by 
Μία, όσο το δυνατόν, αναλυτική λύση του προβλήματος της δισδιάστατης ελεύθερης κίνησης δύο ίσων μαζών, στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου. Το πρόβλημα συζητήθηκε πρόσφατα στις πολύ καλές αναρτήσεις Ένα μηχανικό σύστημα σε οριζόντια κίνηση, και Δυο σώματα συνδεδεμένα με ελατήριο των συναδέλφων Διονύση Μάργαρη και Γιάννη Κυριακόπουλου. Τους ευχαριστώ και τους δύο.
Ελεύθερο Σύστημα Ελατηρίου Μαζών
Εντυπωσιακή Στάθη!
Κατάλαβα πως τα μεγέθη που αναπαριστάς μεταβάλλονται περιοδικά, όχι όμως αρμονικά.
Ας προσέξουν οι αναγνώστες το διαφορετικό πάχος των κορυφών της καμπύλης που θυμίζει ημίτονο (χωρίς να είναι).
Μια προσθήκη:
Ο παρατηρητής επί του κέντρου μάζας βλέπει φυγόκεντρο αν είναι στρεφόμενος με γωνιακή ταχύτητα ω. Επειδή το ω μεταβάλλεται βλέπει και δύναμη Euler.
Όμως η παρατήρηση δεν επηρεάζει την μελέτη.
Γιάννη καλό βράδυ. Σε ευχαριστώ.
Έχεις δίκιο ότι τα μεγέθη μεταβάλλονται περιοδικά μεν, αλλά όχι αρμονικά. Σε κάποιες αρχικές συνθήκες αυτό φαίνεται πιο έντονα από ότι σε άλλες.
Για τον περιστρεφόμενο παρατηρητή, η δύναμη Euler έχει την διεύθυνση της επιτροχίου ταχύτητας κάθε μάζας και είναι υπεύθυνη για την επιτρόχιο επιτάχυνση των μαζών (στον άξονα τον κάθετο στην διεύθυνση r του ελατηρίου).
Αυτή η πληροφορία είναι ενσωματωμένη στην διατήρηση της στροφορμής (10). Παρατηρούμε ότι όσο ελαττώνεται το μήκος του ελατηρίου 2r, αυξάνει η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, σύμφωνα με την σχέση (10), άρα το σύστημα επιταχύνεται περιστροφικά και οι μάζες επιταχύνονται στον επιτρόχιο άξονα (αυτόν της γωνίας φ, στο σχήμα).
Αλλά το ενεργό δυναμικό αναφέρεται στην ακτινική συντεταγμένη r του σχήματος (άξονας του ελατηρίου).
Χρειάζεται προσοχή εδώ: Το Φεν δεν είναι το δυναμικό της κίνησης των μαζών, αλλά το “δυναμικό” μόνον της ακτινικής συντεταγμένης, συμφωνα με την σχέση (18).
Για αυτό “πιάνει¨μόνον τις ακτινικές δυνάμεις.
Γιάννη καλό βράδυ. Σε ευχαριστώ.
Έχεις δίκιο ότι τα μεγέθη μεταβάλλονται περιοδικά μεν, αλλά όχι αρμονικά. Σε κάποιες αρχικές συνθήκες αυτό φαίνεται πιο έντονα από ότι σε άλλες.
Για τον περιστρεφόμενο παρατηρητή, η δύναμη Euler έχει την διεύθυνση της επιτροχίου ταχύτητας κάθε μάζας και είναι υπεύθυνη για την επιτρόχιο επιτάχυνση των μαζών (στον άξονα τον κάθετο στην διεύθυνση r του ελατηρίου).
Αυτήν η πληροφορία είναι ενσωματωμένη στην διατήρηση της στροφορμής (10). Παρατηρούμε ότι όσο ελαττώνεται το μήκος του ελατηρίου 2r, αυξάνει η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, σύμφωνα με την σχέση (10), άρα το σύστημα επιταχύνεται περιστροφικά και οι μάζες επιταχύνονται στον επιτρόχιο άξονα (αυτόν της γωνίας φ, στο σχήμα).
Αλλά το ενεργό δυναμικό αναφέρεται στην ακτινική συντεταγμένη r του σχήματος (άξονας του ελατηρίου).
Χρειάζεται προσοχή εδώ: Το Φεν δεν είναι το δυναμικό της κίνησης των μαζών, αλλά το “δυναμικό” μόνον της ακτινικής συντεταγμένης, συμφωνα με την σχέση (18).
Για αυτό “πιάνει¨μόνον τις ακτινικές δυνάμεις.
Έχουμε κάνει ξανά την συζήτηση περί δυναμικών, με αφορμή τους ταλαντωτές. Το συγκεκριμένο είναι ένα καλό παράδειγμα για να φανεί το πόσο χρήσιμα μπορεί να είναι αυτά τα ψεύδο -δυναμικά σε υπολογισμούς, αλλά και το πόσο έυκολα μπορείς να οδηγηθείς σε λάθος συμπεράσματα.μέσω αυτών.
