by 
Πριν λίγες μέρες αναρτήθηκε στο Φορουμ το άρθρο Να συγκριθούν οι γωνιακές εκτροπές από τον Γιάννη Κυριακόπουλο.
Συγκεκριμένα, προτάθηκε η λύση μέσω ενός εικονικού βαρυτικου πεδίου και της διατήρησης της ενέργειας σε αυτό, αλλά και με την βοήθεια ενός μη αδρανειακού παρατηρητή. Στο άρθρο που ακολουθεί δίνεται μία σύνθεση αυτών των λύσεων και εξετάζεται το κατα πόσον η επίκληση στην αρχή διατήρησης της ενέργειας είναι δικαιολογημένη.
Αυτήν η ανάρτηση έχει ως βάση την παραπάνω συζήτηση και τις εύστοχες παρατηρήσεις όσων συμμετείχαν, οπότε αφιερώνεται σε αυτούς.
Εκκρεμές αναρτημένο από μη σταθερό υλικό σημείο
Ευχαριστώ Στάθη.
Τρόμαξα από το μέγεθος και θα την διαβάσω το απόγευμα.
Ένα επιπόλαιο διάβασμα με πείθει περί του Ευσταθιακού επιπέδου της.
Μια προσομοίωση.
Δεν την διάβασα ακόμη καλά.
Στάθη προσεγγίζεις αριστοτεχνικά την γενική περίπτωση, κάνοντας στη συνέχεια της προσεγγίσεις (λ.χ. m2>>m1 και όχι μόνο).
Ας προσέξουμε ότι με σταθερή δύναμη επί του m2 αυτό που κινείται με σταθερή επιτάχυνση είναι η x προβολή του κέντρου μάζας.
Το m2 έχει επιτάχυνση μεταβαλλόμενη περιοδικά.
Ένας παρατηρητής επί του m2 βλέπει το m1 δεχόμενο μια περιοδική δύναμη. Το βλέπει να εκτελεί μία εξαναγκασμένη ταλάντωση.
Φυσικά δεν βλέπει να διατηρείται η μηχανική ενέργεια του m2.
Βλέπει ολική ενέργεια:
Είναι αναμενόμενο. Δεν βλέπει σταθερό χρονικά βαρυτικό πεδίο. Σε μη συντηρητικό πεδίο η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται.
Μεταβάλλεται όπως στην προηγούμενη γραφική παράσταση, που έγινε με άριστη ακρίβεια (m1=1kg. m2=5kg,F=10N).
Συνεχίζω……
Το πρόβλημα αυτό είναι πολύ δύσκολο. Αντίθετα αν είχαμε ως δεδομένο από την αρχή ότι m2>>m1 τότε η δύναμη F θα καθόριζε ουσιαστικά την επιτάχυνση του m2. Αυτή θα ήταν F/m2.
Τότε ο επί του m2 παρατηρητής μας θα έβλεπε το m1 να δέχεται οριζόντια δύναμη προς τα αριστερά και ίση με m1.α=F.m1/m2.
Θα απέδιδε (έχει κάθε δικαίωμα) την δύναμη αυτήν σε ένα πρόσθετο βαρυτικό πεδίο. Η ένταση του πεδίου αυτού θα ήταν ίση με F/m2.
Το πεδίο αυτό θα σχημάτιζε με την κατακόρυφο γωνία θ της οποίας η εφαπτομένη θα ήταν ίση με F/(m2.g).
Για παράδειγμα, αν στο m2 ασκούσαμε δύναμη όση το βάρος του, θα εκινείτο με επιτάχυνση ίση με g και η γωνία θα ήταν ίση με 45 μοίρες.
Όποια και αν είναι η γωνία, ο παρατηρητής μας θα έβλεπε ένα σταθερό βαρυτικό πεδίο και θα διεπίστωνε διατήρηση ενέργειας σ΄αυτό.
Επιφυλάσσομαι για ακριβή προσομοίωση σύντομα.
Το πρόβλημα που διαπραγματεύθηκε ο Στάθης είναι η πιο ζόρικη εκδοχή και είναι άριστη η διαπραγμάτευση.
Βλέπουμε σε προσομοίωση την ως προς κινούμενο παρατηρητή ενέργεια. Η ολική ενέργεια μένει σταθερή.
Άλλη μία.
Είναι το πρόβλημα που διαπραγματεύεται ο Στάθης με τη σταθερή δύναμη.
