Iσορροπία και άνωση: Ένα παλιό Ρώσικο θέμα

Μια λεπτή κυλινδρική ξύλινη ράβδος μήκους L τοποθετείται έτσι ώστε να ακουμπάει στο πάνω άκρο της Ο σε βράχο που προεξέχει από την επιφάνεια του νερού κατά ύψος h. Βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής τριβής μ ανάμεσα στη ράβδο και το βράχο ώστε να ισορροπεί η ράβδος. Δίνονται οι πυκνότητες του νερού ρw και του ξύλου ρ. Το θέμα είναι για διαγωνισμούς φυσικής.

Η λύση στο σύνδεσμο  εδώ.

 

(Visited 1,788 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
27 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Πρόδρομος Κορκίζογλου

Σπύρο όπως έγραψα παραπάνω, αν πάρουμε ένα στοιχειώδες τμήμα της ράβδου, δέχεται δυνάμεις από το υγρό, σε όλη την επιφάνειά του. Αν τις αναλύσουμε σε οριζόντιες και κατακόρυφες, οι οριζόντιες λόγω της συμμετρίας και ανά δύο στο ίδιο βάθος, θα εξουδετερωθούν.

Μένουν οι κατακόρυφες, που λόγω διαφορετικού βάθους, θα δώσουν την στοιχειώδη άνωση, που είναι

dA=dm(εκτοπιζόμενου υγρού)g= ρdVg

Όπως βλέπεις δεν παίζει ρόλο το βάθος, αφού το g δεν μεταβάλλεται.

Όλες αυτές οι παράλληλες και ίσες κατά μέτρο στοιχειώδεις γνώσεις, με φορά προς τα πάνω, θα δώσουν ως συνισταμένη μια δύναμη που ασκείται στο μέσο της ράβδου , του βυθισμένου τμήματός του, που τη λέμε άνωση.

Αν είχαμε μή γεωμετρικό στερεό, τότε πρέπει να βρούμε το σημείο εφαρμογής όλων των στοιχειωδών ανώσεων, που θα είναι νομίζω, το κέντρο μάζας του υγρού που θα καταλάμβανε το χώρο του βυθισμένου μέρους του στερεού.

Αυτό το σημείο είναι και το κέντρο της άνωσης συνολικά, του βυθισμένου μέρους του στερεού.

Σπύρος Τερλεμές
7 μήνες πριν

Κατανόησα όσα αναφέρεστε αλλά δεν καταλαβαίνω γιατί λέτε ότι οι στοιχειώδεις δυνάμεις είναι ίσες? Που στηρίζεται αυτό?

Πρόδρομος Κορκίζογλου

Αν πάρουμε ένα κύλινδρο με τον άξονά του κατακόρυφο, και πάρουμε δύο αντιδιαμετρικά στοιχειώδη τμήματα όσων εμβαδών dS και στο ίδιο βάθος, δέχονται αντίθετες δυνάμεις και εξουδετερώνονται.

Μένουν οι κατακόρυφες, που λόγω διαφοράς βάθους θα δώσουν ως συνισταμένη την στοιχειώδη άνωση.

dA=(P2-P1)•ds=ρgdh•ds=ρgdV

Αν το σχήμα του βυθισμένου μέρους του είναι ακανόνιστο, και πάλι θα υπάρχουν δύο στοιχειώδεις επιφάνειες, που δέχονται δυνάμεις που μπορούμε να τις αναλύσουμε σε οριζόντιες x, y και κατακόρυφες z. Οι οριζόντιες θα δώσουν μηδενική συνισταμένη, γιατί σε ενάντια περίπτωση, αν το σώμα ισορροπεί, θα κινούσαν το σώμα μεταφορικά είτε και στροφικά.

Πράγμα άτοπο.

 

Σπύρος Τερλεμές
7 μήνες πριν

Συμφωνώ ότι θα υπάρχει εξουδετέρωση των οριζοντίων δυνάμεων. Αλλιώς θα είχαμε κίνηση, που δεν ισχύει.Θα μείνουν μόνο οι κατακόρυφες συνιστώσες. Η συνισταμένη αυτών θα είναι ρgV.

Κάθε στοιχειώδη δύναμη θα είναι dA=ρgdV.

Συμφωνώ σε όλα! 

Αυτό που δεν καταλαβαίνω, είναι ότι γράφετε πως κάθε στοιχειώδη δύναμη είναι ίση με κάθε άλλη. Δηλαδή ότι είναι ίσου μέτρου, άρα το σημείο εφαρμογής της άνωσης είναι το κέντρο βάρους του σώματος. 

Γιατί γενικά οι στοιχειώδες δυνάμεις να είναι ίσες? Δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό ώστε να προκύψει ότι έχουν το ίδιο μέτρο. Γιατί να ισχύει αυτό? Κάτι δεν βλέπω.

