φορά!

Και κάτι για να "συμπληρωθεί" ο υπολογισμός ροπής αδράνειας που δίνεται από την εκφώνηση….

Σπύρος Τερλεμές
1 έτος πριν

Φυσικά κ.Διονύση,

Οι εφαρμογές που παρουσιάσατε είναι πολύ καλές, και ο σκοπός της ανάρτησης σας απόλυτα λογικός!

Και τα δύο είναι πανέμορφα θεωρήματα και λύνουν τα χέρια από τις πράξεις με ολοκληρώματα. Θα μπορούσαμε να βγάλουμε τα αποτελέσματα και με ολοκληρώσεις αλλά η ταλαιπωρία είναι πολύ μεγάλη αφού θα έπρεπε κάθε φορά έμμεσα να αποδεικνύουμε κάθε ένα από αυτά….

Στάθης Λεβέτας
Editor
1 έτος πριν

Καλησπέρα σε όλους. Πολύ καλή γνώση το θεώρημα των καθέτων αξόνων, δυστυχώς εκτός ύλης. 

Διονύση μία παρατήρηση στην απόδειξη του θεωρήματος Steiner:

Αν δεν κάνω λάθος, για να γράψουμε ότι

πρέπει όλα τα διανύσματα  να είναι κάθετα στον άξονα y, άρα το  στερεό σώμα να είναι επίπεδο (πάνω στο επίπεδο xOy). 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Καλησπέρα παιδιά.

Δεν θα συμφωνήσω πως το στερεό πρέπει να είναι επίπεδο. Για δυο λόγους:

Η απλή απόδειξη του θεωρήματος που έστειλα σε προηγούμενο σχόλιο δεν προϋποθέτει επίπεδο στερεό.

Επίσης οι αποστάσεις ri είναι αποστάσεις από άξονα και όχι από σημείο. Όμως ένα στερεό κόβεται σε φέτες. Έτσι ότι απέδειξε ο Διονύσης ισχύει σε κάθε φέτα. Αθροίζουμε τις φέτες και ……

Ειρήσθω εν παρόδω γράφω εφαρμογή του θεωρήματος καθέτων αξόνων. Για να μη νυχτώσουμε θα την στείλω αρχικά χωρίς απάντηση.

Στάθης Λεβέτας
Editor
1 έτος πριν

Γιάννη και Διονύση καλησπέρα.

Γιάννη αν τα ri είναι κάθετες αποστάσεις, τότε δεν είναι διανύσματα θέσης από την αρχή των αξόνων Ο για κάθε σημείο, όπως στην απόδειξη του Διονύση. Αν υιοθετήσουμε τα ri ως διανύσματα θέσης, τότε η ροπή αδράνειας Ι δεν ορίζεται πάντα ως άθροισμα των mi ri^2. Το άθροισμα αυτό δίνει την ροπή αδράνειας Ι μόνον ως προς άξονα κάθετο σε όλα τα διανύσματα ri (αν το σώμα περιστρέφεται, πρέπει η γωνιακή ταχύτητα ω να είναι κάθετη στα ri, για να γράψω την στροφορμή L = I ω και την κινητική ενέργεια Κ = 0.5 Ι ω^2.

Διονύση ισχύει το γενικότερο θεώρημα μεταξύ δύο τυχαίων συστημάτων αναφοράς σε στερεό τυχαίου σχήματος, με την ονομασία θεώρημα της μετατόπισης της αρχής των αξόνων.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Μπορείς να την στηρίξεις.

Με δύο τρόπους:

1. Κόβοντας σε φέτες.

2. Χρησιμοποιώντας αποστάσεις r΄  οι οποίες είναι προβολές των r.

Προτιμώ το πρώτο.

Μην αφήσεις το "επίπεδο στερεό' μια και χάνει η γενικότητα. Δες εδώ:

45

Πολύ παλιά ανάρτηση δική μου.

Δεν είναι επίπεδο στερεό και είναι κρίμα να μην χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Στάινερ εδώ.