Η δύναμη με κλειστή και ανοικτή τάπα

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα δοχείο με νερό, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (εντός της ατμόσφαιρας). Μια μικρή οπή, στην παράπλευρη έδρα του δοχείου, βρίσκεται σε βάθος h από την επιφάνεια και κλείνεται με τάπα. Αν ρ η πυκνότητα του νερού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και Α το άνοιγμα της οπής:

i) Το νερό ασκεί στην τάπα μια οριζόντια δύναμη F1, μέτρου:

α) F1 < ρghΑ,     β) F1 = ρghΑ,     γ) F1 > ρghΑ.

ii) Σε μια στιγμή βγάζουμε την τάπα και σε ελάχιστο χρόνο αποκαθίσταται μια μόνιμη ροή. Αν το νερό θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, τότε η (συνισταμένη) δύναμη που επιταχύνει μια πολύ μικρή μάζα νερού Δm, κατά την έξοδό της από το δοχείο, θεωρώντας ότι ελάχιστα πριν την έξοδο έχει αμελητέα ταχύτητα, έχει μέτρο F2, όπου:

α) F2 =ρghΑ,     β) F2= 2ρghΑ,      γ) F2= (pατμ+ρgh)∙Α

iii) Η δύναμη F3 όπου το υπόλοιπο νερό ασκεί στην μάζας Δm, στη διάρκεια της εξόδου της από το δοχείο έχει μέτρο:

α) F3 < F2,      β) F3 = F2,      γ) F3 > F2.

iv) Η παραπάνω μάζα Δm, ασκεί στο υπόλοιπο νερό του δοχείου μια δύναμη F4, με μέτρο:

α) F4=F2,       β) F4=2F2,       γ) F4=F3.

v) Αν τη στιγμή που αποκαθίσταται η μόνιμη ροή, το δοχείο μαζί με το νερό που περιέχει έχουν συνολική μάζα Μ, αποκτούν επιτάχυνση προς τα αριστερά, με μέτρο:

α)  α=F1/Μ,      β) α=F2/Μ,     γ) α=F4/m.

Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ΥΓ

Το παρόν θέμα ξεκίνησε να είναι για μαθητές, αλλά όπως διαπιστώθηκε στην συζήτηση, υπήρχε πρόβλημα με το μοντέλο μιας μάζας Δm η οποία επιταχύνεται στην έξοδο, οπότε μεταφέρεται στο φόρουμ…

(Visited 2,405 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
109 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Στάθης Λεβέτας
Editor
4 μήνες πριν

Διονύση νομίζω ότι τώρα δεν υπάρχει καμία αντίφαση.
Θα μπορούσαμε διαφορετικά να θεωρήσουμε ότι η μαζούλα εξακολουθεί να επιταχύνεται οριζόντια και μετά την έξοδο από την οπή, οπότε η φλέβα εκροής στενεύει σε διατομή Α/2 (θυμίζω το vena contracta).
Βέβαια αυτό δεν είναι αναγκαίο, μάλλον θα περιπλέξει άσκοπα και θα αλλάξει το ύφος της παρούσης ανάρτησης.

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Στάθης Λεβέτας
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Διονύση και Στάθη κάτι δεν μου αρέσει.
Η προωστική δύναμη δεν είναι F=(dm/dt).υσχετ ;
Αν κρατάμε κόντρα στο δοχείο, τότε υσχετ=υ=ρίζα(2gh)
Οπότε F=ρ.dV/dt.ρίζα(2gh)=ρ.Α.dx/dt.ρίζα(2gh)=ρ.Α2gh.
Επειδή το δοχείο δεν κινείται η δύναμη η δική μας που το κρατάμε δεν είναι ίση κατά μέτρον με την προωστική, δηλαδή 2ρ.Α.g.h;
Γιατί αυτή η αντίφαση;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Θα βρω την μέση ταχύτητα αν η μαζούλα είναι ακίνητη και την σταθερή στιγμιαία αν δεν είναι αρχικά ακίνητη. Όμως άλλο λέω.
Η ροή εξόδου δεν γίνεται ακαριαία ρίζα(2gh) Περνάει ένα μικρό χρονικό διάστημα (Βαγγέλης Κορφιάτης). Μετά από αυτό, μετά την σταθεροποίηση της ταχύτητας εκροής, είναι σταθερή η ταχύτητα (για μικρή τρύπα).
Δηλαδή αποβάλλεται μάζα με ρυθμό dm/dt Η προωστική δύναμη είναι F=dm/dt.υ=2ρ.A.g.h.
Τόση είναι η δύναμη που πρέπει να ασκείς ώστε να μην κινηθεί το δοχείο.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Κατάλαβα σε τι αναφέρεσαι.
Από κάποια στιγμή και μετά δεν σταθεροποιείται η ταχύτητα εκροής;
Σε χρόνο δt μια μάζα δm δεν εξέρχεται με ταχύτητα υ;
Η προωστική δύναμη που δέχεται το δοχείο δεν είναι (δm/δt).υ ;;
Πόση είναι;
Η μισή είναι;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Αν γίνει όμως αυτή η αντικατάσταση, τότε η προωστική δύναμη παύει να είναι (dm/dt).υ και γίνεται 0,5(dm/dt).υ.
Αυτό είναι περίεργο για συστήματα μεταβλητής μάζας. Ξέρουμε ότι σ’ αυτά η προωστική δύναμη είναι (dm/dt).υσχετ. δηλαδή (dm/dt).υ.