Η αλήθεια είναι ότι περιμένω αντιδράσεις για τον ορισμό της Φεν.
Δεν θα είχε δίκιο όποιος αντιδρούσε. Αν το έκανε τότε θα στερούσε την δυνατότητα από έναν στρεφόμενο παρατηρητή να κάνει τη δική του Φυσική. Αυτός βλέπει ένα περίεργο χωροεξαρτώμενο πεδίο και έχει κάθε δικαίωμα να ορίσει την Φεν.
Συγχαρητήρια κ. Στάθη.
Παρατηρήστε κάτι ενδιαφέρον.
Αν πάρουμε ένα ελατήριο με πάρα πολύ μικρό φυσικό μήκος, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι L(o)=0. Τότε η σχέση (13) λύνεται πανεύκολα αναλυτικά γιατί μπορεί να μετασχηματιστεί σε γραμμική 2ης τάξης. Δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να βγάλουμε τις εξισώσεις σχετικής θέσης-ταχύτητας.
Γράφω μια γενικότερη ανάλυση πάνω σε αυτό. Αύριο θα την έχω τελειώσει. Στην ανάλυση γράφω και για την περίπτωση που L(o)=0.
Οι λύσεις που προκύπτουν τότε είναι περιοδικές (διανυσματικές περιοδικές).
Σπύρο ευχαριστώ.
Όταν γράφεις ελατήριο πολύ μικρού φυσικού μήκους, τι ακριβώς εννοείς. Το προσεγγίζουμε ως μικρό σε σχέση με τι;
Αν μηδενίσουμε το φυσικό μήκος από την άλλη, τότε δεν υπάρχει ελατήριο, ούτε στροφορμή, οπότε;
Μπορούμε να κάνουμε μια προσέγγιση ότι L(o)->0. Αυτό επιτρέπεται να γίνει για μια προσεγγιστική λύση. Γενικότερα αν το όριο κάποιου συντελεστή στην διαφορική είναι μηδέν, τότε μπορούμε να κάνουμε τον μηδενίσουμε, να λύσουμε την διαφορική και να έχουμε λύση (ναι μεν με αναλυτική μέθοδο, αλλά αριθμητική λύση λόγω προσέγγισης).
Βέβαια υπό πραγματικές συνθήκες το ελατήριο δεν μπορεί να είναι μηδενικού φυσικού μήκους. Μπορεί όμως να είναι πάρα πολύ μικρό (συγκριτικά). Φυσικά το αποτέλεσμα που θα βγάλουμε θα απέχει από την πραγματικότητα, αλλά όχι πολύ.
Τα παραπάνω ελατηριάκια, είναι εξαιρετικά μικρά. Παρόλα αυτά αν έχουν ικανοποιητικό k συγκριτικά με τις μάζας των m των σωμάτων, τότε μπορούν να υπακούσουν στο μοντέλο που λέω.
Δηλαδή αν κάνετε αριθμητική λύση βάζοντας το L(o)=0,005m τότε θα έρθετε κοντά σε μια λύση που θα βρίσκατε αν θέτατε L(o)=0 στην αρχική διαφορική και την λύνατε αναλυτικά.
Φυσικά η προσέγγιση μπορεί να μην είναι καλή, οπότε εκεί έχει νόημα μόνο η αριθμητική λύση.
Σπύρο δεν καταλαβαίνω πώς μπορούμε να μηδενίσουμε μια ποσότητα σε ένα μοντέλο. Καταλαβαίνω οτι μπορεί αυτή η ποσότητα να καθίσταται αμελητέα συγκρινόμενη με μία άλλη ίδιων διαστάσεων. Γενικά αφήνουμε αδιάστατες ποσότητες να τείνουν στο μηδέν.
Γράψε αυτό που θες και τα λέμε ξανά.
Καλό βράδυ.
Καλημέρα Στάθη και καλό ΣΚ.
Δεν φανταζόμουν, γράφοντας την άσκηση, ότι θα είχε τέτοια συνέχεια…
Άμα είσαι “μεγάλος παίκτης” παίρνεις την μπάλα και κάνεις παιχνίδι!!!
Να είσαι καλά.
Καλημέρα Διονύση, καλό ΣΚ.
Σε ευχαριστώ πολύ. Αν και τα παραλές περί “μεγάλου παίκτη”… για να συνεχίσω στο ίδιο μήκος κύματος, είναι φοβερές οι ασίστ που παίρνω!
Καλημέρα Στάθη.
Η ανάλυση σου είναι εξαιρετική!
Όσα μπόρεσα να καταλάβω διότι κάποια πράγματα πλέον δεν μου είναι οικεία.
Να είσαι καλά και να μας δίνεις τέτοιες εργασίες για να θυμόμαστε έστω και για λίγο κάποια πράγματα από το παρελθόν.
Σε ευχαριστώ Κώστα. Χαίρομαι που σου άρεσε.