Η ενέργεια που βλέπει ο κινούμενος παρατηρητής δεν είναι σταθερή. Τούτο διότι η δύναμη D' Alembert δεν είναι χρονικά σταθερή και δεν αντιστοιχεί σε συντηρητικό πεδίο.
Γιάννη καλησπέρα.
Αρχικά ευχαριστώ για την ενασχόληση, την προσομοίωση και την κατάθεση των σκέψεών σου.
Το πρόβλημα γίνεται πολύ δύσκολο (αναλυτικά χωρίς λύση από όσο καταλαβαίνω)) στην περίπτωση μαζών με συγκρίσιμες μάζες (εκτός από την τετριμμένη περίπτωση γωνιακών ταλαντώσεων μικρού πλάτους).
Εκείνο το οποίο πρέπει να τονιστεί είναι ότι η αντιμετώπιση μέσω σταθερού «βαρυτικού πεδίου» είναι εφικτή μόνον στην περίπτωση όπου η επιτάχυνση της μάζας m2 καθορίζει και την επιτάχυνση του όλου συστήματος. Και αυτό γίνεται μόνον αν συμπεριλάβουμε στο σύστημα και την μάζα του εξωτερικού παράγοντα που ασκεί την οριζόντια δύναμη F (η προσέγγιση m<<M).
Ακόμη όμως και τότε η σταθερότητα της ενέργειας της μάζας m1 στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς έχει λογική, στην περίπτωση όπου η γενικότερη εικόνα του όλου συστήματος ξεφεύγει από τον μη αδρανειακό παρατηρητή. Κάποιος άλλος «ξοδεύει» για να διατηρείται η ενέργεια στο σύστημά του (αυτό το τελευταίο σε κάνει να σκέφτεσαι πολλά…).
Καλησπέρα Στάθη.
Θα έλεγα ότι:
Η αντιμετώπιση μέσω σταθερού «βαρυτικού πεδίου» είναι εφικτή μόνον στην περίπτωση όπου η επιτάχυνση της μάζας m2 είναι σταθερή.
Για να γίνει όμως αυτό πρέπει να είναι μεταβλητή η δύναμη που δέχεται η m2.
Με την προσέγγιση που έγραψες (m2>>m1) μπορεί μια σταθερή δύναμη να μας δώσει σταθερή επιτάχυνση της m2.
Η επιτάχυνση της m1 υπολογίζεται από τις σχέσεις σου γενικά. Στην βολική περίπτωση της σταθερής επιτάχυνσης της m2 υπολογίζεται ως συνάρτηση της γωνίας πολύ εύκολα.
Ο μη αδρανειακός παρατηρητής δεν χρειάζεται να ασχοληθεί, ούτε μπορεί να ασχοληθεί με την προσφορά ενέργειας στο σύστημα. Βλέπει να εμφανίζεται ένα βαρυτικό πεδίο. Οι δυνάμεις του παράγουν έργο επί της μάζας m1. Οι δυνάμεις αυτές είναι (ως προς τον παρατηρητή μας) συντηρητικές, διότι στην ίδια θέση έχει ίδια κινητική ενέργεια. Λέγοντας "ίδια θέση" εννοώ ίδια ως προς τον παρατηρητή μας. Ως προς εμάς έχει ταξιδέψει το m1 σε μεγάλη απόσταση.
Οι ποροσομοιώσεις είναι ακριβείς. Πατώντας το κατάλληλο κουμπί βλέπουμε την σκοπιά του παρατηρητή που επιθυμούμε.
Οι ενέργειες είναι αυτές που βλέπει ο κινούμενος παρατηρητής.
ΣΥΓΧΑΡΗΤΉΡΙΑ ΣΤΑΘΗ!!!
Ενδελεχής μελέτη σε ένα δύσκολο πρόβλημα. Και τα αποτελέσματα , αναμφισβήτητα, όπως τα επιβεβαιώνει ο Γιάννης Κυρ. με το Ι.Ρ. ο οποίος "βάζει τον μη αδρανειακό του παρατηρητή πάνω στο κινούμενο σύστημα", και απλοποιεί για μας τα προβλήματα αυτού του είδους!
