Άπειροι κύλινδροι σε κίνηση

Έστω ότι έχουμε την παρακάτω διάταξη κυλίνδρων, όπου ανάμεσα σε κάθε σειρά κυλίνδρων υπάρχει μια πλάκα. Οι κύλινδροι δεν γλιστράν σε σχέση με τις πλάκες. Οι κύλινδροι σε κάθε σειρά είναι δύο και έχουμε άπειρες σειρές. Αρχίζουμε να κινούμε την κάτω πλάκα με επιτάχυνση α.

Ποια η επιτάχυνση του κέντρου μάζας καθενός κυλίνδρου από την 1η  σειρά?

Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι η γνωστή.

Η απάντηση εδώ

(Visited 356 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
24 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Ευχαριστώ Σπύρο.
Θα την διαβάσω σε δέκα λεπτά.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Σπύρο βλέπω άλλη φορά:
comment image

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο εννοώ αυτό:
comment image
Όταν υπάρχει μόνο ένας κύλινδρος, τότε η επιτάχυνση του ανώτερου σημείου είναι προς τα αριστερά.
Η τριβή επομένως που θα δεχτεί από τα υπερκείμενα είναι προς τα δεξιά.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Φυσικά δεν ξέρω αν αυτό έχει επίδραση στη λύση. Μπορεί να μην έχει και η λύση να είναι εντελώς σωστή, διότι γίνεται απαλοιφή των δυνάμεων.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο μπορεί να έχεις δίκιο και να μην επηρεάζει η φορά.
Γενικά η φορά μιας τριβής βρίσκεται ως εξής:
Ποια επιτάχυνση θα είχε το σημείο επαφής αν δεν εφάπτετο σε κάτι;
Αν αυτή είναι προς τα αριστερά, τότε η τριβή είναι προς τα δεξιά.
Πάντως η διαίσθησή μου μου λέει ότι η λύση σου είναι σωστή.

Αρης Αλεβίζος
Editor
1 μήνας πριν

Γιάννη ο Σπύρος έχει δίκιο.
Απόδειξη:
Πάμε
http://webdev.physics.harvard.edu/academics/undergrad/problems.html
και στην σειρά
Week 85 (4/26/04) Problem85 (Tower of cylinders)
Solution85

Πατάμε 3η  στήλη για εκφώνηση και 5η για την λύση.
Υ.Γ. Στην  λύση εκεί έχει και    Remark:  που δεν την σκέφτηκε ο Σπύρος.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Αρης Αλεβίζος

Άρη μπορεί να δίνουν αυτή τη λύση. Μπορεί να είναι και σωστή τελικά.
Σε πολλές ασκήσεις βγάζουμε σωστή λύση παρά το ότι σημειώνουμε λάθος την τριβή.
Η διαίσθησή μου μου λέει ότι είναι σωστή η λύση του Σπύρου.
Όμως η πάνω τριβή έχει αντίθετη φορά. Αυτό είναι σίγουρο.
Αν ήταν στεφάνια αντί κυλίνδρων οι πάνω τριβή θα ήταν μηδέν για τους κάτω κυλίνδρους.

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

εννοω φυσικα λειες τις επιπεδες επιφανεις απο την πανω μερια οχι την επιταχυνομενη

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

Aυτο που λετε οτι η τριβη μηδενιζεται αν εχουμε στεφανια εχει μεγαλο ενδιαφερον.Στην περιπτωση αυτη τα στεφανια θα εκαναν κυλιση χωρις ολισθηση ακομα και αν οι επιπεδες επιφανειες ηταν λειες! Αν το προβλημα που προτεινε ο Σπυρος ειχε στεφανια τοτε ολη η κατασκευη με τους κυλινδρους εκτος απο τους κατω κατω ,θα ηταν σαν να μην υπηρχε Ολοι οι
κυλινδροι θα παρεμεναν ακινητοι εκτος απο τους κατω κατω οπου θα αποκτουσαν επιταχυνση α/2. Αν καποιος προσπαθησει να λυσει το προβλημα με γραμμικη αλγεβρα και ιδιοτιμες πινακων οπως η λυση που ειδαμε ,θα συναντουσε αοριστιες που δεν θα του επετρεπαν να βγαλει κανενα συμπερασμα.Αυτο ειναι ενα πολυ καλο παραδειγμα πως η απλη λογικη πολλες φορες ειναι πιο ισχυρη απο πολυπλοκους φορμαλισμους.Και το ωραιο ειναι οτι αυτη ειναι μια πολυ δυσκολη ασκηση εντος της υλης των πανελληνιων!!

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Αυτό μου έλεγε Σπύρο η διαίσθησή μου. Δεν επηρεάζει τη λύση το πως θα σημειωθούν οι τριβές.

