Κύλιση σε ανεστραμμένο ημικύκλιο

Με αφορμή μια ανάρτηση του κ.Γιάννη Κυριακόπουλου εδώ, αποφάσισα να μελετήσω μια περίπτωση κύλισης για την οποία δεν έχω δει μέχρι τώρα σχετική μελέτη. Έχουν γίνει αρκετές αναφορές για τις αρχικές γωνίες που πρέπει να αφήσουμε ένα στερεό εντός ημικυκλίου για να ξεκινήσει κατευθείαν την κύλιση του. Είχα ασχοληθεί και εγώ πρόσφατα σε αυτήν την ανάρτηση.

Η παρούσα είναι ίδια λογική αλλά ελαφρώς περιπλοκότερη γιατί έχουμε να λάβουμε υπόψιν και το γεγονός της πιθανής απώλειας επαφής, και κατά πόσο αυτή επηρεάζεται από τις αρχικές συνθήκες.

Η ανάλυση εδώ (word)

Η ανάλυση εδώ (pdf)

 

(Visited 1,081 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
28 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Σπύρο φοβάμαι ότι δεν μπορώ να διαβάσω τι γράφεις.

Έτσι προσπάθησα να καταλάβω "τα λόγια". Φοβάμαι πως μπερδεύτηκα πολύ χειρότερα.

Διότι……

Πριν γίνει η εγκατάλειψη θα υπάρξει ολίσθηση.

Από την στιγμή που αρχίζει η ολίσθηση μέχρι την στιγμή εγκατάλειψης η ενέργεια δεν διατηρείται. Οπότε αυτό το "Εφόσον θέλουμε το στερεό να είναι συνεχώς κυλιόμενο"

είναι μία λανθασμένη υπόθεση.

Είναι σαν να λες "Εφόσον θέλουμε η οξεία γωνία να είναι μεγαλύτερη της ορθής, πρέπει…."

 

Υ.Γ.

Γιατί Λαγκράνζιαν;

Ένα σώμα είναι, με έναν βαθμό ελευθερίας!

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Δες εδώ:

Screenshot-1

Τι βλέπουμε;

Υπάρχουν και τριβή και η Ν, επομένως δεν έχει ακόμα εγκαταλείψει.

Βλέπουμε όμως ότι έχει αρχίσει η ολίσθηση διότι υ και ω.R διαφέρουν.

 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Τι συμβαίνει;

Η Ν μικραίνει. Η τριβή μεγαλώνει.

Κάποια στιγμή Τ=μ.Ν και αρχίζει η ολίσθηση.

Ο υπολογισμός της θέσης στην οποία αρχίζει η ολίσθηση είναι σχετικά απλός για έναν μαθητή και γίνεται με κεντρομόλο και διατήρηση της ενέργειας.

Προφανώς στην θέση αυτήν που υπολογίζουμε υπάρχουν Ν και Τ, οπότε δεν έχει γίνει εγκατάλειψη.

Στάθης Λεβέτας
Αρχισυντάκτης
9 μήνες πριν

Καλησπέρα Σπύρο.

Συμφωνώ με την ανάλυσή σου μέχρι το αποτέλεσμα (19) , πολλά συγχαρητήρια για αυτήν, αλλά μετά με μπερδέυει η ερμηνεία που δίνεις στο αποτέλεσμα.

Όπωε το καταλαβαίνω η ανίσωση (19) δίνει τις επιτρεπτές γωνίες, στις οποίες μπορούμε να αφήσουμε ένα στερεό, ώστε να αρχίσει να κυλίεται (χωρίς ολίσθηση) στην ημικυκλική τροχιά. Για παράδειγμα σε μία σφαίρα (λ=0.4) με συντελεστή τριβής μ=1, πρέπει η θ0 (μετρημένη ως προς την κατακόρυφο στο κέντρο) να είναι μικρότερη των 74 μοιρών, περίπου. 

Επίσης διαπιστώνουμε ότι στο αρχικό αυτό σημείο υπάρχει επαφή (προφανώς Ν>0). 

Μετά όμως τι εννοείς με την τελευταία σου φράση:

"…Οπότε για οποιαδήποτε αρχική γωνία που αφήνουμε που το στερεό, η οποία να ικανοποιεί την ανίσωση (19), θα έχουμε αρχικά κύλιση χωρίς καθόλου ολίσθηση έως κάποια στιγμή και μετά απώλεια επαφής με το ημικύκλιο…"

 Εννοείς ότι θα φτάσει το σώμα χωρίς ολίσθηση μέχρι την βάση του ημικυκλίου; Αν ναι, από πού προκύπτει αυτό;

 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Σπύρο εννοούσα ότι δεν κατάλαβα τι γράφεις.

Έπειτα όταν κάποιος διαβάζει "ώστε καθόλη την κίνηση του, να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει"  ( και ξέρει ότι αυτό αποκλείεται), αποθαρρύνεται να συνεχίσει την ανάγνωση.

Έπειτα διαβάζω μια πολύπλοκη ανάλυση (μέχρι παραγώγιση εμφανίστηκε!!) για κάτι που είναι λυκειακού επιπέδου. Πολύ απλά βρίσκουμε που Τ=μ.Ν.

Αντί μιας τέτοιας διαπραγμάτευσης βλέπω μια παρέλαση από Λαγκράνζιαν, διαφορικές, παραγωγίσεις και πεδία ορισμού συνάρτησης!

