Γυρίζουμε στο πλάι ένα ποτήρι μάζας Μ και κρεμάμε σε αυτό με νήμα άγνωστου μήκους L, ένα σώμα m, όπως στο σχήμα. Το ποτήρι είναι ελεύθερο σε λείο δάπεδο και δεν ανατρέπεται. Εκτοξεύουμε μια μπίλια μάζας m με ταχύτητα u και χτυπάει πλαστικά με το κρεμασμένο σώμα. Το συσσωμάτωμα φτάνει οριακά στην οριζόντια θέση.
(α) Ποια η ταχύτητα του ποτηριού όταν το νήμα γίνει οριζόντιο?
(β) Θέλουμε να βρούμε το μήκος του νήματος. Πόσο είναι αυτό?
(γ) Αν θέλουμε η ταχύτητα του ποτηριού στην οριζόντια θέση του νήματος να είναι μέγιστη, θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη η μάζα του ποτηριού ή η μάζα του κρεμασμένου σώματος (δηλ. Μ>m ή M<m) ?
(Visited 1,816 times, 3 visits today)
36 σχόλια στο “Το γυρισμένο ποτήρι και η μπίλια”
Αφήστε μια απάντηση
Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.
Πολύ καλή Σπύρο!
Ευχαριστώ κ.Γιάννη,
Είπα να κάνω κάτι λίγο ευκολότερο γιατί δεν υπήρχε μέχρι τώρα "ανταπόκριση" στα άλλα
Δεν συμφωνώ γενικά με την αίσθηση που έχεις για το "ευκολότερο".
Μια ανάρτηση με πολλά "Μαθηματικά" είναι ευκολότερη από τα "Τρία κιβώτια" π.χ.
Όταν ήμουν δευτεροετής έλυνα τα προβλήματα με Λαγκράνζιαν, αγκύλες Πουασόν, τανυστές κ.λ.π.
Δεν θα έλυνα όμως "Τα τρία κιβώτια" που τα "μαθηματικά" τους ήταν απλά.
Βάζω τα Μαθηματικά σε εισαγωγικά διότι μαθηματικές διεργασίες δεν είναι μόνο "όσες φορούν γούνες και εξωτερικά γινόμενα".
Θυμήσου μια στιχομυθία που είχες με τον Μανόλη για το αν μια ταχύτητα είναι διπλάσια από μία άλλη.
Η απλή γεωμετρία του ισοσκελούς τριγώνου Μαθηματικά είναι.
Καλησπέρα κ.Γιάννη,
Γενικότερα μια άσκηση με μαθηματικά ελαφρώς ανώτερα, είναι δυσκολότερη από μια λυκειακή, από την άποψη ότι για να λυθεί πρέπει να υπάρχει το μαθηματικό υπόβαθρο.
Τώρα σίγουρα υπάρχουν πολλές ασκήσεις, με λίγα μαθηματικά, και πάρα πολύ φυσική, που μπορεί να είναι εξαιρετικά δύσκολες.
Αλλά το "παράπονο" μου είναι ότι ασκήσεις που περιείχαν λίγο πιο πολλά μαθηματικά, δεν προσέχονται και τόσο. Για παράδειγμα μερικές πρόσφατες:
Το πλαίσιο και η περιστροφή
Μαγνητικό πεδίο και στροφή κυλίνδρου
Με αφορμή το θέμα Δ 2020 Νο.2
Σπύρο πάλι θα διαφωνήσω με το "γενικότερα είναι δυσκολότερη".
Δυσκολότερο είναι ένα πρόβλημα όταν δεν ξέρεις τι να κάνεις.
Τα τρία κιβώτια είχαν μια δυσκολία. Τα σώματα είχαν επιταχύνσεις διαφορετικών μέτρων.
Γιατί τώρα δεν διαβάζονται αναρτήσεις αυτού του τύπου;
Ο αναγνώστης διαβάζει ένα κείμενο άλλοτε προσεκτικά, άλλοτε "διαγώνια". Δεν θα πιάσει μολύβι και χαρτί να κάνει πράξεις.
Αν το κείμενο έχει μόνο πράξεις το προσπερνά.
Ας πάρω ένα παράδειγμα. Ζητάμε την ροπή αδράνειας μιας πόρτας ως προς τον άξονα που ορίζουν οι μεντεσέδες.
Γράφονται δύο αναρτήσεις.
Η μία λύνει το πρόβλημα με ολοκληρώματα.
Η άλλη κόβοντας την πόρτα σε ράβδους.
Ποια από τις δύο θα διαβαστεί από περισσότερους συναδέλφους;
Γειά σου Σπύρο. Μπράβο σου, πολύ καλή και έξυπνη!
