Γιο – γιο (κύλινδρος) , νήμα και επαγωγή

(Αφιερωμένη στον Γιάννη Κυριακόπουλο , οι προσομοιώσεις του οποίου επιβεβαίωσαν τις θεωρητικές προβλέψεις)

Ο ομογενής αγωγός ΚΛ του σχήματος μάζας m = 0,2 kg, μήκους ℓ = 1m και αμελητέας αντίστασης , είναι οριζόντιος και αρχικά ηρεμεί. Ο ΚΛ είναι τοποθετημένος κάθετα προς τους παράλληλους αγωγούς Αx και Γy , πολύ μεγάλου μήκους και αμελητέας αντίστασης. Οι Ax και Γy, συνδέονται στα άκρα τους Α , Γ με αντιστάτη αντίστασης R = 3 Ω. Ο αγωγός μπορεί να ολισθαίνει κατά μήκος των Αx και Γy, χωρίς τριβές. Στο μέσο του αγωγού δένουμε ακλόνητα αβαρές και μη εκτατό νήμα. Το νήμα είναι πολύ μεγάλου μήκους και είναι τυλιγμένο πολλές φορές στην περιφέρεια ομογενούς κυλίνδρου (Κ). Ο κύλινδρος έχει επίσης μάζα m = 0,2 kg ,και ακτίνα r = 0,1m. Ο κύλινδρος και οι αγωγοί είναι στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, το οποίο είναι κάθετο προς τις μαγνητικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου μέτρου έντασης Β = 1Τ. Το σύστημα ΚΛ , νήματος και κυλίνδρου αρχικά συγκρατείται με το νήμα κατακόρυφο και ευθύγραμμο, χωρίς να είναι τεντωμένο. Την χρονική στιγμή t0=0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Το νήμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου.

  1. Να περιγράψετε τις κινήσεις ΚΛ και κυλίνδρου Κ.
  2. Όταν ο ΚΛ αποκτήσει ταχύτητα μέτρου ίσου με το μισό της μέγιστης δυνατής, να βρεθεί το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητάς του , όπως και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας του Κ.
  3. Την στιγμή t1 που ο ΚΛ αποκτά την μέγιστη ταχύτητά του , η γωνιακή ταχύτητα του Κ έχει μέτρο ω1 = 800/3 (rad/s), ενώ κατά την διάρκεια της κίνησής του από την t0=0 μέχρι την στιγμή αυτή, στον αντιστάτη R , έχουν εκλυθεί προς το περιβάλλον 76,8 J με τη μορφή θερμότητας. Να υπολογίσετε το επαγωγικό φορτίο που θα κινηθεί στο κλειστό κύκλωμα κατά την χρονική διάρκεια t0=0 ως t1.

Από την στιγμή t1 μέχρι κάποια στιγμή t2, εκλύονται στον αντιστάτη 64 J με τη μορφή θερμότητας.

  1. Να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών που θα εκτελέσει ο κύλινδρος σ’ αυτό το χρονικό διάστημα.
  2. Να υπολογίσετε την μεταβολή της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του, στο χρονικό διάστημα από την χρονική στιγμή t1 μέχρι κάποια χρονική στιγμή t3 κατά την διάρκεια του οποίου θα έχει μετατοπιστεί φορτίο Δqεπ=2 C, στο κλειστό κύκλωμα.
  3. Να σχεδιαστούν ποιοτικά οι γραφικές παραστάσεις: επιταχύνσεων – χρόνου, δυνάμεων – χρόνου και ταχυτήτων –χρόνου.

Δίνονται : επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s2. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που είναι κάθετος προς το επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του είναι  Ιcm=mr2/2.Το νήμα έχει ικανό όριο θραύσης ώστε να μην κόβεται κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστήματος. Οι Αx και Γy έχουν πολύ μεγάλο μήκος.

Απάντηση:

(Visited 807 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
16 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
Admin
1 μήνας πριν

Καλημέρα Χριστόφορε.
Συγχαρητήρια για το σύνθετο πρόβλημα που μας παρουσίασες, αλλά κυρίως για την πολύ καλή ανάλυση που το συνόδεψες…

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Καλημέρα Χριστόφορε και Διονύση.
Ευχαριστώ για την αφιέρωση Χριστόφορε.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Πολύ καλή Χριστόφορε.
Χαρά στο κουράγιο σου!

