Μια ιδιόμορφη ανακύκλωση

Στο σχήμα απεικονίζεται μια βάση ΑΒΓΔΕΖ μάζας Μ, που μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Σώμα μάζας m ,μικρών διαστάσεων, (M=λm), βρίσκεται πάνω στο Μ στη θέση Α, και μπορεί να κινείται πάνω του μέσω σιδηροτροχιών, χωρίς τριβές.Δίνουμε με ένα κτύπημα στο m αρχική οριζόντια ταχύτητα (uo ) , τέτοια ώστε να κάνει οριακά ανακύκλωση, διαγράφοντας τη διαδρομή ΑΒΓΔΕΒΖ σε σχέση με το Μ, ενώ η Μ να μην απομακρυνθεί από το οριζόντιο επίπεδο. Επίσης το μήκος ΑΖ είναι τέτοιο, ώστε να μη κινδυνεύει να ανατραπεί κατά τη διάρκεια του φαινομένου.
Υπολογίστε σε συνάρτηση των g ,R και λ :
1. την (uo ) και
2. τις τελικές ταχύτητες u, V των m και M αντίστοιχα.
Εξηγείστε αναλυτικά την εξέλιξη του φαινομένου.

εφαρμογή για λ=1
Απαντήσεις γενικής λύσης:ΕΔΩ σε word
κι εδώ σε pdf
Η παλιά λύση για λ=1 παρακάτω:
εδώ σε word κι εδώ σε pdf

(Visited 1,157 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
23 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
Admin
8 μήνες πριν

Καλημέρα Πρόδρομε.

Λέγοντας τελικές ταχύτητες, να υποθέσω ότι εννοείς μετά την 2η "κρούση", οπότε θα έχουμε υ0 και μηδέν;

Σπύρος Τερλεμές
8 μήνες πριν

Τρείς σκέψεις. 

1ος Τρόπος (Μη Λυκειακός) 

Κάνουμε ανάλυση της δυναμικής κατάστασης των σωμάτων σε μια τυχαία θέση, γωνίας θ ως προς κάποια σύστημα αναφοράς. Οι δυνάμεις οριζόντια είναι ίσες. Οπότε ολοκληρώνοντας τον 2ο νόμο του Νεύτωνα στον άξονα x προκύπτει η σχέση των ταχυτήτων μεταξύ Μ και m. Από εκεί και πέρα, έχοντας την σχέση των ταχυτήτων, έχουμε και την σχέση των δυνάμεων αντίδρασης συναρτήσει της γωνίας θ. Εφαρμόζουμε 2ο νόμο Νεύτωνα στον άξονα y, ολοκληρώνουμε από 0 έως π την γωνία, και βρίσκουμε τις σταθερές C από την απαίτηση η αντίδραση Ν να είναι μηδενική στο ανώτατο σημείο. Από εκεί και πέρα τα έχουμε βρει όλα και έχουμε κάνει και ανάλυση κινήσεως των σωμάτων.

2ος Τρόπος (Μη Λυκειακός)

Γράφουμε την Lagragian του συστήματος, ως συνάρτηση της γωνίας θ και των συντεταγμένων στον x. Εφαρμόζουμε 2 φορές τις εξισώσεις Euler-Lagrange, και έχουμε τους κινηματικούς τύπους.

3ος Τρόπος (Λυκειακός)

Ο ευκολότερος τρόπος, είναι να εφαρμόσουμε διατήρηση ενέργειας, διατήρηση ορμής και συνθήκη ανακύκλωσης. Συνδυάζουμε και βγαίνει η αρχική ταχύτητα uo. Με μερικούς υπολογισμούς στο μυαλό, νομίζω βγαίνει δευτεροβάθμια ως προς uo την οποία επιλύουμε κλασικά. 

Η άσκηση είναι εξαιρετική!! Έχει αρκετούς υπολογισμούς αν ακολουθήσουμε τον 3ο τρόπο, αλλά με μια σχέση μεταξύ των μαζών m και M (δηλ Μ=λm) τα πράγματα απλοποιούνται πολύ. 

Μπράβο κ. Πρόδρομε για την ιδέα!

Μανόλης Μαργαρίτης
8 μήνες πριν

Καλημέρα από πλαζ Άγιος Προκόπιος Νάξου εύχομαι να είστε όλοι καλά, χωρίς μολύβι και χαρτί Προδρομε μου έχει δημιουργηθεί η εντύπωση ότι με ισες τις μάζες δεν γίνεται ανακυκλωση , μπορει να φταίει όμως και ο ήλιος.Συγχατητξρια για την ιδέα Προδρομε.

 

 

Διονύσης Μάργαρης
Admin
8 μήνες πριν

Καλησπέρα Μανόλη και καλά μπάνια.

Πρόδρομε, η παρατήρηση του Μανόλη είναι εύστοχη.

Ας υποθέσουμε ότι στο ανώτερο σημείο η μάζα m έχει ταχύτητα προς τα αριστερά μέτρου υ1. Τότε από ΑΔΟ παίρνουμε:

 

πράγμα που παραβιάζει την ΑΔΕ (η βάση έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια από το αρχικά κινούμενο σώμα!)

Μανόλης Μαργαρίτης
8 μήνες πριν

Πρόδρομε ,Διονύση καλησπέρα, μεταξύ βουτιας και mojito μου κόλλησε ότι η επαφή χάνεται Μετά από τόξο 90 μοιρων