6/6 Παραμετρικός Συντονισμός Ελατηρίου-Μάζας

Στην τελευταία ανάρτηση αυτής της σειράς, παρουσιάζεται ένα διαφορετικό (και εξαιρετικά ενδιαφέρον) είδος συντονισμού, το οποίο προκύπτει συχνά σε πολλά φυσικά συστήματα. Ο συντονισμός αυτός οφείλεται στην χρονική εξάρτηση κάποιων εκ των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν το σύστημα και καλείται παραμετρικός συντονισμός.

Στην ανάρτηση εξετάζεται το απλό μηχανικό σύστημα ελατηρίου -μάζας το οποίο αναρτάται από σταθερό σημείο και το οποίο είναι ελεύθερο να ταλαντωθεί με δύο τρόπους, κατά πρώτον κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου ως απλός αρμονικός ταλαντωτής,  και κατά δεύτερον στο κατακόρυφο επίπεδο ως απλό εκκρεμές. Όπως θα δείξουμε το σύστημα αυτό οδηγείται σε παραμετρικό συντονισμό, για ένα μικρό εύρος συχνοτήτων του απλού εκκρεμούς, με άνω άκρο την διπλάσια συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης.

Παραμετρικός συντονισμός

(Visited 441 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
4 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Δημήτρης Σκλαβενίτης

Συγχαρητήρια Στάθη για την υπερεργασία σου! Το πόσες ώρες χρειάστηκαν μόνο εσύ το ξέρεις. 
Έχουμε μπροστά μας μια πλήρη αναφορά στις ταλαντώσεις με μαθηματική πληρότητα.
Έριξα μια βιαστική ματιά – και έχω δύο εντελώς δευτερεύουσας σημασίας παρατηρήσεις – συμπληρώσεις και ένα ερώτημα:

Ανάρτηση Α  σελ.2. Χρειάζεται η αναφορά στον ορισμό σε "ευσταθή" θέση;
Το αρνητικό προσημο στη δύναμη δεν εγγυάται ευσταθή κίνηση; 

Ανάρτηση Β σελ. 35. Όταν ως αντίσταση έχουμε τη συνήθη τριβή βρίσκουμε το 
ενδιαφέρον συμπέρασμα ότι το "πλάτος" μειώνεται γραμμικά με το χρόνο. 
Η διαφορά επίσης στα διαγράμματα στο χώρο των φάσεων είναι εμφανής:
Στην πρώτη περίπτωση – αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας -παίρνουμε μια έλικα 
με μειούμενο βήμα (λογαριθμική σπείρα). Στην δεύτερη περίπτωση – σταθερή αντίσταση –   
το βήμα της έλικας είναι σταθερό (σππέιρα του Αρχιμήδη).
  

Ανάρτηση ΣΤ, σελ.130.
Νομίζω δεν είναι σαφές το πάνω μέρος της σελ. 131: Η πρώτη πρόταση δεν σημαίνει πως 
και οι x1 και x2 είναι περιοδικές;
Πώς προκύπτει η πρώτη ισότητα στη (ΣΤ1.7); 
    
Νομίζω ότι στο παράδειγμα του εκκρεμούς που ακολουθεί δεν φαίνεται καθαρά
η εφαρμογή της θεωρίας που προηγήθηκε.  
Π.χ. στη λύση για το φ(t) δεν φαίνονται οι δύο λύσεις x1 και x2.
Υποψιάζομαι επίσης ότι οι συχνότητες ω0 και ω1  σχετίζονται με τις σταθερές c1 και c2.
Πιθανόν η πολυπλοκότητα του θέματος, να το καθιστούν λιγότερο εύπεπτο.

Και πάλι πολλά συγχαρητήρια !!  
 
 

Αρης Αλεβίζος
Αρχισυντάκτης
2 έτη πριν

Γεια σου Στάθη.

 Διαβάζοντας σιγά-σιγά την όλη δουλειά σου, πραγματικά τεράστια, να κάνω μια μικρή (σχολαστική θα έλεγα )παρατήρηση που ίσως βελτιώνει, ελάχιστα βέβαια ένα  σημείο.

 Με δεδομένες τις   Γ2.8α  και  Γ2.13α

Αν στη  Γ2.16  μπει αντί  για n,  n-1   και αυτή γραφεί

()=[0−(2-1)]cos()+(−1)n-1λ,   πράγμα καθόλα νόμιμο, νομίζω,

τότε

στο n=1  αντιστοιχεί η πρώτη φάση 

στο  n=2  αντιστοιχεί η δεύτερη φάση   κλπ 

αντί

στο n=0  αντιστοιχεί η πρώτη φάση 

στο  n=1  αντιστοιχεί η δεύτερη φάση   κλπ