Θοδωρής Παπασγουρίδης

Χριστόφορε υποκλίνομαι……
Εξαιρετική παρουσίαση σε ένα σύνθετο θέμα

Έχω 4 ώρες που επεξεργάζομαι και ανεβάζω υλικό στις η-τάξεις…
Ένα κεφάλι κουδούνι…..
Λέω, θα μπω μια γρήγορη στο υλικο να χαζέψω λίγο…

Μετά “φόβου Θεού…” λόγω της πολυπλοκότητας που διαισθάνομαι, ξεκινάω να διαβάζω την ανάρτησή σου…

Τσούλησε τόσο ομαλά μέχρι και τη σελίδα 5 που διάβασα… που μόνο ένας πολύ
καλός δάσκαλος ..πίσω από αυτήν….θα μπορούσε να την κατευθύνει τόσο κατανοητά….για το κουρασμένο μυαλό μου…

Άσε που με έκανες να νιώσω πως ..το πρωί έκανα στερεό…και ας έχω να ασχοληθώ
μήνες…μαζί του

Τρομερή δουλειά και σε ποσότητα και σε ποιότητα, άκρως ουσιαστική

Να ‘σαι καλά

Κώστας Ψυλάκος
Editor
1 μήνας πριν

Χριστόφορε εξαιρετικο θεμα και με αρτια αναλυση απο την αρχη μεχρι το τελος!
Εχει πολλα σημεια που εχουν ενδιαφερον και που φυσικα θελουν προσοχη .

Πρωτα απο ολα ο κινηματικος συνδεσμος που επιβαλλει το νημα .

Απο την t=0 —> tορ=t1 στο Ρ εχουμε υρ=υcm – ωr ==> α = αcm – αγ*r .

Το συστημα των εξισωσεων εχει δυσκολια στην επιλυση του .

Ιδιαιτερη σημασια εχει η σχεση μεταξυ της FL και της Τ οπου η Τ= FL/4 .

Και αυτο διοτι στο ερωτημα (3) αν πας να δουλεψεις για το συστημα μπορει να απλοποιουνται τα εργα της Τ αλλα μενουν τα yορ και ycm …..
Υπαρχει βεβαια η σχεση y=ycm – Δθ*r αλλα δεν μπορει να βοηθησει οποτε ο τροπος σου ειναι μονοδρομος .

Να προσθεσω σε αυτο το σημειο οτι εχεις παρει ως tορ=6*τ οπου τ=(4m*R)/(3*(B*L)^2).

Προφανως εδινε “καλυτερα” νουμερα .
Με tορ=5*τ εβγαλα υcm,ορ = 88/3 m/s και ωορ=640/3 r/s .

Στην συνεχεια μετα την toρ = t1 χρειαζεται προσοχη ο κινηματικος συνδεσμος .

Διοτι υcm – ω*r = υορ = σταθ. ==> α’cm = α’γ*r και το Δy=Δycm – Δθ*r .

Στο ερωτημα (4) ειπα οτι |WFL|=Qθ= FL*Δy =>Δy=24m αρα Δt=Δy/υορ = 3 s μετα βρηκα απο την κινηματικη το Δycm = 134m και στην συνεχεια απο το Δy=Δycm – Δθ*r βρηκα το Δθ=1100 rad κλπ.

Καποια επιπλεον στοιχεια να προσθεσω : τ=(4m*R)/(3*(B*L)^2) , υορ = g*τ

y = gτ*t – gτ^2 *[1 – exp(-t/τ)] , υ=gτ * [1 – exp(-t/τ)] , α = g * exp(-t/τ)

ycm = (g/3)*t^2 + (gτ/3)*t – (gτ^2/3) * [1 – exp(-t/τ)]

υcm = (2g/3)*t + (gτ/3) * [1 – exp(-t/τ)] , αcm = (g/3) * [2 + exp(-t/τ)]

Κώστας Ψυλάκος
Editor
1 μήνας πριν

Καλημέρα Χριστόφορε!
Πολύ καλά λες ότι οι δύο κινήσεις από μόνες τους έχουν μια όχι και τόσο δύσκολη επίλυση αλλά ο συνδυασμός τους δημιουργεί ένα αρκετά σύνθετο πρόβλημα.
Σκέφτηκα να προσθέσω με την σειρά μου κάτι για αυτό έδωσα τις επιπλέον εξισώσεις. Χαίρομαι που τις βρήκες χρήσιμες.
Καλό Σαββατοκύριακο!

Αρης Αλεβίζος
Editor
1 μήνας πριν

Στερεό και επαγωγή, συνδυασμός που σκοτώνει. Άρχισε να εμφανίζεται από πέρσι που προστέθηκε η νέα ύλη.

Σωστές διατυπώσεις πολύ καλή ανάλυση.

Μπράβο Χριστόφορε.  

Μανώλης Δρακάκης
1 μήνας πριν

Χριστόφορε καλησπέρα.
Πολύ καλό θέμα που συνδυάζει δυο πολύ σπουδαία κεφάλαια.
Γραμμένο με κέφι και φαντασία!
Εύγε και καλή συνέχεια!