Πρόδρομος Κορκίζογλου

Σπύρο έγραψα παραπάνω ότι το σημείο εφαρμογής άνωσης σε όλο το βυθισμένο τμήμα του στερεού, είναι το κέντρο μάζας του υγρού, που θα καταλάμβανε το χώρο που καταλαμβάνει το μέρος του  βυθισμένου στερεού. Και το μέτρο της άνωσης είναι ίσο με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού .

Ως προς το άλλο που λες, γιατί να είναι ίσες οι δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχειώδη παράπλευρα εμβαδά που βρίσκονται στο ίδιο βάθος, άρα οι πιέσεις είναι ίσες, λέω το εξής:

Αν πάρουμε μια λεπτή οριζόντια ζώνη του στερεού, σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της ζώνης θα ασκείται κάθετα σε αυτή, δύναμη dF=(ρgh+Patm.)•ds.

Μπορούμε να ολοκληρώσουμε σε αυτή τη ζώνη , οπότε θα βγει μηδενική η συνολική δύναμη στην οριζόντια διεύθυνση, ενώ στην κατακόρυφη όχι.

Κάνοντας το ίδιο σε όλη τη βυθισμένη επιφάνεια του στερεού, μένουν μόνο οι κατακόρυφες δυνάμεις, που θα δώσουν τελικά τη συνολική δύναμη, δηλαδή την άνωση.

Το σημείο εφαρμογής της άνωσης είναι το κέντρο μάζας του υγρού που θα καταλάμβανε το χώρο του βυθισμένου μέρους του στερεού.

Αυτό έχω να πω. Πιστεύω ότι σε κάλυψα!

Καλό μεσημέρι.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Σπύρο βλέπεις νερό μέσα σε νερό:

Screenshot-1

Κάνε την υπόθεση ότι βάρος και άνωση δεν έχουν ίδιο φορέα.

Τότε η νερένια μάζα δεν ισορροπεί. Άτοπον!

Επομένως έχουν ίδιο φορέα.

Βάλε στη θέση του νερού ένα οιοδήποτε σώμα, ελεύθερο ή όχι. Θα δεχθεί ίδια δύναμη άνωσης.

Επομένως άνωση και βάρος εκτοπιζόμενου υγρού είναι αντίθετες δυνάμεις με ίδιο φορέα.

Είναι πολύ απλό!

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Βλέπεις την υπεροχή αυτής της απόδειξης (Αλεξόπουλος) έναντι της άλλης με τις πιέσεις, τα ρ.g.h κ.λ.π που χωλαίνουν σε σώματα τυχαίων σχημάτων. Άντε να παίρνεις θεωρήματα του διανυσματικού λογισμού για να αποδείξεις κάτι προσιτό και σε παιδί του Γυμνασίου!

Πέραν της εμφανούς υπεροχής της είναι όμορφη. Δες την διαφορά:

Screenshot-3

Σπύρος Τερλεμές
7 μήνες πριν

Στο συγκεκριμένο, η "απλή" απόδειξη είναι πράγματι πολύ όμορφη!

Σπύρος Τερλεμές
7 μήνες πριν

κ.Γιάννη, είναι φυσικά φανερό ότι πρέπει να έχουν τον ίδιο φορέα όταν το σώμα είναι ελεύθερο αλλιώς δεν θα υπάρχει ισορροπία.

Δεν μπορώ να καταλάβω όμως γιατί να ισχύει το παραπάνω όταν το σώμα δεν είναι ελεύθερο όπως δηλαδή στο παράδειγμα μας. 

Η απόδειξη της άνωσης γίνεται σε ελεύθερο σώμα. Στην απλή απόδειξη (π.χ Halliday-Resnick) θεωρούμε ποσότητα ρευστού που ισορροπεί, άρα δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις με μη μηδενική συνισταμένη. 

Πως θα δείξουμε ότι η ισχύς της άνωσης είναι εξασφαλισμένη σε μη ελεύθερο σώμα?

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Σπύρο έγραψα:

ένα οιοδήποτε σώμα, ελεύθερο ή όχι

Πάρε όποιο σώμα θέλεις μη ελεύθερο. Αντικαθιστώ με νερό μόνο το βυθισμένο του τμήμα. Το νερό-αντικαταστάτης ισορροπεί και όχι το σώμα. Επομένως η άνωση που δέχεται το νερό αντικαταστάτης (συνεπώς και το σώμα) είναι ίσο με το βάρος του νερού – αντικαταστάτη. Δεν με ενδιαφέρει το σώμα και ο τρόπος που ισορροπεί. Την άνωση θέλω να υπολογίσω.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Κάνε όποιο σχήμα θέλεις. Όποιο σώμα θέλεις, εν μέρει βυθισμένο. Μπορείς πολύ εύκολα να δείξεις ότι η άνωση και το βάρος του νερού-αντικαταστάτη είναι αντίθετες δυνάμεις με ίδιο φορέα.

Σπύρος Τερλεμές
7 μήνες πριν

κ.Γιάννη έχετε δίκιο!

Χαζομάρες λέω. Ευχαριστώ για την καθοδήγησηcheeky