by 
Στην τελευταία ανάρτηση αυτής της σειράς, παρουσιάζεται ένα διαφορετικό (και εξαιρετικά ενδιαφέρον) είδος συντονισμού, το οποίο προκύπτει συχνά σε πολλά φυσικά συστήματα. Ο συντονισμός αυτός οφείλεται στην χρονική εξάρτηση κάποιων εκ των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν το σύστημα και καλείται παραμετρικός συντονισμός.
Στην ανάρτηση εξετάζεται το απλό μηχανικό σύστημα ελατηρίου -μάζας το οποίο αναρτάται από σταθερό σημείο και το οποίο είναι ελεύθερο να ταλαντωθεί με δύο τρόπους, κατά πρώτον κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου ως απλός αρμονικός ταλαντωτής, και κατά δεύτερον στο κατακόρυφο επίπεδο ως απλό εκκρεμές. Όπως θα δείξουμε το σύστημα αυτό οδηγείται σε παραμετρικό συντονισμό, για ένα μικρό εύρος συχνοτήτων του απλού εκκρεμούς, με άνω άκρο την διπλάσια συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης.
Συγχαρητήρια Στάθη για την υπερεργασία σου! Το πόσες ώρες χρειάστηκαν μόνο εσύ το ξέρεις.
Έχουμε μπροστά μας μια πλήρη αναφορά στις ταλαντώσεις με μαθηματική πληρότητα.
Έριξα μια βιαστική ματιά – και έχω δύο εντελώς δευτερεύουσας σημασίας παρατηρήσεις – συμπληρώσεις και ένα ερώτημα:
Ανάρτηση Α σελ.2. Χρειάζεται η αναφορά στον ορισμό σε "ευσταθή" θέση;
Το αρνητικό προσημο στη δύναμη δεν εγγυάται ευσταθή κίνηση;
Ανάρτηση Β σελ. 35. Όταν ως αντίσταση έχουμε τη συνήθη τριβή βρίσκουμε το
ενδιαφέρον συμπέρασμα ότι το "πλάτος" μειώνεται γραμμικά με το χρόνο.
Η διαφορά επίσης στα διαγράμματα στο χώρο των φάσεων είναι εμφανής:
Στην πρώτη περίπτωση – αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας -παίρνουμε μια έλικα
με μειούμενο βήμα (λογαριθμική σπείρα). Στην δεύτερη περίπτωση – σταθερή αντίσταση –
το βήμα της έλικας είναι σταθερό (σππέιρα του Αρχιμήδη).
Ανάρτηση ΣΤ, σελ.130.
Νομίζω δεν είναι σαφές το πάνω μέρος της σελ. 131: Η πρώτη πρόταση δεν σημαίνει πως
και οι x1 και x2 είναι περιοδικές;
Πώς προκύπτει η πρώτη ισότητα στη (ΣΤ1.7);
Νομίζω ότι στο παράδειγμα του εκκρεμούς που ακολουθεί δεν φαίνεται καθαρά
η εφαρμογή της θεωρίας που προηγήθηκε.
Π.χ. στη λύση για το φ(t) δεν φαίνονται οι δύο λύσεις x1 και x2.
Υποψιάζομαι επίσης ότι οι συχνότητες ω0 και ω1 σχετίζονται με τις σταθερές c1 και c2.
Πιθανόν η πολυπλοκότητα του θέματος, να το καθιστούν λιγότερο εύπεπτο.
Και πάλι πολλά συγχαρητήρια !!
Καλημέρα Δημήτρη και σε ευχαριστώ πολύ τόσο για την ενασχόληση με τις συγκεκριμένες αναρτήσεις, όσο και για το σχόλιό σου και τις παρατηρήσεις σου.
Συγκεκριμένα:
Έχεις δίκιο ότι ο χαρακτηρισμός ευσταθής προκύπτει άμεσα από την κεντρική συνισταμένη δύναμη. Θέλω όμως να τονίσω το ευσταθές της ισορροπίας, κυρίως για την περίπτωση της χρόνο -εξαρτώμενης δύναμης που εξετάζεται πιο κάτω στην ίδια ανάρτηση. Εκεί δεν υπάρχουν θέσεις ευσταθούς ισορροπίας, οπότε η κίνηση δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως ΑΑΤ, ακόμη και αν οι εξισώσεις κίνησης είναι ακριβώς ίδιες.