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

Kαλημερα.Κανω εναν υπολογισμο στην περιπτωση που εχουμε μια επιταχυνομενη πλακα και μονο μια σειρα κυλινδρων η ενα μονο κυλινδρο ,τοτε η επιταχυνση του κυλινδρου προκυπτει να ειναι a=α/3 οπου α ειναι η επιταχυνση της πλακας.Αυτος ο υπολογισμος απαιτει μια γεωμετρικη σχεση x=χ-Rφ οπου x ειναι η μετατοπιση του κεντρου μαζας του κυλινδρου και x η μετατοπιση της πλακας η οποια με παραγωγισεις δινει
a=α-Rdω/dt. Κατοπιν αν γραψουμε Τ=Idω/dt και Τ=ma και χρησιμοποιησουμε την ροπη αδρανειας συμπαγους ομογενους κυλινδρου βρισκουμε a=α/3.Aν αρχισουμε να χτιζουμε το συστημα προς τα πανω προσθετοντας ραβδους και κυλινδρους λογω της αυξημενης αδρανειας, οι επιταχυνσεις των κατω κυλινδρων συναρτησει του πληθους των οροφων του συστηματος πρεπει να ειναι φθινουσες ακολουθιες. Εσεις ομως εχετε βρει
a=0,4142α που ειναι μεγαλυτερο του a=1/3α και αυτο δεν μοιαζει λογικο.Μπορειτε να κανετε, κατι που δεν εκανα εγω, εναν αναλυτικο υπολογισμο με δυο πλακες και τεσσερις κυλινδρους και το αποτελεσμα θα ειναι επιταχυνση σιγουρα μικροτερη του α/3

Μετα τιμης
Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

εννοω την ακολουθια a(n) οπου a ειναι η επιταχυνση των κατω κυλινδρων και 2n ειναι το πληθος ολων των κυλινδρων με διαταξη σαν αυτη που δωσατε Δεν δινω ορισμο ακολουθιας σαν απεικονιση απο το N στο R μια απλη περιγραφη κανω

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

ναι ναι σωστα εχω ηδη γραψει οτι αυτο που ειπα αρχικα δεν ηταν σωστο

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

Μαλλον εκανα καποιο λαθος διοτι αν η η πρωτη πλακα που βρισκεται πανω στους κατω κυλινδρους ακινητοποιηθει με καποιο μηχανισμο που ειναι σαν η αδρανεια της να γινεται απειρη τοτε η επιταχυνση φαινεται να ειναι a=α/2 που ειναι μεγαλυτερη απο α/3 Μαλλον οι επιταχυνσεις αναλογα με την αδρανεια που εχει το συστημα φαινεται να ειναι μεταξυ των τιμων α/3 και α/2 οποτε ζητω συγνωμη Θα το ξανακοιταξω συγνωμη για την παρεμβαση

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

Καλησπερα σας. Διαβασα προσεκτικα την λυση που δημοσιευσατε και ειναι πολυ ωραια. Θα ηθελα να παρατηρησω τα εξης:H εξισωση (4) προκυπτει απο την (3) αν οπου ν θεσουμε το ν+1.Επομενως εχει ενα λαθος προσημο στον πρωτο ορο που ειναι μεσα στην παρενθεση. Αν αντικαταστησουμε τις (3) και (4) στην (1) δεν προκυπτει η εξισωση (5) που εχετε γραψει αλλα αλλη εξισωση. η οποια δεν ειναι σωστη. Παντως η (5) που εχετε γραψει ειναι οντως σωστη εξισωση η οποια δικαιολογειται απο το γεγονος οτι τα επιπεδα αντικειμενα εχουν μηδενικη αδρανεια.Η εξισωση (8) δεν ειναι ακριβως το συστημα (7) αλλα η εκφραση του ν οστου διανυσματος αν ο γραμμικος μετασχηματισμος που εχετε βρει, δρασει στο πρωτο διανυσμα ν-1 φορες. Θα ηθελα να σας ρωτησω αν μπορειτε με την συγκεκριμενη μεθοδο να λυσετε το ιδιο προβλημα στην περιπτωση που οι κυλινδροι εχουν ολη την μαζα συγκεντρωμενη στην παραπλευρη επιφανεια τους ετσι ωστε να θεωρησουμε οτι η ροπη αδρανειας εινα Ι=mR^2. Ποση βγαινει τοτε η ζητουμενη επιταχυνση? Εχει κανει ενα εδω ενα σχολιο ο κυριος Κυριακοπουλος που εχει σχεση με αυτο το ερωτημα. Kαι ενα τελευταιο σχολιο χωρις ιδιαιτερη σημασια.Ο γραμμικος μετασχηματισμος που εχετε βρει εχει ιδιοτιμες και ιδιοδιανυσματα.Ο ορος ιδιοσυναρτηση που χρησιμοποιειτε ειναι καταληλος για την περιπτωση μετασχηματισμων που δρουν σε καποιο συναρτησιακο χωρο οπως πχ ενας χωρος Hilbert.

Μετα τιμης
Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

Κωνσταντινος Καβαλλιερατος
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Μιλα μου στον ενικο και εσυ.Οι (3) και(4) με αντικατασταση στην (1) δεν δινουν την (5) .Αλλωστε η (4) πρεπει να ειναι ιδιας μορφης με την (3 ) και δεν θελει αρνητικο προσημο στον πρωτο ορο.Οι (3) ,(4) οπως τις εχεις γραψει δεν δινουν την (5). Κοιτα το ξανα και εσυ.