Μια παρατήρηση:
Μήπως πρέπει να εξετάσεις και τη μή ανατροπή του ποτηριού; Φυσικά πρέπει να δώσεις και τις διαστάσεις του, και το σχήμα του ως ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.
Επειδή προκύπτει η μάζα του ποτηριού πολύ μικρότερη από τη μάζα των σωμάτων, υπάρχει κίνδυνος ανατροπής, σε νομίζεις;
Η ιδέα σου ευρηματική και αξιόλογη! Επίσης, δεν χρειάζεται να παραγωγίζεις, είναι εμφανές ότι η παράσταση λ^2+2λ είναι >=0.
Να είσαι καλά.
Καλησπέρα κ.Πρόδρομε,
Ευχαριστώ για τον σχολιασμό και χαίρομαι που σας άρεσε!
Έχετε δίκιο, υπάρχει κίνδυνος ανατροπής αλλά είπα να το αφήσω στην άκρη.
Όσον αφορά την παραγώγιση, γίνεται για να δούμε αν η πρώτη παράγωγος είναι θετική, ώστε η συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα.
Καλημέρα Σπύρο!
Πολύ καλή ιδέα σου!
Είναι ενδιαφέρον ότι ακόμη και στην περίπτωση που η κρούση μεταξύ της μπίλιας και του κρεμασμένου σώματος είναι ελαστική, η κίνηση μόνο της μπίλιας και του ποτηριού, αν στο ποτήρι συμπεριλάβουμε το κρεμασμένο σώμα, είναι μη ελαστική κρούση. Δηλαδή μετά την κρούση μέρος της αρχικής ενέργειας δεν εμφανίζεται στην ολική ενέργεια της μπίλιας και του ποτηριού αλλά εμφανίζεται ως ενέργεια του κρεμασμένου σώματος, δηλαδή ως "εσωτερική" ενέργεια του ποτηριού!
Πρόκειται δηλαδή για πολύ ωραίο μοντέλο μη ελαστικής κρόυσης.
Μήπως θα μπορούσες να το ανεβάσεις και σε PDF;
Καλησπέρα κ.Ανδρέα,
Σας ευχαριστώ πολύ!!
Για την εσωτερική ενέργεια θα γράψω στη συνέχεια.
Ναι, με την πρώτη ευκαιρία θα το ανεβάσω και σε pdf.
Καλημέρα Ανδρέα.
Να αφήσουμε το ποτήρι και να πάρουμε την κρούση του σχήματος, όπου η σφαίρα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α.
Υπάρχει κάποια αμφιβολία ότι πρόκειται για ελαστική κρούση; Μα, υπάρχει και το σώμα Β και το σύστημα… Πάντα υπάρχει στο τέλος κάποιο σύστημα που, αν θέλουμε, μπορούμε να το βάλουμε στη συζήτηση…
Αλλά γιατί να μην δω την ελαστική κρούση της σφαίρας με το σώμα Α, παρά να "βλέπω" κρούση της σφαίρας με το σύστημα των σωμάτων Α- Β και ελατήριο; Αν το κάνω αυτό, τότε πράγματι η κινητική ενέργεια μόνο του Α σώματος, μπορεί να θεωρηθεί "εσωτερική ενέργεια" του συστήματος και τότε η ελαστική κρούση πήγε … περίπατο!
Αλλά γιατί να το κάνω; Για να βγάλω ανελαστική κρούση;
Καλημέρα Διονύση!
Το είδα ως παράδειγμα της έννοιας εσωτερική ενέργεια.
Καλημέρα παιδιά.
Ανδρέα δεν κατάλαβα τον συλλογισμό σου.
Εννοείς ότι τμήμα της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε δυναμική του κρεμασμένου σώματος;
Αν αυτό εννοείς, δεν συμβαίνει κάτι ανάλογο σε όλες τις ασκήσεις ταλάντωση-κρούση ;
Γιάννη καλημέρα!
Αν θεωρήσουμε την ενέργεια του κρεμασμένου σώματος ως εσωτερική ενέργεια του ποτηριού, τότε, στην περίπτωση της ελαστικής κρόυσης μπίλιας – κρεμασμένου σώματος, η διατήρηση της ενέργειας περιγράφεται ως εξής: Κινήτική ενέργεια της μπίλιας μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια του ποτηριού και κινητική ενέργεια του ποτηριού.
Ανδρέα δες μία εξαιρετική προσομοίωση του John Mallinckrodt
Όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές όμως το σύστημα ανακρούεται με μικρότερη ταχύτητα από αυτήν με την οποία προσέπεσε.
Αυξάνεται η εσωτερική ενέργεια. Είναι φανερό πως μετά την κρούση τα εσωτερικά μπαλάκια κινούνται εντονότερα.