Δεν γνώριζα ότι η σπείρα με σταθερό βήμα καλείται «σπείρα του Αρχιμήδη», ευχαριστώ.
Έχεις δίκιο στο « Η πρώτη πρόταση δεν σημαίνει πως και οι x1 και x2 είναι περιοδικές;», θα το διορθώσω. Είχα στο μυαλό μου ότι η εξάρτηση της συχνότητας από τον χρόνο καταστρέφει την περιοδικότητα των γενικών λύσεων και το έγραψα λάθος για τις μερικές λύσεις.
Όσον αφορά τις αναλυτικές λύσεις x1 και x2:
Οι ακριβείς λύσεις μιας "ομογενούς" ΔΕ της μορφής (ΣΤ1.5) δεν είναι γνωστές αναλυτικά από ότι ξέρω (εκτός από την ειδική περίπτωση όπου η ω^2(t)=ω0^2(1+A συν(2ω0t)) οπότε καταλήγουμε στην ΔΕ Mathieu, που και πάλι η λύσεις είνια αριθμητικές, αλλά με γνωστή μονοτονία).
Το σημαντικό όμως είναι ότι ανεξάρτητα από την ακριβή μαθηματική έκφραση των λύσεων της ΔΕ, γνωρίζουμε ότι η μία θα αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο, οπότε το σύστημα γίνεται ασταθές: κάθε διαταραχή, έστω και αν είναι μικρή, στην θέση ισορροπίας, θα οδηγεί σε αύξηση της απομάκρυνσης από αυτήν, δηλαδή σε παραμετρικό συντονισμό.
Στην περίπτωση του παραδείγματος και συγκεκριμένα στην απλοποιημένη ΔΕ (ΣΤ2.29), τα πράγματα είναι ακόμα χειρότερα. Η εξίσωση δεν είναι καν «ομογενής», οπότε σίγουρα δεν μπορούμε να βρούμε αναλυτικά (και πάλι από όσο ξέρω) τις λύσεις. Αλλά ακολουθώντας το παράδειγμα της ΔΕ (Ε2.1) με σταθερούς συντελεστές της ανάρτησης Ε, αναζητούμε τον παραμετρικό συντονισμό και τον βρίσκουμε, στην περίπτωση όπου οι δύο συχνότητες ω0 και ω1 των κινήσεων των γενικευμένων συντεταγμένων r και φ, ικανοποιούν την ισότητα ω0-ω1=γ(t).
Γεια σου Στάθη.
Διαβάζοντας σιγά-σιγά την όλη δουλειά σου, πραγματικά τεράστια, να κάνω μια μικρή (σχολαστική θα έλεγα )παρατήρηση που ίσως βελτιώνει, ελάχιστα βέβαια ένα σημείο.
Με δεδομένες τις Γ2.8α και Γ2.13α
Αν στη Γ2.16 μπει αντί για n, n-1 και αυτή γραφεί
()=[0−(2-1)]cos()+(−1)n-1λ, πράγμα καθόλα νόμιμο, νομίζω,
τότε
στο n=1 αντιστοιχεί η πρώτη φάση
στο n=2 αντιστοιχεί η δεύτερη φάση κλπ
αντί
στο n=0 αντιστοιχεί η πρώτη φάση
στο n=1 αντιστοιχεί η δεύτερη φάση κλπ
Καλησπέρα Άρη. Σε ευχαριστώ που ασχολείσαι διεξοδικά και φυσικά για τις παρατηρήσεις σου.
Έχεις δίκιο ότι με τον τρόπο αυτό η αριθμητική τιμή του n θα συμφωνούσε με τον αύξοντα αριθμό της φάσης της κίνησης, δυστυχώς δεν το σκέφτηκα… Δεν προβαίνω στην αλλαγή γιατί όπως καταλαβαίνεις θα πρέπει να αλλάξω και όλες τις σχέσεις που ακολουθούν στις ενότητες Γ3 και Γ4.