Γιάννη, τί.. μισθό δίνεις στον παρατηρητή σου; Του βάζεις το ΙΚΑ;
Καλησπέρα και πάλι Γιάννη,
Γράφεις:
"…Θα έλεγα ότι: Η αντιμετώπιση μέσω σταθερού «βαρυτικού πεδίου» είναι εφικτή μόνον στην περίπτωση όπου η επιτάχυνση της μάζας m2 είναι σταθερή. Για να γίνει όμως αυτό πρέπει να είναι μεταβλητή η δύναμη που δέχεται η m2…"
Συμφωνώ. Το κλειδί για να θεωρηθεί «συντηρητική» η δύναμη d’ Alembert, είναι η σταθερότητα της επιτάχυνσης, όχι της ασκούμενης δύναμης στην μάζα m2.
Στην συνέχεια γράφεις: «…Ο μη αδρανειακός παρατηρητής δεν χρειάζεται να ασχοληθεί, ούτε μπορεί να ασχοληθεί με την προσφορά ενέργειας στο σύστημα…»
Και πάλι συμφωνώ. Αλλά σκέψου ποιος θεωρείται αδρανειακός παρατηρητής γενικά… και ταυτόχρονα τι εννοούμε συντηρητικό σύστημα. Βέβαια αυτό απλά με κάνει να αναρωτιέμαι, δεν μπορώ να το υποστηρίξω μαθηματικά.
Πρόδρομε ευχαριστώ για το σχόλιο. Δεν ξέρω τι μισθό δίνει ο Γιάννης στους παρατηρητές του, αλλά αξίζει τον κόπο!
Πρόδρομε είναι και ανήλικος εργαζόμενος.
Μπορείς να το υποστηρίξεις μαθηματικά. Σου είναι εύκολο, δεδομένων τω δεξιοτήτων σου.
Το ποιος θεωρείται αδανειακός παρατηρητής γενικά, δεν είναι απλή ερώτηση. Ο 1ος νόμος βοηθά στην κατανόηση και τον ορισμό των αδρανειακών συστημάτων. Θα τολμήσω να πω κάτι απλοϊκά. Όπως θα το έλεγα σε παιδιά, αν η ύλη ήταν αυτή που γνώρισα ως μαθητής το 1974-1975:
Ένα σώμα δέχεται δυνάμεις από επαφή ή από απόσταση. Περιοριζόμενοι στην Μηχανική, αυτές είναι δυνάμεις ελατηρίων, τριβές, ανώσεις, κάθετες αντιδράσεις, βαρυτικές έλξεις, τάσεις νημάτων. Τα αίτια είναι αισθητά.
Όταν για να ερμηνεύσω ένα φαινόμενο υιοθετώ δύναμη από κάτι μη αισθητό, βρίσκομαι σε μη αδρανειακό σύστημα. Για παράδειγμα επικαλούμαι μια οριζόντια βαρύτητα από έναν μυστηριωδώς εμφανισθέντα πλην αόρατο πλανήτη. Όταν αναγκάζομαι να υιοθετήσω δυνάμεις κάθετες στην ταχύτητα και ανάλογες μ' αυτήν. Δυνάμεις που δεν θα υπήρχαν σε ακίνητη γη.
Οι δυνάμεις οι αδρανειακές δεν είναι όλες συντηρητικές. Λαμπρό παράδειγμα οι δυνάμεις Euler.
Τι εννοούμε λέγοντας "συντηρητικό σύστημα";
Σε κάθε κλειστή διαδρομή το έργο των αδρανειακών δυνάμεων είναι μηδέν.
Στάθη συγχαρητήρια για τη σε βάθος μελέτη του ιδιαίτερου εκκρεμούς.
Μια ερώτηση:
Οι πράξεις στη Χαμιλτονιανή (21β) χρησιμοποιούν την προσέγγιση (16α) , άρα τα συμπεράσματα για την ενέργεια ισχύουν για αυτή την προσέγγιση;
Πρόσεξα επίσης ότι αν η δύναμη είναι σταθερή τότε απαλειφή μεταξύ (8) και (9) δίνει μια σχέση που (αν δεν κάνω λάθος) ολοκληρώνεται: -F cos φ +m l (sinφ φ') ^2/2 – l M φ'^2/2+g M sinφ = σταθ. Αυτή η σχέση πρέπει να σχετίζεται με την αρχική κατάσταση του συστήματος.
Γιάννη οι προσομοιώσεις σου είναι (όπως πάντα) άκρως διαφωτιστικές. Συγχαρητήρια!
Καλησπέρα Στάθη.
Συγχαρητήρια και για η νέα εργασία που μοιράστηκες.
Υψηλού επιπέδου, όπως συνήθως…
Να είσαι καλά.
Ευχαριστώ Δημήτρη.