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor

Καλημέρα σε όλους,

(Θυμάμαι και παλαιότερες συζητήσεις στο θέμα, σε ανάρτηση του Χρήστου Αγριόδημα)

Γράφω κι εγώ το συλλογισμό μου,

Η αντίφαση ξεκινάει από το γεγονός ότι θεωρούμε πως η μεταβολή ορμής dp σε χρόνο dt συμβαίνει στη μάζα dm που εκτινάχτηκε στο χρόνο dt από την τρύπα.
Η μάζα dm όμως δεν την απέκτησε ξαφνικά την οριζόντια ταχύτητα τη στιγμή που βγαίνει από την τρύπα.
Ελάχιστα πριν βγει είχε ήδη μια ταχύτητα σχεδόν υ.

Σκεφτείτε λίγο τις ρευματικές γραμμές. Ξεκινάνε πολύ αραιές από την επιφάνεια προς τα κάτω, και όσο πλησιάζουν προς την τρύπα πυκνώνουν, τείνοντας να γίνουν οριζόντιες.
Το νερό επομένως, σε μια ευρύτερη περιοχή πίσω από την τρύπα, κινείται ήδη με ταχύτητα κοντά στην υ!

Δηλαδή, όλες οι μάζες dm από πάνω μέχρι την τρύπα που μετακινήθηκαν στο χρόνο dt (ώστε να εκτιναχτεί η ποσότητα dm) αύξησαν από λίγο την ορμή τους.

Έτσι, ο όρος dp=dmυ εκφράζει τη μεταβολή ορμής ΟΛΟΚΛΗΡΗΣ της ποσότητας του νερού στο χρόνο dt και όχι μόνο της μάζας dm που εκτινάχτηκε.

Θα πρέπει λοιπόν να αναζητήσουμε την (οριζόντια) συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε όλο το νερό κι όχι μόνο στην εκτινασσόμενη μάζα dm.
Το νερό όμως στον x άξονα, δέχεται δυνάμεις από τα τοιχώματα, αλλά και από την ατμόσφαιρα στο σημείο που είναι η τρύπα!
Θα ισχύει (για όλο το νερό, με θετική τη φορά της υ):

ΣFx = dp/dt → F1-F2-Fatm = ρΠυ

όπου F1 η δύναμη από το αριστερό τοίχωμα και F2 η δύναμη από το δεξιό τοίχωμα που έχει την τρύπα.

Αν ονομάσουμε Fτοιχ = F1-F2, τότε:

Fτοιχ = ρΠυ + Fatm

Το νερό όλο δηλαδή (όχι μόνο η μαζα dm) δέχεται από το τοίχωμα δύναμη ρΠυ + Fatm (η οποία έχει φορά δεξιά, αφού υπερισχύει το αριστερό τοίχωμα που δεν είναι τρύπιο 🙂 )

Αλλά δέχεται και από τον αέρα καθώς εξέρχεται την -Fatm = Patm A, με αποτέλεσμα η συνολική δύναμη που δέχεται να είναι ρΠυ.
_

Γιάννη η μέση τιμή υ/2 μάλλον εξηγείται από το γεγονός ότι ενώ στο επάνω σημείο της ρευματικής γραμμής το νερό έχει μηδενική ταχύτητα, στην έξοδο έχει υ = sqrt(2gh)

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Διονύσης Μητρόπουλος
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Γεια σου Διονύση.
Όταν ζορίζομαι εγκαταλείπω πιέσεις, ατμόσφαιρες και ρευματικές γραμμές.
Προσπαθώ να γράψω κάτι.