Προς τι όλα αυτά;

 

Αποκτώ την αίσθηση ότι τελικά την παρέλαση επεδίωκες. Προσπέρασες την "βαρετή" Φυσική από την 3η γραμμή και με ανυπομονησία έκανες το κέφι σου. Την διοργάνωση της παρέλασης.

Πρώτα συλλαμβάνουμε ποιοτικά την εξέλιξη του φαινομένου (λ.χ. θα ολισθήσει πριν εγκαταλείψει;) και μετά επιλέγουμε τα εργαλεία.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Και αφού η Λαγκράνζιαν έχει παραμεληθεί στο δίκτυο, ας λύσω μια άσκηση χρησιμοποιώντας την.

Η άσκηση λέει ότι από ύψοε Η βάλλεται ένα σώμα οριζόντια με ταχύτητα υο.

Που θα βρίσκεται την στιγμή t και τι ταχύτητα θα έχει;

Λύση:

Screenshot-1

Screenshot-2

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Μετά:

Από εκεί και πέρα, εφόσον βγουν οι εξισώσεις, τις χρησιμοποιούμε ως έχειν. 

Δύο λάθη βλέπω. Το πρώτο είναι ότι θεωρείς πως οι εξισώσεις μόνο έτσι βγαίνουν.

Το δεύτερο ότι δεν έχουμε την υποχρέωση να αποδεικνύουμε βασικές σχέσεις σε κάθε ανάρτηση.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Στην τρίτη παράγραφο διαβάζω:

Μια ορθή-πρωταρχική-θεμελιώδης λύση, είναι αυτή που κάνετε και ίσως ακόμα αναλυτικότερη. 

Η λύση δηλαδή του Γαλιλαίου δεν είναι ούτε ορθή, ούτε πρωταρχική, ούτε θεμελιώδης;

Μια άλλη λύση επικαλούμενη παρατηρητή θα ήταν "μη ορθή";

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Θα δούμε πόσο συμφωνείς.

Πάμε στην δεύτερη:

Και αν δεν χρησιμοποιούσα Lagragian και εφάρμοζα μόνο τα βασικά της Λυκειακής Φυσικής, πάλι δεν θα γινόταν να λυθεί το πρόβλημα. Θα έφτανα ίσως έως την σχέση (14). Μετά αναλαμβάνουν τα μαθηματικά. Αλλιώς δεν λύνεται. 

Η πορεία ήταν δική σου επιλογή. Ήθελες να φτάσεις σε σχέσεις που θα σου επιτρέψουν να παίξεις με "μαθηματικά". Αυτό σε ενδιέφερε και όχι το πρόβλημα.

Θα μπορούσες να επικαλεστείς διατήρηση ενέργειας και κεντρομόλο. 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Καλημέρα Σπύρο.

Έγραψες 5 παραγράφους. Κάθε μία γεννά ένα σχόλιο.

Η πρώτη:

κ.Γιάννη δεν εννοώ κάτι τέτοιο. Καταλαβαίνω τον λόγο που τον γράψατε. Συμφωνώ μάλιστα. 

Οι επόμενες την διαψεύδουν. Δεν ξέρω αν κατάλαβες τον λόγο που έγραψα το σατιρικό κείμενο, πάντως δεν συμφωνείς βάσει όσων γράφεις στη συνέχεια.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
9 μήνες πριν

"Και αφού η Λαγκράνζιαν έχει παραμεληθεί στο δίκτυο, ας λύσω μια άσκηση χρησιμοποιώντας την."

Καλημέρα Γιάννη. 

Δηλαδή στο εξής, θα βλέπουμε συχνά αντίστοιχες "επιστημονικές" λύσεις;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλημέρα Διονύση.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Στη συνέχεια:

Για να μελετήσουμε μια βολή, κανονικά ναι πρέπει να εμπλέξουμε διανύσματα, ολοκληρώματα κτλ. Αλλιώς κινούμαστε χύμα στο κύμα. Πως θα αποδείξουμε χωρίς διανύσματα ότι η ταχύτητα μπορεί να αναλυθεί?

Κανονικά πρέπει!;!;

Πρόκειται για κάποιο κώδικα καλής συμπεριφοράς, όπως αυτόν που επιβάλλει την είσοδο σε ρεστωράν με κουστούμι;

Όταν δεν χρησιμοποιείς διανύσματα και ολοκληρώματα είσαι χύμα και μάλιστα στο κύμα;

 

Πως θα αποδείξουμε ότι η ταχύτητα μπορεί να αναλυθεί;;;;

Αν μου κάνεις πλάκα, να σταματήσω εδώ. Αν όχι ας επικαλεστώ παρατηρητές και επαλληλία. Φυσικά αναλύεται η ταχύτητα διότι είναι διάνυσμα.

Πρέπει αυτό να το αποδεικνύουμε σε κάθε ανάρτηση;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Έπειτα θεωρείς πως "κανονικά" πρέπει να αποδεικνύονται οι σχέσεις που χρησιμοποιούμε.

Εσύ γιατί δεν απέδειξες τις εξισώσεις Euler-Lagrange;

 

Ας ξαναπώ ότι προσπέρασες την Φυσική γρήγορα, από τις πρώτες σειρές.

Δεν σε απασχόλησε η λύση του προβλήματος αλλά το μαθηματικό παιγνίδι. Το πρόβλημα το είδες σαν πρόφαση ώστε να παίξεις με αυτά, τα μόνα που θεωρείς μαθηματικά.

Έτσι από την αρχή ξεκινάει ένα "μαθηματικό" παιγνίδι σε λάθος βάση.

Ποιος θα συνεχίσει την ανάγνωση βλέποντας λανθασμένη έναρξη;