Δες την και συνεχίζω σε λίγο.
Η εσωτερική ενέργεια είναι "ανοργάνωτη" και δεν μετατρέπεται σε "οργανωμένη" κινητική ενέργεια.
Για μας "χάθηκε". (Πολλά τα εισαγωγικά!).
Συμβαίνει όμως κάτι ανάλογο στην περίπτωση του ποτηριού;
Μήπως η "εσωτερική" του ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική;
Καλημέρα ξανά σε όλους,
Δεν ξέρω κατά πόσο έχει αξία να μπλέξουμε με το τι ονομάζουμε ελαστική κρούση σε τέτοιες περιπτώσεις. Αλλά υπό τον κλασικό ορισμό, ο κ.Αντρέας έχει δίκιο.
Βέβαια, έχουμε ένα σύστημα σωματίων, με εσωτερική ενέργεια (δυναμική-κινητική). Η κρούση γίνεται με ένα σύνολο σωματίων, του συστήματος, και όχι με το σύστημα ολόκληρο. Συνεπώς, η κρούση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί και μη ελαστική, αλλά αυτή θα ήταν η κρούση της μπίλιας με το σύστημα. Η κρούση της μπίλιας με το κρεμασμένο σώμα, παραμένει ελαστική.
Η βασική διαφορά με τις συνηθισμένες ασκήσεις, είναι ότι το σύστημα, είναι ελεύθερο να αποκτήσει εσωτερική κινητική ενέργεια. Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη που θα ασκηθεί στα σωμάτια που θα έρθουν σε επαφή με την μπίλια κατά την κρούση, δεν συνεχίζει αναλλοίωτη στο υπόλοιπο μέρος του συστήματος. Με άλλα λόγια δεν έχουμε μηχανικό στερεό.
Αν είχαμε μηχανικό στερεό, τότε ισχύουν τα κλασικά.
Καλησπέρα σε όλους, κοιτώντας την έξυπνη ιδέα της ανάρτησης του Σπύρου, νομίζω πως πρέπει να κάνω το συνήγορο του διαβόλου, γιατί αρκετά νομίζω μπορεί να παρεξηγηθούν από μαθητές αναγνώστες….που ελπίζω τέτοια εποχή να μην υπάρχουν….
Έστω πως είμαι μαθητής που έχω τελειώσει τη Β Λυκείου, γνωρίζω κάποια από κρούσεις, μπαίνω στο υλικονετ και διαβάζω την πρώτη άσκηση κρούσης που θα βρω …Είναι και πλαστική, οπότε θεωρώ πως έχω το γνωστικό υπόβαθρο να την αντιμετωπίσω…
Διαβάζω λοιπόν…
-«Εκτοξεύουμε μια μπίλια μάζας m με ταχύτητα u και χτυπάει πλαστικά με το κρεμασμένο σώμα….»
Δεν καταλαβαίνω πώς είναι δυνατόν τη στιγμή της κρούσης η μπίλια να έχει την αρχική ταχύτητα εκτόξευσης;
-«Η ορμή πριν και μετά την κρούση στον οριζόντιο άξονα, διατηρείται…»
Γιατί στον οριζόντιο και όχι συνολικά;
-Δεν βλέπω ποια δύναμη επιταχύνει το ποτήρι και δεν υπάρχει κάτι να με βοηθήσει….να καταλάβω….
-Διαβάζω επίσης:
«Αλλά το όλο σύστημα είναι μονωμένο, άρα: muημθ=(M+2m)V»
Δηλαδή σε κάθε θέση της τροχιάς το συσσωμάτωμα θα έχει την ίδια ταχύτητα με το ποτήρι;
– Μετά σκέφτομαι πως η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκεί το νήμα στην πάνω πλευρά του ποτηριού θα προκαλεί την επιτάχυνση…
Οπότε όταν το νήμα σχηματίζει γωνία φ<90 με την κατακόρυφη, η ταχύτητα του συσσωματώματος θα αναλύεται σε συνιστώσα υ1 κάθετη στο νήμα και οριζόντια Vk ίση με την ταχύτητα του ποτηριού. Δεν έχω απώλειες ενέργειας και γράφω:
½ (m+m)υ^2=½ (m+m)υ1(^2)+1/2 (M+2m)Vk^2+2mgL(1-συνθ)
σύμφωνα με αυτό που διάβασα:
½ (m+m)υ^2=1/2 (M+2m)V^2+2mgL
– Εντάξει μπορεί να μην κατάλαβα αυτά τα περί εσωτερικής ενέργειας και ελαστικής κρούσης που τελικά είναι ανελαστική για άλλο σύστημα…..αλλά δεν πειράζει….νομίζω κατάλαβα όλα τα άλλα……